抓住课堂教学的主阵地 培养学生的创新能力——“数域概念”一课的教学过程分析

肖新义 刘大彬

（周口职业技术学院 河南省周口 466000）

抓住课堂教学的主阵地 培养学生的创新能力
——“数域概念”一课的教学过程分析

肖新义 刘大彬

（周口职业技术学院 河南省周口 466000）

给孩子留下很多遗产，不如教会孩子挣钱的本事。教会学生知识，不如教会学生学会知识的方法。在当今的创新型社会里，大学数学教学不应再是讲座式。这里我就通过“数域概念”一课的教学过程分析，谈数学教学中学生的创新能力的培养。

数域；数集；等价；封闭

导语

我们知道，数是数学的一个最基本的概念，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数，再到复数。这个过程反映了人们对客观世界的认识的不断深入。进入大学后，为了学习高等代数中的行列式，线性方程组、矩阵、多项式、向量空间等等，就必须引入一个基础概念——数域。

讲解新课

师：什么叫数域呢？定义的方法有许多种，北大数学力学系编写的《高等代数》一书中是这样定义的：

定义1：设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如 P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域。（用幻灯片打出）

显然，有理数集Q、实数集R、复数集K都是数域。而定义中：为什么强调除数不为零？什么叫做任两个数的和、差、积、商仍是P中的数？P中包括0与1的理由，P中元素可不可有最少个数？数域是否只有有理数域、实数域与复数域三种及它们与P的关系如何等（问题用幻灯片打出），这些确是值得我们思考的问题。

在我们的数学教学中，培养学生进行质疑，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极引导、热情鼓励学生进行提出问题，自己得出结论，支持他们大胆怀疑，勇于创新，不“人云亦云”，不盲从“老师说的”和“书上写的”。以真正达到启迪思维、传授知识的目的。把数学——“思维的体操”，真正做成学生创造性思维能力培养的最前沿学科。

师：为回答上面的问题，我们先引入一个所谓运算封闭的概念。

定义 2：如果数集 P中任意两个数作某一运算的结果都仍在 P中，我们就说数集P对这个运算是封闭的。（板书）

不难由定义2想到整数集Z对于加法、减法、乘法是封闭的，对于除法并不封闭。

定义2中的运算若是除法，还要限制0不作除数，这为什么？引导学生作如下分析：（板书）

如果在a÷b=q中 b=0，那么：（1）当a≠0时，由于任何数乘以0都不可能等于非零数a，所以a÷0的商是不存在的；（2）当a=0时，因为任何数乘以0都等于0，所以a÷b的商是不确定的。

我们知道，在加法、减法与乘法中，和、差（如果存在）与积都是惟一的。在除法中也要排除商（如果存在）不是惟一的情况，因此规定在除法中除数不为零。

师：请同学们接着思考这样的问题：加、减、乘、除四种运算加与减、乘与除分别互为逆运算，定义中是否可以考虑这一点。

学生甲给出定义3：如果一个包括0、1在内的数集P对于加、减、乘、除（除数不为零）是封闭的，则称P是一个数域。（板书）

甲接着说：我们这里要指出一点，就是单元素集关于加减乘除（除数不为零）四则运算，它是封闭的。前三种运算是很明显的，后一种运算的封闭性该怎样理解呢？所谓封闭是说，如果可以进行的运算，其结果一定没有跑出此数集外。但是这种运算无对象进行，我们也认为是封闭的。这是从没有运算结果跑出去这一点去看的。所以关于除法是封闭的。

