新课标高中数学课堂教学中的题型设计

● (富阳中学 浙江富阳 311400)

新课标高中数学课堂教学中的题型设计

●何文明(富阳中学 浙江富阳 311400)

1 数学试卷中的题型

在1978年恢复高考开始的5年里，数学试卷只有解答题(包括证明题和作图题).1981年和1982年都出现了填表题，1983年出现了5道选择题.1984年起，除选择题外，出现了只要求写结果的题型，实质即为填空题(直到1989年才正式命名为填空题)．其后二十多年来，这3种题型一直是高考数学试卷的命题形式，只是题量发生了变化．

从2001年起大规模的自主命题开始，高考卷变得丰富多彩，但题型始终没有跳出选择题、填空题、解答题(简称“3种题型”，下同)的圈子．纵观各地会考、阶段考试等，也几乎都采用了这3种题型，各种教辅也不例外．

从应试的角度而言，考试必须便于实施和评判，具备一定的区分度以体现选拔功能．3种经典题型历经多年，渐趋稳定的现状说明它们既适合选拔的要求，又体现了数学的学科特点．首先，数学题答案与思路通常具有确定性，单选题与填空题容易命制，也能够检验考生的知识、思维和能力，并且便于评卷量分；其次，问题作为数学的心脏，它的解决永远不是仅凭直觉，总是可以过程化、具体化、精确化，因此解答题是最具原生态的数学题，最容易考查考生的实际水平，虽然存在一题多解，但解法大多有限，仍便于按步给分．

在数学的课堂教学中，是否也应该严格按照这3种题型进行呢？

2 数学教学中的题型

高中数学课堂教学是数学的再组织、再创造.对学生而言，则是新知识体系的建构过程．从这个角度而言，新课标课本以问题为线索，以问题的解决为主要形式，其模式已经超脱于单纯的解答题范畴，成为广义的题型．而教师通过对问题的分解、重组、复述、引申及铺设台阶，将其转化为易于操作的一个个子问题，每一步几乎都是具体的解答题，这就在课堂中再现了数学发现、发展的虚拟情境．

知识的巩固、应用则基本依赖例题和练习，课本的例题也几乎都以解答题形式展现，课后习题则多以问答题、解答题、实践题形式出现．在实际操作中，教师往往针对概念的理解、知识的澄清、公式的熟悉，设置更多的即兴训练或变式练习，但题型一般都不外乎3种题型．这是数学概念课型的常规处理，原本无可厚非，但是课堂中的题型设置是否一定要与试题相匹配呢？在基本题型之外，是否可能有更适合的题型，以展示知识特点、暴露学生疑问、分散教学难点？鉴于此，笔者产生了如下一些设想．

2.1 设计判断题，暴露理解误区

在必修1方程的根与函数的零点这节课中，由于函数零点的存在性定理的条件“函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0”是结论“f(x)在区间(a，b)内存在零点”的充分不必要条件，其逆命题、否命题均不成立，定理对零点个数的确定也不支持，这都是学生易误解误用之处．因此在定理获得之后，可以设计如下判断题：

例1判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图像举出反例：

(1)已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有1个零点．

(×)

(2)已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．

(×)

(3)已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．

(×)

上述判断题的解答，让学生有了及时直面误解的机会，通过反例，从侧面、反面更深入地理解了定理的条件、结论及适用范围．若设置成单选题，将定理本身作为唯一的正确选项，学生在选出正确答案后，容易安于现状，未必愿意深究，因此从认知冲突而言，判断题可能更有效．

2.2 设计连线题，梳理知识关联

在选修2-1或1-1常用逻辑用语中关于命题的否定形式，可以设计如下的连线题：

例2将下列左右2侧互为否定的语句用线段连结：

连线题实质上是多题干对统一题支的选择题，但形式简洁，起到了浓缩的作用.一道连线题可以达到多道选择题的功效．相对而言，连线题的解答具有更广的思维开放性，要求严格界定概念间的关系与区别，容易检验出概念理解的透彻程度．

