《数书九章》流传新考——赵琦美钞本初探

郑 诚 朱一文

(中国科学院 自然科学史研究所,北京 100190)

《数书九章》流传新考
——赵琦美钞本初探

郑 诚 朱一文

(中国科学院 自然科学史研究所,北京 100190)

秦九韶所著《数书九章》(1247年)是中国历史上最重要的数学著作之一。文章梳理了该书的版本源流,首次探讨了赵琦美钞本(1616年)的特色与价值,指出该本保存了筹算数学的珍贵信息,为研究《数书九章》提供了新材料。

秦九韶 《数书九章》 版本 赵琦美 筹算

秦九韶所著《数书九章》(以下简称“秦书”),系宋元数学高潮时期的代表作,被誉为“堪与《九章算术》相媲美的数学名著”[1]。清中期以降,虽然历代学者校勘、研究甚勤,然而各种传本“都存在不少问题,这部数学名著迄今尚无精校细雠的善本。”[1]

欲得校勘精善之本,必先考证一书之版本源流。在对秦书的现代研究中,继钱宝琮(1966年)[2]之后,Ulrich Libbrecht(1973年)较为深入的考察了相关问题[3]。李迪 (1986年)复有补订[4]。诸家不免间有未谛,特别是未及讨论明人赵琦美钞本。赵琦美钞本不仅是现存最早、最接近秦书原貌之足本,也是该书影响最大之通行本宜稼堂丛书本的源头,然迄今未见相关研究。本文即以前人研究为基础,辨正补苴,梳理秦书流传始末,重点讨论赵琦美钞本的独特价值,为学界进一步研究秦书提供新线索。

1 早期流传与明文渊阁藏本

秦九韶 (1208—约 1261年)[5]作品之著录,首见于陈振孙 (约 1181—约 1262年)[6]《直斋书录解题》卷 12“历象类”：“数术大略九卷鲁郡秦九韶道古撰……此书本名数术,而前二卷大衍、天时于治历测天为详,故置之于此。秦博学多能,尤邃历法,凡近世诸历,皆传于秦。所言得失,亦悉着其语云”;又谓《占天》、《纪元》二历“近得之蜀人秦九韶”。[7]可见陈、秦二人或有直接交往,记载较为可信。周密 (1232—1298年)《癸辛杂识续集》卷下,谓“秦九韶字道古……或以历学荐于朝,得对。有奏稿及所述数学大略。”[8]书名前两字已有不同。

永乐三年 (1405年),明成祖命开馆文渊阁,重修《文献大成》,至六年十二月修成,都二万二千九百三十七卷,更赐名《永乐大典》(以下简称“《大典》”)。《大典》诸底本系明初四方征集,存于南京文渊阁之皇家藏书。[9]按《永乐大典目录》,卷 16329—16365,隶属“算”字,今可见者,惟剑桥大学图书馆所藏嘉靖重钞本,卷 16343、16344二卷。[10]秦书凡八十一题,《大典》散入“算”字各卷,今可见者,唯卷 16343所收三题,皆引作“秦九韶数学九章”①《永乐大典 》卷 16343,6b“筭回运费 ”、14a“军器功程 ”、17a“推求典本 ”。见参考文献 [10],页 1403、1407、1409。又据严敦杰考证,李俨旧藏《诸家算法及序记》钞本,系自《大典》“筭”字卷 16361辑出。中有秦书序、系。影本亦收入前书 ([10],1429—1455页)。。永乐十九年,明成祖敕南京翰林院,将文渊阁藏书每种取一部运往北京。正统初年,这批书籍被移入北京文渊阁东阁。正统六年 (1441年)杨士奇等编成《文渊阁书目》,著录约 5800种,大致相当《大典》收书数量。[11]宿字号第一厨,“算法”类收算书 24部 ,内有“数学九章一部三册 完全②“完全”字样当系后来查核时所加,非目录成书时内容。另有钱溥《秘阁书目》(1486年)不分卷,当系录自《文渊阁书目》,秦书著录作“数学九章三”。见参考文献[12],第 691页。”[12]。明代中期,文渊阁藏书散失严重,万历三十三年 (1605年),张萱等编成《秘阁藏书目录》,收书 2447种,仅千余种与《文渊阁书目》相同([11],第 51—53页)。其中“技艺部”惟存算书 3种,仍著录“数学九章三册全钞本宋淳祐间鲁郡秦九韶撰”[13]。约略同时成书之焦竑 (1540—1620年)《国史经籍志》载有“数学九章九卷宋秦九韶”,然焦氏乃修纂史志书目,未尝亲验各本[14]。崇祯十一年 (1638年),梁维枢奉命重编《内阁藏书目录》5卷,惜今仅存清钞本 1卷 (上海图书馆藏),“子部”已失去,无从查验秦书阁本存殁 ([11],53—56页)。另外,所谓叶盛 (1420—1474年)《菉竹堂书目》亦著录“数学九章三册”,实则传世《菉竹堂书目》系据《文渊阁书目》裁出之伪书,清儒多有考证③陆心源《仪顾堂书目题跋汇编·仪顾堂题跋》(北京：中华书局,第 80—81页),“粤雅堂刻伪菉竹堂书目跋”;陈征芝藏,陈树杓撰,《带经堂书目》,风雨楼丛书本,卷 2,“菉竹堂书目”条,周星诒批注;陶存煦《清姚海槎先生年谱》(《新编中国名人年谱集成》,台北：台湾商务印书馆,1980年,第 20—21页)引传主姚振宗语。。黄虞稷 (1629—1691年)《千顷堂书目》为有明一代文献总目,各类后补入正史艺文志未载之宋元人著作,亦收录“秦九韶数学九章九卷鲁郡人”。[15]此条应是得自前人书目,非作者实见其书。

