LRC电路系统的对称性与守恒量

钱华峰 王其申

（安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽 安庆 246011）

LRC电路系统的对称性与守恒量

钱华峰 王其申

（安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽 安庆 246011）

Lagrange力学在类力学系统中有着重要的应用，利用Lagrange方程，可用来处理一些类力学系统的问题。本文运用Lagrange方程处理LRC电路系统，通过引入群的无限小变换，可以获得该类力学系统的对称性和守恒量。

类力学系统；LRC电路；对称性；守恒量

Lagrange力学是分析力学的重要组成部分，但在很多非力学和非物理领域有着重要的应用，Lagrange方程的优点之一，可用来处理一些类力学系统的问题。本文运用Lagrange方程来处理由电感L，电阻R，电容C和电动势E所组成的电路系统的问题。在LRC电路系统中，通过引入群的无限小变换，可以获得该类类力学系统的对称性和守恒量。

1 预备知识

我们首先分析最简单的LRC串联电路，如图1所示

图1

这是一个最基本的振荡电路，如果电源是电动势E=E0ejωt的稳态振荡，则由电路中各元件的物理性质和欧姆定律，电路中的电流所满足的方程是

这一方程与图2所示的力学振动系统的振动微分方程

有着完全相同的形式。

图2

比较以上两式，可以看到存在以下类比关系：

机械振动 质点位移（x） 质量（m） 弹簧常数（K） 阻尼系数（γ） 强迫力（F）电磁振荡 电容带电量（q） 自感系数（L） 电容量的倒数（C-1） 电阻（R） 电动势（E）

根据这一对应关系，进一步可以指出两个系统之间存在如下的能量之间的对应关系：

动能 势能 耗散能 补充能源机械振动 1 2mx˙2 1 2kx2 1 2 γx˙ 2 F电磁振荡 1 2Lq˙2 1 2cq2 1 2Lq˙2 E

此表说明：LRC电路中磁场能量相应于动能，电场能量相应于势能，电阻耗损的能量相应于阻尼力所耗损的能量。

2 LRC电路系统的Lagrange方程

假设LRC电路系统由m个回路组成，每个回路由导线和电容，电感组成。用ik（k=1，2，…m）表示第k个回路中的电流，qk表示电容器中的电荷，它与电流之间的关系为q˙k=ik，Rk和Ck，Lk分别表示为第k个回路中的电阻和电容，电感。系统受理想，完整的约束，取qk为广义坐标，LRC电路系统如图3所示：

图3

系统的Lagrange函数为：

系统的能量耗散函数为：

则系统的Lagrange方程为：

T，V分别为系统的动能和势能

假设方程（4）非奇异，由（4）可解得：

3 LRC电路系统的Noether对称性与守恒量

引进群的无限小变换：

其中ε为无限小参数，ξ0，ξk为无限小变换的生成元或生成函数。取无限小生成元向量

式中右式为第二项对重复指标从1到m求和（下同）。其一次扩展为

以及二次扩展为

若LRC电路系统在变换（5）下，使Noether等式成立

其中 GN=GN（t，q，q˙）称为规范函数，则系统具有 Noether对称性，并存在 Noether守恒量

证明：

将（8）式中的 代入得：

将（4）代入上式得：

4 LRC电路系统的Lie对称性与守恒量

方程（2）在无限小变换（5）下，Lie对称性确定方程为：

利用（6），（7），（8）式得到

此方程为关于无限小生成元ξ0，ξk相对于LRC电路系统的确定方程。

对于满足方程（9）的 ξ0， ξk如果存在满足

的函数 GN=GN（t，q，q˙），则存在对应于 Lie 对称性的守恒量

证明见（3）中的证明。

5 LRC电路系统的Mei对称性与守恒量

假设在无限小变换（5）下，取无限小生成元向量

X（1）是无限小生成元向量X（0）的一次扩展，有

对LRC电路系统，生成元满足如下方程

则相应的对称性为LRC电路系统的Mei对称性。

如果无限小变换（5）是系统的 Mei对称性变换，且存在规范函数 GN=GN（t，q，q˙），满足方程：

6 总结

本文中研究结果表明：群的无限小变换，在LRC电路系统同样具有Noether对称性，Lie对称性，Mei对称性，当其生成元ξ0，ξk满足一定的确定方程时，便可获得相对应的守恒量，从而可以开辟应用Lagrange力学来研究这些领域的新途径。

[1]赵跃宇，梅风翔.力学系统的对称性与守恒量[M].北京：科学出版社，1999.

[2]傅景礼，陈向炜，罗绍凯.Lagrange-Maxwell系统的 Lie对称性与守恒量[J].固体力学学报，2000，21（2）：157～160.

[3]张毅，葛伟宽.相对论性力学系统的 Mei对称性导致的新守恒律[J].物理学报，2005，54（04）：1464～1467.

[4]梅风翔，刘瑞，罗勇.高等分析力学[M].北京：科学出版社，1999.

[5]王其申.经典力学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2005.

SYMMETRIES AND CONSERVED QUANTITIES OF THE LRC CIRCUIT SYSTEM

Qian Hua-feng Wang Qi-shen
（School of Mathematics and Computation Science of Anqing Teacher College，Anqing Anhui 246011）

The important applications are obtained for the Lagrange mechanics in the class-mechanical system.Taken use of the Lagrange equation，we can deal with some the class-mechanical system questions.Used the Lagrange equation under the group infinitesimal transformations，the symmetries and conserved quantities of the LRC circuit system are obtained.

the class-mechanical system； LRC circuit； symmetry； conserved quantities

O302

A

1672－2868（2010）06－0057－05

2010－09-05

钱华峰（1973-），男，安徽桐城人。安庆师范学院数学与计算科学学院研究生。

责任编辑：宏 彬