2.3 设计纠错题，杜绝解题失误

在必修3基本算法语句一课中，学生首次接触编程语言，缺乏感性认识，对其“锱铢必较”的特点不甚明了，很容易出现随意现象．为此，教师现场演示了一些程序出错的例子之后，可以设计如下的改错题：

例3下列语句在输入或执行时都被提示出错，请纠正：

(1)A=B=50; (2)x=1，y=2，z=3;

(3)INPUTx=3; (4)PRINTA+B=C;

纠错题是判断题的延伸，常搭配使用.但对学生的要求更明确，凡是涉及正误判别，或容易发生主观失误的内容，都可以编制，使用尤为广泛．

2.4 设计多选题，防止思维漏洞

图1

在必修5立体几何初步学习之后，鉴于判定定理和性质定理较多，可以设计如下不定项选择题，起到复习整理的作用：

例4如图1所示，给定下列关系，请选择其中尽可能少的作为条件，证明所给的各个结论：

①α∥β；②a∥β；③c∥β；④α⊥γ；⑤β⊥γ；⑥l⊥α；⑦l⊥β；⑧l⊥a；⑨l⊥c；⑩a⊂α；b⊂β；c⊂α；α∩γ=a；β∩γ=b．

(1)要证明α∥β，可以选择条件________；

(2)要证明c∥β，可以选择条件________；

(3)要证明a∥b，可以选择条件________；

(4)要证明α⊥γ，可以选择条件________；

(5)要证明l⊥α，可以选择条件________；

(6)要证明l⊥c，可以选择条件________．

通过一道多选题，简单复习了多种定理，有利于形成对比，也强调了a⊂α，c⊂α等条件的重要性，防止思维漏洞．这样的知识整理，得力于多选题本身的开放性，比单纯的罗列、实际的举例所激发的思维强度大，并且有效．

2.5 设计例举题，鼓励发散思维

函数的综合应用中抽象函数是一类无法回避的问题，为使之具体化，需要学生储备一定的图像知识，培养联想、创造能力．

例5分别用图像列举出满足下面各组条件的函数：

(1)在[0，+∞)上单调递增的偶函数；

(2)图像关于直线x=1对称，在[0，1]和[2，+∞)上单调递增的函数；

(3)图像连续，满足f(0)·f(4)<0且在(0，4)内有3个零点的函数；

(4)满足f(0)·f(4)<0但在(0，4)内不存在零点的函数；

(5)开口向上，有一正一负2个零点的二次函数；

(6)开口向上，在区间[1，2]上恰有1个零点的二次函数；

(7)开口向下，在区间[1，2]上恒大于0的二次函数；

(8)开口向上，在区间[1，2]上恒大于0的二次函数；

(9)开口向下，在区间[1，2]上单调递增的二次函数；

(10)开口向上，在区间[1，2]上单调递增的二次函数．

本例通过学生板书、评议、补充，用直白的题意让学生的思维得到发散的机会，既能促进对函数单调性、奇偶性、零点、二分法等的感性认识，又为解决抽象函数问题、二次函数含参问题打下基础，防止这些题目的隐性条件造成的思维阻隔，让学生在轻松环境下培养“以形促数”的思维习惯．

2.6 设计辩论题，引发深入讨论

在选修2-3排列组合中，平均分配问题是一个易错点，与其教师苦口婆心地教导，不如将2种观点正面摆出，让学生议一议．

例6将a，b，c，d，e，f这6本书平均分给甲、乙、丙3个人，有多少种不同的分法？

像这样的问题组织形式，将认知冲突摆在学生面前，即使无法真的形成激烈的辩论，也至少可以引起学生的兴趣、加深学生的印象．教师视学生情况，完全可以改变数字的大小，降低难度．讨论之后，适时变式为不平均分配及部分平均分配，扩大胜利果实．

2.7 编写应用题，实践“学以致用”

“学习有用的数学”和“养成用数学的习惯”是新课标的理念．能够正确分析题意、建立模型、解数学模型、阐释所得结果的实际意义，这就是实际应用能力．但将一个具体的问题通过简洁而严密的语言整理成一个应用题，则是更高的要求，也才真正能够体现“用数学”．