综上所述,秦九韶书,或原名“数术”,宋明间似未尝刊刻,钞本流传亦极罕。永乐初年,南京文渊阁存有秦书,题作“数学九章”,为《永乐大典》底本;鉴于该书极为稀秘,阁本恐仅此一部,即移往北京之钞本三册,至万历年间尚存北京文渊阁中。④元代郭守敬等修成《授时历》(1280年),废除上元,大衍术遂无用武之地,秦书开首大衍、天时二类内容失其功用。这或许是造成该书几乎失传的一个因素。

2 赵琦美钞本始末

现存秦书诸本,除《永乐大典》残卷见存三题,最早且最全之本系万历间赵琦美钞本(以下简称“赵钞本”),现藏中国国家图书馆。是书凡 18卷,4册,有赵琦美跋语。每二卷为“九章”之一。半叶 10行,行 20字,无行格栏线,书口记书名 (“数书九章”)、卷次、页码。前有淳祐七年秦九韶序、系 (即各章解题,凡 9条)、目录。首卷首行题“数书九章卷一”、次行题“鲁郡秦九韶”;卷 2至卷 18题“数书”卷几。钤有“铁琴铜剑楼”白文方印(卷 1首叶、全书末)、“北京图书馆藏”朱文方印 (秦序首叶)。全书笔迹非出一手,当是钞胥所为,有朱笔校字,或系赵氏手笔。又粘浮签若干,多为后来藏家指导书手录副之语。赵琦美跋二则,一在卷 11后副叶,一在全书末,皆大字楷书。文曰：

《数书九章》四卷,系赞九章,序东鲁秦九韶所作,而书不著作者姓名,岂即九韶所著耶?淳祐七年,宋理宗年号。此书原阁钞本,会稽王云来应遴录得,予借录一过。王有志经济,上书修《大明一统志》,已得旨,而礼曹不为一覆。今王已私修,俟覆开局也,岂非志士乎。万历四十四年丙辰孟秋晦日清常道人琦美记。

又曰：

《数书九章》十八卷,宋淳祐间鲁郡秦九韶撰。会稽王应遴堇父借阁钞本而录也,予转假录之。原无目录,予为增入。时万历四十五年新正五日清常道人赵琦美记。

第一则跋语颇多涂抹改笔。“数书九章四卷”中“九章”二字抹去,旁注“其九章二字乃王云来增入也”,“四”字抹去,旁改作“十”、“十八”;“此书原阁钞本”旁注“原止名数书耳”,又抹去;“予借录一过”,行间加笔“册元止名数书,九章二字,乃王添入”。加笔皆系行草,似非赵氏本人改作。①天头浮签：“此页须另录出,字样照此大亦可,但不必列页数。”今宜稼堂丛书本置赵氏第一跋于秦氏序系后,且已部分采用改笔内容,作“数书十卷,系赞九章”、“册元止名数书,九章二字,乃王添入”。第二跋置全书末,文字同赵钞。

王应遴 (?—1644年),字堇父,号云莱,山阴人。万历四十六年副榜恩贡,授内阁中书,修两朝实录、玉牒,晋大理寺左评事。天启初因触犯魏忠贤削籍。崇祯初,以徐光启之荐,起原任,参与修订历法、会典。甲申三月于北京被难。②高登先修,沈麟趾等纂,《康熙山阴县志》,康熙十年刊本,卷 29,人物志七,24a-b;张三异修,王嗣皋纂,《康熙绍兴府志》,康熙十二年刊本,卷 50,人物志十三,4b-5a。Libbrecht误认其为漳浦王应麟 (1545—1620年),见参考文献[3],第 41页。祁承 (1563—1628年)与王氏为总角交,“更同嗜藏书,各得一奇书,两人互相夸示,必欲购得而后已”。祁氏为晚明藏书大家,其文集中屡见从王应遴借书之事,且有文渊阁宋本。③祁承 ,《澹生堂集》,原国立北平图书馆藏崇祯刊本 (中国国家图书馆藏缩微卷),卷 9,26b-28a“题王堇父游记”;卷 13,33a,“戊午历”,“(万历四十六年二月初六日)从王堇父借得《会稽掇英集》,乃阁中宋本”。可见王氏富于藏书,唯及身而散,声名不显。

