Hyers-Ulam-Rassias的稳定性

李兵丽,肖建斌

(杭州电子科技大学理学院数学研究所,浙江杭州310018)

0 引 言

在文献1中首先提出了有关群同态的稳定性问题,在文献2中讨论了Banach空间中Ulam提出的部分问题。在1978年,Rassias把文献2中的结果推广到赋范空间中。文献3中,考虑Banach空间中Jensen方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。文献4中,把文献3中的结果分q＜1和q＞1两种情况进行推广。本世纪更多的学者研究的是二次,三次,混合型等可加赋范方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。本文主要研究p-Banach空间中,一类Jensen方程在q＜1时Hyers-Ulam-Rassias的稳定性,并给出了稳定性条件,然后是一些推论。

1 方程在q＜1时Hyers-Ulam-Rassias稳定性

定义1 令X是实线性空间。拟范数是X上的一个实值函数,满足:

(1)对∀x∈X,‖x‖≥0,且‖x‖ =0当且仅当x=0;(2)对∀λ∈R,∀x∈X,有‖λx‖ =|λ|‖x‖;(3)对∀x,y∈X,存在常数K≥1,使得‖x‖+‖y‖≤K(‖x‖+‖y‖)。

若‖◦‖是X上的拟范数,称(X,‖◦‖)是拟赋范空间。拟Banach空间是完备的拟赋范空间。

若0＜p≤1,‖x+y‖p≤‖x‖p+‖y‖p,则拟范数‖◦‖叫做p-范数。在这种情况下,拟 Banach空间也称p-Banach空间[6]。

令Y表示Banach空间。记G为Abelian群。令E是G的子集,对∀x∈E,使得对任意的正整数n,有nx∈E。假设x∈E{0}时,2x≠0且3x≠0。对∀x,y∈E{0},φ:(E{0}×(E{0})→[0,∞)是映射且满足 :(x,y)=

先给出两个已经被证明的定理。

定理1 令 q＞0且q≠1。令δ≥0,给定θ≥0。V表示赋范空间。假设映射:f:V→Y,对∀x,y∈V,满足‖2f((x+y)/2)-f(x)-f(y)‖≤δ+θ(‖x‖p+‖y‖p)。在q＞1时,令上面不等式中 f(0)=0,δ=0。则存在唯一可加映射F:V→Y,对 ∀x∈V,当 q＜1时,满足 ‖f(x)-F(x)‖ ≤δ‖f(0)‖+‖x‖q;当q＞1时,满足‖f(x)-F(x)‖ ≤

定理2 令 f:E→Y是一个映射,对∀x,y∈E{0},(x+y)/2∈E,f满足:

则存在唯一的映射 T:E→Y,使得对∀x,y∈E{0},x+y∈E,有 T(x+y)=T(x)+T(y);对x∈E{0},有:‖f(x)-T(x)‖ ≤3-1((-x,3x)+(x,-x))[4]。

在下文中,记X 是p-Banach空间,其范数表示为‖◦‖x,其中0＜p≤1。对∀x,y∈E{0},φ:(E{0}×E{0}→[0,∞)是映射且满足(x,y)

定理3 令 f:E→X是一个映射,f(0)=0,对∀x,y∈E{0},(x+y)/2∈E,f满足:

则存在唯一的映射 T:E→X,使得对∀x,y∈E{0},x+y∈E,有:

对 x∈E{0},有:

证明 当x∈E{0}时,令y=-x,代入式2中,得:

同样,在式2中用-x代替x,3x代替y,得:

结合式5和式6,得:

在X中,序列{3-nf(3nx)}是Cauchy序列。对∀x∈X,对任意非负整数n,m,且n≥m,有)。根据的定义得到x))=0。因为X是p-Banach空间,则序列{3-nf(3nx)}收敛于X中。所以对∀x∈X,可以定义映射T:E→Y,且满足:T(x)=