受时间、设备的限制，当前高中的数学教学依然没有太多机会走出课堂，广泛实践．研究性课题的开展毕竟在时间和参与面上都有较大的限制，不能把“用数学”和锤炼数学语言完全寄希望于偶尔的实践，而忽视了课堂这个主要的学习场所．那么在课堂这样一个“纸上谈兵”式的环境中，怎样才能营造真实、自然的情境，实现“运筹帷幄，决胜千里”？我们作了如下尝试：

准备一只暗箱，其中放置3只白色乒乓球，2只黄色乒乓球，请2名同学按规定次序轮流取球，每次取1只，且不放回，第1个摸到黄球者胜．决出胜负之后将球放回，开始新的一轮．在黑板上记录2人累计获胜的次数,一共进行100次.最终结果显示，先摸的同学胜出的次数为61次，请同学们将此游戏整理成文字，并编写一道涉及分布列的实际应用问题．

规则的描述：暗箱中有3只白球和2只黄球，2种球只有颜色的差别．甲、乙两人依次轮流摸球，每次一只，且不放回，直到摸出黄球为止，首次摸出黄球的为胜方．

问题1设ξ为摸球的次数，求ξ的分布列．

因此ξ的分布列如表1所示.

表1 ξ的分布列

问题2甲与乙谁获胜的概率更大？

问题3摸球次数平均为几次时能决出胜负？

解ξ的期望为

即摸球次数的平均值为2次．

问题4一般地，若有n只白球，m只黄球(n，m∈N*)，求P(ξ=k)(k∈N*，且k≤n+1)．

在这个案例中，学生体验了从发现问题到表述问题、设计问题到最终解决问题的完整过程，充分运用了概率与统计知识．

以上7种题型的设置，总的目的，一是用新颖的方式，从正面、反面、侧面等多角度展示知识点的内涵和外延，让学生有一个多方位的理解，可以更通透、更清晰；二是及时暴露学生的理解误区，防患于未然，将易错点直观呈现，引发讨论，加深印象；三是促进课堂的开放性，鼓励学生思考、质疑甚至争论，引起认知冲突，调动学生的求知欲，激活有效思考．

3 题型设计的再思考

3.1 3种基本题型是主体，其他题型为补充

3种题型经过时间和中外文化的考验，事实证明了它们的地位．它们能够很好地呈现大部分教学内容，适当的设计也可以取代上述某些题型，且与试题、教辅相一致，容易编写或者选取，上述题型只是适当的补充．

3.2 其他题型的编纂使用，要注意几个方面

3.2.1 条件充分，科学严密

题目内容的正确性永远是第一位的，所编题目要经得起推敲，不能有知识性的错误．即使是开放性的问题，其切口也要把握牢，让学生易懂、易操作，不超出学生的能力范围，不设计偏题、怪题．

3.2.2 言简意赅，形式优美

在内容正确、表述完整、要求明确的前提下，应力求用语的简练、形式的美观，让学生容易看懂，增强解题兴趣，方便摘抄．

3.2.3 合理选择，不走过场

在等效情况下，还是尽可能选择3种最熟悉的题型，便于学生入手．判断题、多选题、连线题常常可以改成单选题，纠错题、例举题、辩论题也可以转换成解答题，一切以服务教学、服务学生为宗旨．例举题、辩论题在课堂使用中的时间掌控、师生配合上难度较大.若采用了一言堂的处理方法，就无法收到应有的效果，因此要因地制宜，视学生水平和课时数而定,谨慎选用．

3.3 开创发掘更多题型

除上述7种题型外，还可以编写列表题、补图题、多解题、模仿改编题等等．让我们一同努力，丰富课例形式，提高例题与练习的效果．

[1] 罗增儒．数学解题学引论[M]．西安:陕西师范大学出版社，2001.

[2] 孔德宏，马绍文．美国ACT大学入学考试数学部分介绍及样题[J]．数学教学，2006(5):1-6.

[3] 谢绍义．略论数学纠错的教学原则[J]．数学通报，2003(10):17-18.

[4] 黄丽生，孙中会．高考《算法初步》的命题趋向与教学建议[J]．数学教学，2008(7):12-17.