从一道联赛题谈导数零点的3类特殊求解策略

● (通州高级中学 江苏通州 226300)

从一道联赛题谈导数零点的3类特殊求解策略

●张春明(通州高级中学 江苏通州 226300)

2009年全国高中数学联合竞赛一试中有这样一道函数题：

联赛组委会提供的标准答案是巧妙构造系数，利用柯西不等式求解.解答思路尽管精妙，但技巧强、入口窄.其实，还可以利用导数的方法求解，无需太多技巧就可以解决.

解易求定义域为[0,13]，且

导数是研究函数最值的一个强有力工具.上述解题过程符合高中生的思维习惯，入手容易，运算简单.难点在于求导函数y′=g(x)=0的零点，常规代数解法在这里并不实际，敏锐的“观察力”成为解题的关键.反思高中数学中导数零点的求法，有如下3种较为困难且比较特殊的题型，值得细细品味.

1 零点观察型

已知导数的零点或符号能看出，但利用高中代数方法无法求解.

图1

解由g(x)=0,得

即

点评导数易求，零点难得，唯“观察”是破解的最优途径.

2 “再次求导”型

这里所讲的“再次求导”有别于二阶导数.“再次求导”是对一阶导数的局部进行二次求导，目的是通过二次求导后的函数的符号变化，判断原函数的单调性情况.

(2009年上海市数学高考理科试题)

解法1(适宜填空题)数形结合，略.

解法2(适宜解答题)

(1)当x=0时，命题显然成立.

得

g′(α)=-αsinα<0.

g(α)

即

f′(x)<0,

因此f(x)在区间(0，1]上单调递减,得

f(x)≥f(1)=1，

故

k≤1.

点评解法2更具一般性.利用“二次求导”挖出零点，进而实现单调性的判断.

3 整合重组型

此法常见于利用构造法证明不等式的题型中.当直接构造的函数难以求得零点时，可以整合重组函数表达式，重组的目标是利于求得新函数的零点.

思路1直接构造.令

则

思路2可以适当考虑适度重组整合.

尝试途径1过程表明,此路仍然被卡在零点的得到上，难以奏效(不妨一试).

h′(x)=1+lnx,

q(x)最大=q(1)=0.

由于h(x)的最小值点与q(x)的最大值点并不相等，因此q(x)

点评“变”的巧，故“求”的简单.2条重组途径看似差异不大，甚至粗看上去途径1更简单，但操作下来却相去甚远.这说明在重组的过程中，要敢于尝试，大胆变形.要选择适合的方案，多想一点，就少算一点.

求导数零点是判断函数性质的前提，文中所提到的3种导数零点的特殊求解策略是高中数学中的难点，也是高考中的热点.深刻理解和熟练掌握,以期发挥导数更大的功能！