当 n→∞时,对式8左右两边分别取极限,得‖f(x)-T(x)‖≤3-p((-x,3x)+(x,-x))。

根据 T的定义,有3nT(x)=t(3nx),T(0)=0成立。对∀x∈E{0},有:

对∀x,y∈E,x+y∈E,根据T的定义和式9,得 T(x+y)=2-1(T(2x+T(2y))=T(x)+T(y)。

因此,映射T:E→X满足式3。存在性得证。

令映射 T′:E→X,满足式3和式4。得‖T(x)-T′(x)‖=‖3-nT(3nx)-3-nT′(3nx)‖≤2×3-(n+1)p((-3nx,3nx)+(3nx,-3nx))。所以∀x∈E,T(x)=T′(x)。唯一性得证。

定理4 令V是向量空间,E是V的子集,且满足下面条件:

(1)对∀x∈E,|r|≥1有rx∈E;(2)若x是V中的非零元,则存在n∈N,使得 nx∈E;(3)0∈E。对∀x,y∈E{0},(x+y)/2∈E,映射 f:E→X,其中 f(0)=0,满足‖f(x)-T(x)‖≤φ(x,y)。那么存在唯一可加的映射 T:V→X,使得对 ∀x∈E{0},有‖f(x)-T(x)‖≤3-p((x,-x)+(-x,3x))。

证明 根据条件1,3,可得存在唯一映射 T′:E→X满足定理3中的式3。对∀x∈V,存在nx∈N,使得nxx∈E。可定义映射 T:V→X,当x∈E时,T(x)=T′(x);当x∉E时,T(x)=T′(nxx)/nx。

对∀x,y∈V,根据条件1,2,选定n∈N,使得nx,ny,n(x+y)∈E,则‖T(x+y)-T(x)-T(y)‖=‖T′(n(x+y))-T(nx)-T(ny)‖/n=0。证毕。

2 几个推论

应用定理4可以推出下面结论。

推论1 令V是赋范空间,固定0≤a≤3。令映射 Ψ:(a,∞)→R+,对∀t,s＞a,有 Ψ(ts)≤Ψ(t)Ψ(s),且 Ψ(3)/3＜1 。对∀x,y∈V,有‖x‖ ＞a,‖y‖＞a。令映射 f:V →X,对∀x,y∈V,f满足:

‖2f((x+y)/2)-f(x)-f(y)‖≤Ψ(‖x‖)+Ψ(‖y‖)。则存在唯一可加映射 T:V→X,对x∈V,有:‖f(x)-T(x)

推论2 令V是赋范空间,0＜q＜1,0≤a＜3。令映射 f:V→X,∀x,y∈V,‖x‖＞a,‖y‖＞a,有‖2f((x+y)/2)-f(x)-f(y)‖≤‖x‖q+‖y‖q。则存在唯一可加映射 T:V→X,对x∈V,‖x‖＞a,有:‖f(x)-T(x)

证明 定义 Ψ:(a,∞)→R+,Ψ(t)=tq,应用推论1就可以得出。

[1] Ulam SM.Problems in Modern Mathematics[M].New York:Dover Publications,1960:63-74.

[2] Hyers DH.On the stability of the linear functionalequation[J].Proc NatSci,1941,27(4):222-224.

[3] Jung SM.Hyers-Ulam-Rassias stability of Jensen's equation and its application[J].Proc Amer Math Soc,1998,126(11):3 137-3 143.

[4] Lee YH,Jun KW.A generalization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of Jensen's equation[J].Math AnalAppl,1999,23(8):305-315.

[5] Park Choonkil.Hyers-Ulam-Rassias of homomorphisms in quasi-Banach algebra[J].Sciences Mathematics,2008,32(2):87-96.

[6] Benyamini Y,Lindenstrauss J.Geometric Nonlinear Functional Analysis[M].New York:AmerMath Soc,2000:445-448.