石墨烯中碳原子sp2杂化轨道研究

刘 宇，张兰兰

(湖南第一师范学院物理与电子学系，中国 长沙 410002)

因为量子效应的限制，以硅为核心的传统微电子器件将面临无法避免的困境，所以新一代电子输运器件的研究已成为凝聚态物理的热点之一.1991年碳纳米管的发现[1]使人们开始设想利用基于碳的各种输运体系替代传统半导体材料，而2004年单层石墨片-石墨烯(graphene)的制备成功[2-3]似乎使得这个设想与现实更为接近了.

碳元素的最大特点之一是存在着众多同素异形体，涵盖从零维到三维所有形态，如零维的C60、一维的碳纳米管、二维的石墨烯以及人们熟悉的传统三维材料石墨和金刚石.石墨烯是由单层碳原子紧密堆积成二维蜂窝状晶格结构的一种碳质新材料，是构建其他维度碳质材料的基本单元，具有优异的电学、热学和力学性能，可望在高性能纳电子器件、复合材料、场发射材料、气体传感器及能量存储等领域获得广泛应用[4-5].由于其独特的二维结构和优异的晶体学质量，石墨烯蕴含了丰富而新奇的物理现象，为量子电动力学现象的研究[6]提供了理想的平台，具有重要的理论研究价值.因此，石墨烯迅速成为材料科学和凝聚态物理领域近年来的研究热点之一.

石墨烯为复式六角晶格，每个元胞中有两个碳原子，每个原子与最近邻的3个原子间形成3个σ键，剩余的一个p电子垂直于石墨烯平面，与周围原子形成π键.由碳原子sp2轨道杂化形成共价键，即碳原子的2s轨道与2px和2py轨道杂化与最近邻的3个原子间形成3个共价键[7].设3个+杂化轨道波函数分别为ψ1、ψ2、ψ3,则有

ψ1=C1φ2s+C2φ2px+C3φ2py，ψ2=C4φ2s+C5φ2px+C6φ2py，ψ3=C7φ2s+C8φ2px+C9φ2py.

(1)

其中Ci(i=1,2,…,9)为杂化轨道波函数的线性组合系数;φ2s、φ2px和φ2py为碳原子轨道正交归一化波函数.根据波函数的归一化条件，可得

(2)

又根据波函数的正交性，可得

C1·C4+C2·C5+C3·C6=0,C1·C7+C2·C8+C3·C9=0,C4·C7+C5·C8+C6·C9=0.

(3)

由于电子分别处于2s、2px和2py各个轨道上的几率为1，所以可得

(4)

联立方程(2)～(4)，求得(1)式中的组合系数为

(5)

将(5)式代入(1)式，得

(6)

选取类氢离子波函数近似作为碳原子轨道波函数[8]，即

φ2s=R2,0(r)Y0,0,φ2px=R2,1(r)Y1,1,φ2py=R2,1(r)Y1,-1,

根据以上条件，由(6)式可得sp2杂化轨道波函数的具体形式为

(7)

图1 |ψ|2(φ)与φ的关系图.其中实线表示|ψ1|2的图形，虚线表示|ψ2|2的图形，点线表示|ψ3|2的图形

参考文献：

[1] IIJIMA S. Helical microtubules of graphitic carbon[J]. Nature (London), 1991, 354:56-57.

[2] NOVOSELOV K S, GEIM A K, MOROZOV S V,etal. Electric field effect in atomically thin carbon films[J]. Science, 2004, 306:666-669.

[3] NOVOSELOV K S， GEIM A K， MOROZOV S V，etal. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene[J]. Nature (London), 2005, 438:197-200.

[4] KATSNELSON M I. Graphene: carbon in two dimensions[J]. Materials Today, 2007, 10:20-27.

[5] CASTRO NETO A H, GUINEA F, PERES N R,etal. The electronic properties of graphene[J]. Rev Mod Phys,2009,81:109-162.

[6] LUKYANCHUK I A, BRATKOVSKY A M. Lattice-induced double-valley degeneracy lifting in graphene by a magntic field[J]. Phy Rev Lett, 2008,100:176 404.

[7] LIAO W H, ZHOU G H, FU X. Optical properties for armchair-edge graphene nanoribbons[J]. J Appl Phys, 2008, 104:1 261-1 263.

[8] 曾谨言.量子力学[M].北京：科学出版社，1997.