两个数论定理的群论证明

刘合国,吴佐慧

(湖北大学 数学与计算机科学学院,湖北 武汉 430062)

本文中采用的术语和符号是标准的,按照文献[1-2].

原根定理以及Wilson定理是初等数论中著名的定理,在解决素数模的高次同余式问题,判断一个数是不是素数,证明同余式和整数的整除等问题上有重要的作用.同时也可以用来简化和解决许多难度较高的相关问题,它们的证明方法较多,如文献[2-3]中,主要是用整系数多项式、指数、既约剩余系等知识进行证明.其中Wilson定理在文献[1]中以习题的形式出现,它促使我们思考用群论的方法来解决一些数论中的问题.

本文中将用群论的语言再次给出原根定理以及Wilson定理的证明,并通过原根定理给出Wilson定理的一个推广.为叙述方便,先给出这两个定理.

原根定理[2]模m有原根的充要条件是m=1,2,4,pα,2pα,其中p是奇素数,α≥1.

Wilson定理[2](p-1)!≡-1(modp),其中p是素数.

是循环群的充要条件是m=1,2,4,pα,2pα,其中p是奇素数,α≥1

(1)

引理1 G是偶阶循环群,则G有唯一的2阶元.

于是n整除m,am∈〈an〉,又因为|an|=|am|=2,故am=an.即G有唯一的2阶元an.

引理2 群的结构为

≅

引理2的证明当α=1时,模2的既约剩余系只有1,所以≅1;

当α≥3时,显然{±1,2α-1±1}是的子群,并且它同构于C2×C2,所以不是循环群,又因为〈3〉是的阶为2α-2的子群,且〈-1〉∩〈3〉=1,|〈-1〉|·|〈3〉|=2α-1,所以此时≅C2×C2α-2.

引理3[1]设G是有限Abel群,其元素的最大阶为m,则G中所有元素的阶都是m的因子.

引理3的证明令G中元g的阶是m,假如有一元素g1的阶n不是m,则存在素数p使得

m=pim1,(p,m1)=1;n=pjn1,(j>i).

令

则

|g2|=m1,|g3|=pj,

又因为(p,m1)=1,所以|g2g3|=pjm1>m,于是与m的最大性矛盾,故G中所有元素的阶都是m的因子.

令

n≅×××….

下面我们将给出(1)式的证明

(1)式的证明如果m不属于(1)式中列出的情形,那么必有

或者

于是

(α≥3);××…×(α≥2,r≥1),

或者

××…×(α≥0,r≥2).

≅

(ⅳ)由(ⅰ)和(ⅱ)并应用类似(ⅲ)的证明过程可得,在g+rp(r=0,1,2,…,p-1)中,定有一元g+ip使得

Wilson定理的证明考虑群,不难发现它为偶阶循环群，由性质1可得有唯一2阶元p-1，于是(p-1)!=p-1≡-1(modp).

Wilson定理也可以改写成：设,x2,…xφp},则x1x2…xφp≡-1(modp).于是应用原根定理可以得到Wilson定理的一个推广结论.这个结论是在文献[3]中以习题的形式出现的,其常规的证明都是用数论的方法来做的,现在我们将结合原根定理给出它的群论证明.

定理1[3]设,x2,…,xφm},其中m为大于1的正整数,则

定理1的证明当m=2,22,pα,2pα时,由原根定理可得是偶阶循环群,进而由引理1得有唯一2阶元m-1.于是x1x2…xφm=m-1≡-1(modm);

当m≠2,22,pα,2pα时,考虑的所有2阶元生成的子群Ω2(,则

Ω2(∈,其中k≥2,

令Ω2(×K,其中,K={1,a|a2=1}.则集合Ω2(与集合H∪aH相同,且|H|为偶数.于是x1x2…··a|H|≡1(modm).

参考文献:

[1] Robinson D J S.A course in the theory of groups[M].Second edition.New York:Springer-Verlag,1996.

[2] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京:高等教育出版社,1982.

[3] 潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,2003.