渐近线性二阶常微分方程组解的存在性和多重性

卜玉成,束永祥,卢蕊,凌蕾花

(1.镇江高等专科学校教师教育系,江苏丹阳 212310;2.镇江高等专科学校学报编辑部,江苏镇江 212003; 3.镇江高等专科学校人事处,江苏镇江 212003)

渐近线性二阶常微分方程组解的存在性和多重性

卜玉成1,束永祥1,卢蕊2,凌蕾花3

(1.镇江高等专科学校教师教育系,江苏丹阳 212310;2.镇江高等专科学校学报编辑部,江苏镇江 212003; 3.镇江高等专科学校人事处,江苏镇江 212003)

研究一类渐近线性二阶常微分方程组解的情况。通过建立对应线性二阶常微分方程组的指标理论,得到渐近线性二阶常微分方程组解的存在性与多重性判定方法和实例。

二阶常微分方程组;线性系统的指标理论;解的存在性;解的多重性

0 引 言

董玉君[1]讨论了渐近线性二阶 Hamilton系统

在Dirchlet边值

下解的存在性和多重性,其中V:[0,1]×Rn→R和V′:[0,1]×Rn→Rn均连续,V′表示 V关于 x的导数。岳静[2]和卜玉成[3]进一步讨论了系统 x″+Cx′+V′(t,x)=0在条件 (2)下解的存在性和多重性,其中:C是 n阶反对称矩阵,V满足的条件同上。

I.Ekeland[4]提出了系统 (1)的另一种拓展形式

其中:C(t)是 n阶对称矩阵函数,V满足的条件同上。I.Ekeland指出,分析系统 (3)有助于我们处理一些非凸性问题。本文将讨论系统(3)在条件(2)下解的存在性和多重性。

2 线性系统的指标理论

对∀A1,A2∈GLs(Rn),若 A2-A1半正定,则记 A1≤A2;若 A2-A1正定,则记 A1＜A2。对∀A1,A2∈L ((0,1);GLs(Rn)),若对 a.e.t∈(0,1)有 A1(t)≤A2(t),则记 A1≤A2;若 A1≤A2,且在 (0,1)内具有非零测度的子集上有 A1(t)＜A2(t),则记。

系统(3)对应线性系统为

定义1 记二次型若φC,A(x,y)=0,则称 x与 yφC,A正交。H1和 H2是 H中的两个子空间,若对∀x∈H1,y∈H2都有 x与 yφC,A正交,则称子空间 H1与 H2φC,A正交。

命题 1 对∀A∈L ((0,1);GLs(Rn)),H必有一φC,A正交分解式:,且满足:1)φC,A(x,x)＞0,; 4)都是有限维的。

证明 定义内积

由定理 5.4.2[5]可知,范数‖x‖λ0和‖x‖等价,其中λ0＞0且满足A＜λ0In。由 Riesz表示定理可知,存在连续线性算子→H满足

记τ:H→L2是紧嵌入,则 fλ0τ:H→H是自伴紧算子。由自伴紧算子的谱理论可知,存在μi→0和 ei∈H(i= 1,2,…),使得

由式(6),式(7)可得

从而由定义 1可知命题 1成立。

定义 2 对∀A∈L ((0,1);GLs(Rn)),定义和νC(A)分别称为A的指标和零化度。

定义 3[6-7]若φ是 Hilbert空间 X上的对称双线性形式,则它的Morse指标和零化度定义如下:

证明 式(10)是显然的,下面证明式(9)。

引理 2 设 x∈H,f∈L2((0,1),Rn)满足则 x∈H2且满足 x″+f(t)=0。

证明 对于 f∈L2((0,1),Rn),存在 F(t)∈H2满足 F″(t)=f(t),故

由 y的任意性可得 x′(t)+F′(t)=0,从而 x″(t)+f(t)=0。

命题 2 对于∀A∈L ((0,1);GLs(Rn)),iC(A)和νC(A)具有以下性质:1)νC(A)是式 (4),式 (2)解空间的维数,且对∀A1,A2((0,1);GLs(Rn)),若 A1≤A2,则 iC(A1)≤iC(A2);若 A1＜A2,则 iC(A1)+νC(A1)≤iC(A2)。

由引理 2可知,x是式 (4),式(2)的解。

3)由于A1≤A2,故对∀x∈(A1),有φC,A2(x,x)≤φC,A1(x,x)＜0。由φ的Morse指标定义和引理 1可知 iC(A1)≤iC(A2)。若 A1＜A2,则φC,A2(x,x)＜φC,A1(x,x)＜0。对∀y∈(A1),有φC,A2(y,y)＜φC,A1(y, y)=0,故由定义 3和引理 1可知,iC(A1)+νC(A1)≤iC(A2)。

