外压自增强圆筒的设计计算方法

朱瑞林 朱国林

1.湖南师范大学,长沙,410081 2.江西警察学院,南昌,330103

0 引言

内压圆筒的弹性和弹—塑性应力分析及自增强理论,国内外已有很多文献论述[1-8],而外压圆筒弹—塑性应力分析或自增强问题,目前尚无相关理论。外压自增强是在容器使用前对其进行加外压处理,使筒体内层屈服,产生塑性变形,形成塑性区,外层仍为弹性状态。保持该外压一段时间后卸压。卸压后筒体内层塑性区因残余变形不能复原,而外层弹性区力图复原,却受到内层塑性区的阻挡也不能恢复到原来状态,但外层弹性区力图复原的趋势给内层塑性区以拉伸作用,使内层塑性区产生拉应力,而外层弹性区产生压应力。于是形成一种内层受拉、外层受压的预应力状态。容器投入使用受外压后,预应力与操作压力引起的应力叠加,使应力较大的内壁应力降低,应力较小的外壁应力有所增加,从而使容器壁中应力趋于均匀。由此可提高容器的承载能力。

与受内压的情况一样,外压自增强技术的关键因素也是超应变度的确定。对超应变度的确定,现行技术只有针对内压容器的方法,针对外压容器的方法未见报道,能否沿袭内压容器的方法,没有理论支持。即使现行的内压容器方法,也有一些不足,如反向屈服问题,即卸除自增强压力后可能内层因受到过大的压缩而产生压缩屈服。这是很不利的。从安全、经济的观点出发,自增强容器要同时保证卸除自增强压力后整个筒壁内残余应力的当量应力及总应力的当量应力均不大于材料的屈服强度σs,还要提高承载能力。外压容器的应用是很广的,如真空贮罐、减压塔、潜艇外壳等。如何确定超应变度和承载能力,以提供一种安全的外压自增强圆筒形压力容器及其设计计算方法,是需要解决的问题。

1 弹—塑性应力分析

图1所示是内外半径各为 ri、ro的圆筒。受外压p作用时,内壁面应力最大。外压增到一定值时,圆筒内壁面开始屈服;继续增大外压,塑性区从内向外扩展,形成两个区:内侧为塑性区,外侧为弹性区。外压增大到某值时,对应的弹 —塑性界面半径为rj,k=ro/ri称为径比,kj=rj/ri称为塑性区深度。筒体横截面弹—塑性区域如图2所示。假想从rj处将弹、塑性区分开,加上相应的力,并设弹—塑性界面上的压力为pj。这样,外层弹性区是内外半径各为rj、ro的弹性筒体,受内压pj和外压p作用(图2b);内层塑性区是内外半径各为ri、rj的塑性筒体,仅受外压 pj作用(图2c)。

1.1 塑性区应力分析

设筒体材料屈服时符合特雷斯卡(Tresca)条件,即

式中,σr、σt分别为径向应力、环向应力。

筒壁单元体的平衡方程为 dσr/dr+(σr—σt)/r=0,将式(1)代入该式得 :dσr/dr+σs/r=0,该式的解为

边界条件:①r=ri时,σr=0;②r=rj时,σr=—pj。

将条件 ①代入式(2)解出积分常数C,将C代回式(2)得

由式(1)得

而轴向应力

将条件 ②代入式(3)得弹 —塑性区界面压力:

令式(6)等于式(7),得外压与相应的rj的关系:

式(8)右边第一项是塑性层全屈服压力,第二项是弹性层内壁面初始屈服压力。该式与内压容器公式一致[1],在式(8)中令kj=1得初始屈服载荷:

令kj=k得全屈服载荷:p/σr=lnk

1.2 弹性区应力分析

弹性区的应力可由文献[1-4]等直接得到:

k=3.5,kj=1.712 76和kj=k=3.5(全屈服)时,弹—塑性状态应力分布分别如图3a、图3b所示。

式(8)实际上是进行自增强处理时所施加的外压pa,即自增强压力,这个压力与塑性区深度有关,只要rj确定了,自增强压力就可按式(8)算出。有了弹—塑性分析的结果,就可以进行外压自增强分析。

2 外压自增强理论的建立

自增强压力(式(8))作用下筒壁的应力:塑性区应力按式(3)～式(5)计算;弹性区应力按式(9)～式(11)计算。

卸除pa后,筒壁中的残余应力:按卸载定理,以Δp=pa—0=pa为假想载荷,按弹性理论计算所引起的应力。在卸载压力Δp作用下,按弹性理论,径向、周向、轴向应力改变量分别为[1]

将式(8)代入式(12)得应力改变量分别为

根据卸载定理,用卸载前的应力,式(3)～式(5)和式(9)～式(11)减去各相应的应力改变量式(13)～式(15),即得残余应力。

塑性区:

弹性区:

塑性区残余应力的当量应力σ′e/σs为

σ′e/σs=|σ′r/σs—σ′t/σs|

将式(16)、式(17)代入上式得塑性区残余应力的当量应力 σ′e/σs:

同理,弹性区残余应力的当量应力σ′e/σs为

以下结论也适合于受内压的情况,因为:

其中,wy代表“外压”,ny代表“内压”,tsx代表“弹塑性”。

kj2—1 ＞lnkj,故整个弹性区内,σ′e/σs ＞0。但在塑性区 ,σ′r/σs—σ′t/σs可正可负。如在容器内表面,r/ri=1,于是内壁面残余应力的当量应力σ′ei/ σ为

故在容器内表面 ,σ′r/σs —σ′t/σs 恒为负。显然,d(σ′r/σs —σ′t/σs)/d(r/ri)在塑性区大于 0,弹性区小于0。而在弹塑性界面,r/ri=kj,式(19)、式(20)都成为

这实际上是三条残余应力曲线(式(16)～式(18))交点的横坐标。因为令式(16)=式(17)和式(16)=式(18)或式(17)=式(18)都得式(26),这说明三条残余应力分布曲线交于一点,其横坐标为式(26)。

在式(25)中,令kj=k得全屈服时容器内表面残余应力的当量应力为

又在式(27)中令 σ′ei/σs≤1得

解式(28)得

称kc=2.218 457 489 916 7…为临界径比。所以,当k≤kc时,不论kj多大,即不论塑性区多深,卸除pa后,容器不会产生屈服;而 k≥kc时,若kj过大,即塑性区太深,卸除pa后,容器会屈服。于是在式(25)中令σ′ei/σs=1可得k ≥kc时容器的径比k与不产生屈服的塑性区深度kj间的对应关系,并将这种kj记作kj*,称作最佳塑性深度:

或

式(26)～式(31)与内压容器的相应公式相同[9-10]。最佳塑性深度如图4所示(实线oab)。

式(30)表明:对一定径比 k的容器,若kj≤kj*,则卸除pa后筒壁不屈服;若kj≥kj*,则卸除pa后筒壁会屈服。所以由式(30)可方便地确定安全的kj。由式(30)知,k越大(筒体越厚),kj越小,即塑性区越浅。这给工程应用带来了很大方便,因为筒体越厚越难产生较大的屈服区,故当筒体较厚时取较浅的塑性区,不但卸除自增强压力后筒壁不会屈服,且可以满足设计要求。式(30)的求解可循以下途径:①采用式(31);②用Excel软件;③用图4查取。

若kj=kj*,式(26)成为r/ri=20.5＜e0.5,即当 kj=kj* 时 ,不论 k 和 kj多大,σt′=σr′总在r/ri=20.5处发生。

再次说明 r=rj处 ,σ′ej＞ 0 。

图5a、图5b是残余应力及其当量应力沿壁厚的分布。

外压p在器壁内r处产生的轴向、径向、环向应力分别是

外压引起的当量应力为

塑性区内,总应力 σT/σs的当量应力 σTe/σs为

令σTe/σs=1得(式(33)实际就是式(8)):

式(34)与r/ri无关。

d(p/σs)/dkj=(k2—k2j)/(kjk2)＞0(kj=k时,d(p/σs)/dkj=0),即 kj越大,p/σs越大 ,kj=k时 ,p/σs最大。但 k ＞kc时,kj不能达到 k;只有k＜kc时,kj才可达到k。

所以,自增强容器承受pa时,在整个塑性区,σTe/σs≡1(σ′ei/σs≤1 不一定成立),这便自然达到了等强度设计效果。若承受小于pa的载荷,在塑性区 ,σTe/σs ＜1;若承受大于 pa的载荷,在塑性区,σTe/σs＞1。图 6所示为总应力当量应力 σTe/σs沿壁厚的分布。不论k＜kc还是k＞kc,也不论kj大小如何,均可用式(34)确定容器所能承受的压力,此时必有 σTe/σs≡1。k ＜kc时,令 kj=k,式(34)成为全屈服压力(py/σs):

结合式(34)与式(30)可得当kj=kj*时自增强容器的承载能力:

其中,pe为初始屈服压力。即kj=kj*及σTe=σs时自增强容器的承载能力为其初始屈服压力的2倍,称为最佳承载能力p*/σs,当自增强容器承受p*/σs且 kj=kj*时 ,必有 σ′ei=σs及整个塑性区σTe≡σs。k ＜kc时 ,不采用式(36)。式(36)示于图7。将式(36)代入式(32)得

于是在塑性区有:

当kj=kj*时,式(37)成为σT*/σs≡1(整个塑性区),不仅如此,还有 σ′ei/σs=1。

在式(33)中 ,令 σTe/σs=0,有

即自增强容器承受式(38)的压力时,在塑性区某 r/ri处,σTe/σs=0。在式(38)令 p/σs=0 得

这正是式(26)。

在容器内表面,r/ri=1,于是式(36)成为

在容器弹塑性界面处,r/ri=kj,式(38)成为

结合式(39)与式(30)可得当kj=kj*时:

式(34)与式(39)相除得

将式(39)代入式(33)得

在内表面,r/ri=1,于是式(42)成为σTe/σs=0。

在弹塑性界面处,r/ri=kj,于是式(42)成为σTe/σs=0 ＜1 —1/k2j＜1。

因此,自增强容器承受由式(39)所表达的载荷时,一定不会屈服。

在弹性区:

在容器外表面,r/ri=ro/ri=k,则

把式(34)代入式(43)得σTe/σs=k2j/k2≤1,欲使σTe≥σs,根据式(43),须使

这是个很大的载荷。kj=1时,式(44)成为p/σs≥(k2—1)/2;kj=k时,式(44)成为p/σs≥lnk=py/σs。不难证明,(k2—1)/2 ＞lnk。

由式(36)可导出自增强容器在σ′ei=σs(考虑安全系数及圆整后σ′ei＜σs)、整个塑性区内 σTe≡σs(考虑安全系数及圆整后σTe＜σs)条件下壁厚t的计算公式:

式中,n为安全系数;[σ]为许用应力,[σ]=σs/n。

当k＜kc时,不采用式(45)。由式(34)可导出自增强容器在塑性区内σTe≡σs时壁厚t的计算公式(σ′ei≤ σs不一定成立):

kj=kj*时,即k～ kj关系符合式(30),式(46)即是式(45)。由式(35)可导出k＜kc的自增强容器当kj=k时,在整个筒壁内 σTe≡σs条件下壁厚 t的计算公式(σ′ei＜σs必成立):

3 结论

建立了外压圆筒自增强理论与设计计算方法,分析论证过程中得到的一些规律、关系式及数据、图表等可作为压力容器工程设计时参考的依据;对工程上遇到的各种情况,均可按本文提供的方法加以解决;这些规律、关系式及数据、图表等大多与内压自增强圆筒相同,所以本文建立的外压圆筒自增强理论同样适用于内压自增强圆筒。如以下诸结果与内压自增强圆筒的相应结果在形式上一样:

(1)p/σs=pa/σs=(1 —k2j/k2)/2+lnkj时,塑性区有σTe≡σs;弹性区有 σTe＜σs。

(2)在σ′ei=σs、塑性区 σTe≡σs条件下,最佳承载能力是:k为1 ～kc时p/σs=lnk=pa/σs;k≥kc时 p/σs=(k2—1)/k2=pa/σs=2pe/σs。

(3)自增强处理时不产生屈服的塑性区深度(σ′ei/σs=1)为 k2lnk2j—k2—k2j+2=0。

(4)k2lnk/(k2—1)=1是一个很有意义的式子,临界径比kc即是此式的解。

(5)初始屈服压力和全屈服压力。

导致上述结果的原因关键在于内、外压情况下的几个当量应力相等(见式(21)～式(24))。

[1]余国琮.化工容器及设备[M].北京:化学工业出版社,1980.

[2]Brownell L E,Young E H.Process Equipment Design—vessel Design[M].New York:John Wiley&Sons,1959.

[3]Fryer D M,Harvey J F.High Pressure Vessels[M].New York:Chapman&Hall,1997.

[4]Jaward M H,Farr J R.Structural Analysis and Design of Process Equipment[M].New York:John Wiley&Sons,1984.

[5]Parker A P,O'Hara G P,Underwood J H.Hydraulic Versus Swage Autofrettage and Implications of the Bauschinger Effect[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2003,125(3):309-314.

[6]de Swardt R R.Finite Element Simulation of Crack Compliance Experiments to Measure Residual Stresses in Thick—walled Cylinders[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2003,125(3):305-308.

[7]Levy C,Perl M,Ma Q.The Influence of Finite Three—dimensional Multiple Axial Erosions on the Fatigue Life of Partially Autofrettaged Pressurized Cylinders[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2003,125(4):379-384.

[8]Amer H,Brown R D,Hetherington J.A Study of the Residual Stress Distribution in an Autofrettaged,Thick—walled Cylinder with Cross—bore[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2004,126(4):497-503.

[9]Zhu Ruili.Results Resulting from Autofrettage of Cylinder[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,21(4):105-110.

[10]Zhu Ruilin.Ultimate Load—bearing Capacity of Cylinder Derived from Autofrettage under Ideal Condition[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,21(5):80-87.