以整数幂为元素的连分数对数的线形型下界

庄晨婕

(杭州师范大学 理学院，浙江 杭州 310036)

1 引言与预备知识

自A.Baker[1-3]对代数数的对数的线性形式的下界做出开创性成果以来，关于对数线性型下界估计的研究一直是超越数论研究中的中心课题，并不断出现新的有成效的方法和成果[4-5].1991年，朱尧晨[6]给出了一类超越连分数代数无关性的结果.于秀源等[7-8]给出了一类连分数的超越性，以及以anx(an为正整数)为元素的连分数的对数的线性型的下界估计，该文对一类以整数幂为元素的连分数对数的线性型下界给出了估计.

文献[8]给出了下面的定理：

定理A设{an}是给定的正整数列，α与β是用连分数定义的函数

在两个不同的正整数点的值.

i)μ(x)=μn，n=1，2，…；

ii)μ(x)在区间[n，n+1]上是线形函数.

用μ*(x)表示μ(x)的反函数.

其中A=max{λ(μ*(logH+1)+1),λ(μ*(logH+1)+2)}.

设x1,x2∈N*,1

p1(x)=1,q1(x)=xa1,p2(x)=xa2，q2(x)=xa1+a2+1,

pn(x)=xanpn-1(x)+pn-2(x),qn(x)=xanqn-1(x)+qn-2(x) (n≥3)，

(1)

α=f(x1),β=f(x2).

如所知[9]

(2)

容易看出，对于n=2,3,…，有

(3)

由式(1)得到

以及

(4)

同理，有

2 引 理

证明需证明对于任意不全为零的正整数k，l，

logsnlogqn+1=logqnlogsn+1.

(6)

由式(1)有

(7)

(8)

于是，若引理结论不成立，则由式(6)-(8)，得到

(9)

其中

由式(4)及式(5)，有估计

(10)

(11)

由式(9)-(11)以及假设条件得到

这是一个矛盾,从而引理结论得证.

引理2[1,10]设α1,…,αn；β1,…,βn是两组代数数，αi不为0或1，βj不全为0，用logαi表示对数主值，记

m=degQ(α1,…,αn)，H=max{|β1|,…,|βn|,e},Ti=max(H(αi),e),1≤i≤n.

若Λ=β1logα1+…+βnlogαn≠0，则

|Λ|≥exp(-(16mn)2(n+2)logT1…logTnlogH).

|Λ|=|klogα+llogβ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn)).

(12)

证明由引理1，存在只与α,β有关的常数n0，使得当n≥n0时，有

(13)

(14)

此外，有

(15)

(16)

由式(14)，(16)得到

|Λ|>exp(-(c0log2snlogH))-c3Hwn.

(17)

显然，存在常数c4，使得

c0log2snlogH+logH+logwn+logc3

(18)

由式(17)及式(18)，有

|Λ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c0log2snlogH+logH+logwn+logc3))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn)).

3 定理及证明

取数列{μn}，μn=min{-(c4log2sn)-1logc3wn，-(c4log2sn+1)-1logc3wn+1}.用下面的方式定义数列{μn}的扩展函数μ(x)，且μ(x)是递增函数：

i)μ(x)=μn，n=1，2，…；

ii)μ(x)在区间[n，n+1]上是线形函数.

用μ*(x)表示μ(x)的反函数.

定理1设上面引理3中的假设条件成立，k，l是不全为零的整数，并且

μ(n+1)-μ(n)>1(n≥1),存在常数c0和c4,则有

|Λ|=|klogα+llogβ|>exp(-c0AlogH)(1-exp(-c4A))，

其中A=max{λ(μ*(logH+1)+1),λ(μ*(logH+1)+2)}.

证明以n表示使

μ(n-1)

(19)

成立的最小正整数.使用引理2中的记号，可以分两种情况进行考虑.

|Λ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn)).

(20)

由式(19)，得到

|Λ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2sn(logH+(c4log2sn)-1logc3wn)))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2sn(logH-μn)))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(-c4log2sn)).

(21)

为了叙述简便，引用文献[8]中的符号，记λn=log2sn.由式(19)，有

μ*(logH+1)≤n<μ*(logH+1)+1，

结合上式与式(21)，并注意到λn→∞(n→∞)，给出

|Λ|>exp(-c0λnlogH)(1-exp(-c4λn))>

exp(-c0λ(μ*(logH+1)+1)logH)(1-exp(-c4λ(μ*(logH+1)+1))).

(22)

|Λ|>exp(-c0λn+1logH)(1-exp(c4λn+1logH+logc3wn+1))，

类似于情况I中的证明，同理可以得到

|Λ|>exp(-c0λn+1logH)(1-exp(-c4λn+1))>

exp(-c0λ(μ*(logH+1)+2)logH)(1-exp(-c0λ(μ*(logH+1)+2))).

(23)

联合式(22)与(23)，并注意到λn的定义，便证得此定理结论.

[1] Baker A, Wustholz G. Logatithmic forms and group varieties[J]. J Reine Angew Math,1993,442:19-62.

[2] Baker A. The theory of linear forms in the logarithms. Diophantine approximations and its applications[M]. New York: Academics Press,1973：1-23.

[3] Baker A. Transcendental number theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1979.

[4] 王莉，于秀源.关于∏有理逼近的注记[J].杭州师范大学学报:自然科学版,2008,7(1):9-11.

[5] 徐传胜,李红婷,韩振来.数学史和数学课程整合的实现途径[J].山东师范大学学报:自然科学版,2008,23(4):128-131.

[6] Zhu Yaochen. The algebraic independence of certain transcendental continued fractions[J]. Acta Math Sinica NS,1991,7(2):127-134.

[7] Yu Xiuyuan. A theorem on the transcendence and its applications[J]. Science in China(A),1997,40(8):826-831.

[8] 于秀源，沈忠华.连分数对数的线性型下界[J].数学年刊,2009,30A(3):353-358.

[9] 华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社，1986.

[10] Diophantine. Approximations, diophantine equations, transcendence and applications[J]. Indian Jour of Pure and Applied Math,2006,37:9-39.