3 渐近线性系统解的存在性与多重性

定理1 设

1)存在连续函数 A∈L ((0,1);GLs(Rn))和 h:[0,1]×Rn→Rn,对于∀t∈[0,1]当 |x|→ 时一致有h(t,x)=ο(|x|),使得

2)存在 A1,A2∈L ((0,1);GLs(Rn))且 A1≤A2,iC(A1)=iC(A2)＞0,νC(A2)=0,使得

或存在 A0∈L ((0,1);GLs(Rn))且 iC(A0)+νC(A0)=0使得

则式(3),式(2)至少有一个解。

定理2 设

1)V∈C2([0,1]×Rn,R),对于任意 |x|≥M ＞0,必存在 A1,A2((0,1);GLs(Rn)),使得A1(t)≤V″(t,x)≤A2(t),且 iC(A1)=iC(A2)＞0,νC(A2)=0;

2)V(t,θ)=0,V′(t,θ)=θ,A0(t):=V″(t,θ),且 iC(A1)∉[iC(A0),iC(A0)+νC(A0)],则式 (3),式 (2)至少有一个非平凡解;

同时,若 3)νC(A0)=0,|iC(A1)-iC(A0)|≥n,则式 (3),式 (2)有两个非平凡解。

定理 1和定理 2的证明完全依据指标理论进行,限于篇幅,本文不再给出,感兴趣的读者可参考文献[2-3]。下面给出定理 1和定理 2的应用实例。

4 实 例

例 1 设 C(t)=diag{λ1,λ2,…λn},A(t)=diag{μ1,μ2,…μn},fi:R→[0,α]连续且 fi(R)=[0,α],其中:α＞0,λi, μi∈R(i=1,2,…,n)。记t∈[0,1],x∈ Rn,故 V(t,x)满足式 (11),其中:A(t,x) =A(t) +diag{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)},若令α},则 iC(A0)=νC(A0)=0,故 A(t,x)满足式 (13);若λi+μi+α∈(k2π2,(k+1)2π2)(i=1,2,…,n)且α充分小,令 A1(t)=A(t),A2(t)=A(t)+αIn,则νC(A2)=0,iC(A1)=iC(A2)=nk,故 A(t,x)满足式 (12),由定理 1可知,式(3),式(2)有解。

[1]DONG Yu-jun.Index theory,nontrivial solutions and asymptotically linear second-order Hamiltonian systems[J].J.Differential Equations,2005(214):233-255.

[2]岳静.指标理论和渐近线性二阶常微分方程组解的存在性[D].南京:南京师范大学数学科学学院,2008.

[3]卜玉成.渐近线性二阶常微分方程组解的多重性[D].南京:南京师范大学数学科学学院,2009.

[4]EKELAND I.Convexitymthods in hamiltonian mechanics[M].Berlin:Springer,1990.

[5]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义 (I)[M].北京:北京大学出版社,1987.

[6]MAWH IN J,W ILLEM M.Critical point theory and hamiltonian systems[M].Berlin:Springer,1998.

[7]CHANG K C.Infinite morse theory and multiple solution problems[M].Basel:Birkhauser,1993.

〔责任编辑:卢 蕊〕

Existence and multiplicity of solutions of asymptotically linear second-order ordinary different ial system s

BU Yu-cheng1,SU Yong-xiang1,LU Rui2,L ING Lei-hua3

(1.Teachers'TrainingDepartment,Zhenjiang College,Danyang 212300,China;2.Journal EditorialDepartment,Zhenjiang College, Zhenjiang 212003,China;3.PersonnelDepartment,Zhenjiang College,Zhenjiang 212003,China)

Solutionsof asymptotically linear second-orderordinary differential systems are discussed and index theory of correspondingly linear systems is established.Existence and multiplicity of solutions of asymptotically linear second-order ordinary differential systems are obtained from it.At the same time,examples are given.

second-orderordinary differential systems;index theory of linear systems;existence of solutions;multiplicity of solutions

O175.1

A

1008-8148(2010)03-0062-04

2010-03-02

镇江高等专科学校 2010年度校级科研课题(2010053113);江苏省“青蓝工程”资助项目(苏教师〔2007〕2号)

卜玉成(1978—),男,江苏丹阳人,讲师,硕士,主要从事常微分方程研究;束永祥 (1972—),男,江苏丹阳人,副教授,硕士,江苏省“青蓝工程”优秀青年骨干教师,主要从事基础数学和数学教育教学研究。