数域的定义中，如果没有明确指出必须包括0、1两个数在内，就有可能是{0}，这对以后的学习带来了麻烦。因此定义1和3中都把这种特殊排除在外了。

学生乙给出定义4：数集 P是至少包含两个不同的数。如它对减除（除数不为零）两种运算封闭。则称P为数域。（板书）

学生丙给出定义5：至少包含一个非零数的数集P，如它对减除（除数不为零）运算封闭，则称P为数域。（板书）

师：这些定义与定义1关系如何？引导学生分析讨论并作如下归纳证明：

证明：定义 3⇒定义4。因为对四则运算封闭，自然对其中两种运算封闭。

再证定义4⇒定义5。这也是容易的。因为包含两个不同的数，则其中至少有一个不等于零。从而得到定义5。

最后证定义5⇒定义3。

设P至少包含一个非零数a，它对减除两种运算封闭。下面要证明三点：

（1）证明P至少包含两个不同的数。

∵a∈p，又减法封闭，∴a-a=0∈p，这样至少包含0与a。

（2）其次，要证 P关于加法封闭。任取 b，c∈P，∵0∈p，∴-c=0-c∈p（减法封闭），∴b+c=b-（0-c）∈p（减法封闭）

（3）证明P关于乘法封闭。任取b，c∈P。

若 c=0，那么 b·c=b·0=0∈P；若 c≠0，那么 b·c=b÷（1÷c）。因b·c∈P，只要证明1∈P，再由P关于除法封闭，那么b·c∈P就可得出了。而1∈P，是因1=a÷a∈P。（除法封闭）（证毕）

定理1：定义3、定义4与定义5是等价的。（板书）

师：比较定义3、4、5、可知，定义5是最简单的，换句话说，条件再少就不可能成为数域了。对这几个定义可以随便用，那条方便用那条。

作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前”，“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。

师：请同学们接着思考下面的问题：

定理2：设P是任意一个数域，则Q⊆P（板书）

分析这个定理的意思是：任何数域都包含有理数域。或者说是数域中最小的是有理数域。这个定理还告诉我们，尽管数域定义中，只说至少包含一个非零数。或者说至少包含两个不同的数。实际上数域至少包含无穷多个数。因为任何数域都包含全体有理数在内。

下面证明定理2。

证明：P是数域，包含非零数a。

由于P关于减除两种运算封闭。所以0=a-a∈P，1=a÷a∈P

例题讲解

例1 G={a+ bi|a，b∈Q}是一个数域。称为高斯数域。其中Q是有理数域。

这里，首先要弄清楚G并不是复数域K，也不是实数域R，它是介入这两者之间的一个数域，即R⊂G⊂K。为什么G≠K，因为复数域中a，b可取任何实数，这里a，b只能取有理数，所以G比K少得多。

要证明G是数域，只要证明它关于减法和除法封闭就可以了。减法封闭显然。下面证明除法封闭。任意 a+bi和 c+di≠0，因为

归纳：定理3：数域有无穷多个。（板书）

我们常用的数域是：有理数域，实数域与复数域。

证明：减法封闭显然。

问题得证。

由于质数 P有无穷多个，每给一个就有一个数域 M（P），从而得证定理3。

小结

值得强调的是数域纵然是有无穷多个，但从数集扩展的角度来说它们又遵循如下原则：

1.原有数集是新的数集的子集；

2.原有的数集中的运算在新的数集中仍能施行，在原有的数集中不是总能施行的某种运算在新的数集中是总能够施行的；

3.原有数集中施行运算的主要性质，在新的数集中应保持有效；

4.每一次扩充都是符合上述原则的最小扩充，即逐步扩充，使每个数集都具有各自特殊的性质。

这就使得数域定义中强调可以进行四则运算不难理解，它们都包含有理数域很自然了。它们除了满足有理数域所具有的性质外，还具有各自特殊的性质，使得我们对高等数学中各个问题的研究更明确了。

培养学生的创造性思维、创造精神，首先必须转变我们教师的教育观念。在具体学科教学中，我们应当从以传授、继承已有知识为中心，转变为着重培养学生创造性思维、创新精神。现代教学理论认为向学生传授一定的基本理论和基础知识，是学科教学的重要职能，但不是惟一职能。在加强基础知识教学的同时，培养学生的创新意识和创造智能，从来就有不可替代的意义。只有培养学生的创新精神和创造能力，才能使他们拥有一套运用知识的“参照架构”，有效驾驭灵活运用所学知识。形象地说，我们的学科教学的目的不仅是要向学生提供“黄金”，而且要授予学生“点金术”。

[1]北京大学数学力学系.高等代数[M].人民教育出版社，1978.

肖新义（1962-），男，周口职业技术学院副教授，长期从事数学教学工作。刘大彬（1962-），男，周口职业技术学院高级讲师，长期从事数学教学工作。

2009-12-24