正如赵琦美所云,王应遴“有志经济”。泰昌元年 (1620年)九月,王氏上书朝廷,请求修历,提出所谓“言历理当明二十事,修历之法当饬四事”,自称于历算之学“虽非专门,而幼喜此学,尝绘有《经纬星图》、《乾象图》行于世,又辑有《观书》、《测书》、《数书》等二百余卷藏于家。”[16]可见文渊阁藏本《数学九章》经王氏钞出,乃编为“数书”④王应遴辑录之作,多名某“书”。今有《备书》20卷传世。贵州省图书馆藏天启刻本、日本国会图书馆藏万历四十八年序刊本。似为论守城之书。。万历四十四年正月,王应遴恰在北京[17]。阁本录副,或在此时?惜王钞不传。有趣的是,秦九韶有志参与改历,著书即以“大衍”、“天时”两类冠首。王氏可谓异代同调,钞录秦书,固非偶然。

赵琦美 (1563—1624年),又名开美,字仲朗,号玄度,别署清常道人,常熟人,历官刑部郎中,室名脉望馆。著名的《脉望馆钞校本古今杂剧》(1615—1618年)即与《数书九章》钞成于同一时期,彼时赵氏正在北京服官。[18]传世《脉望馆藏书目》最后著录为“万历四十一年十一月”续增之书,故未载秦书。[19]

赵氏殁后,藏书多归同乡钱谦益 (1582—1664年),钱氏绛云楼被火 (1650年),幸脉望馆钞本无恙,谦益转赠族曾孙钱曾 (1629—1701年)。钱曾云：“清常殁,其书尽归牧翁……然绛云一烬之后,凡清常手校秘抄书都未为六丁取去,牧翁悉作蔡邕之赠。”[20]

钱谦益《绛云楼书目》“历算类”著录“数书九章四册”①黄永年旧藏清初黑格钞本系迄今所知最近钱目原貌之本。粤雅堂丛书本《绛云楼书目》卷 2,著录“数书九章”,无册数,下标“九卷宋秦九韶”,系陈景云 (1670—1747年)注文,不足为据。[21]。钱曾《述古堂藏书目》“数术”类,著录“秦九韶数书九章十八卷四册阁本钞”[22]。《读书敏求记》著录脉望馆遗书 22种,其一为“数书九章十八卷”,云“清常道人从会稽王应遴借阁钞本校录”([20],79—80页)。无疑均为赵琦美钞本。

雍乾间,赵钞本不详在何处。常熟张金吾 (1787—1829年)《爱日精庐藏书志》著录“数书九章十八卷旧抄本脉望馆藏书”,又谓“四库全书著录本系从永乐大典录出,此则原本也”。[23]不知是否确为原书。瞿镛 (1794—1840年)《铁琴铜剑楼藏书目》著录“数书九章十八卷旧抄本”,附载赵琦美书末跋语 ([24],卷 15)。晚清民国间,常熟瞿氏子孙世守其书,后多捐入北京图书馆 (今中国国家图书馆)[25]。今中国国家图书馆所藏赵钞本钤有“铁琴铜剑楼”,即瞿氏印记②《北京图书馆善本书目》(北京：中华书局,1959年,卷 4,34a)著录 1937—1959年间入藏之本,载《数书九章》赵琦美家钞本,然未标注“瞿捐”。。明清三百年间,是书或未出虞山一地也。

道光二十二年 (1842年),宜稼堂丛书本《数书九章》出版,底本系赵钞本之副本 (后详)。由于宜稼堂本影响深远,“数书九章”也成了秦九韶著作最为通行的书名。

3 四库全书本与宜稼堂丛书本

乾隆三十八年 (1773年),清廷开馆编修《四库全书》。四库馆臣自《永乐大典》辑出《数学九章》,是为秦书四库本 (或曰馆本)。书前《提要》云“数学九章十八卷……乾隆四十九年 (1784)十月恭校上”。正文则分为九卷,各卷又分上下。书前题名：详校官钦天监博士古之雄、灵台郎倪廷梅覆勘;总校官候补中允王燕绪、校对官编修孙希旦、誊录监生张龙圻。[26]按乾隆四十六年“记过次数清单”,天文算学纂修兼分校官陈际新需对《数学九章》钞写错误直接负责[27]。陈际新,字舜五,宛平生员,祖籍福建,钦天监灵台郎,为钦天监正明安图高弟,续成明安图《割圆密率捷法》(1774年)([28],卷 48)。陈氏家族为清代钦天监世家,今有《陈氏六书》传世,汇乾嘉间族人天文算学著述为一编③陈启运辑《陈氏六书》13卷,中国国家图书馆藏稿本。内有陈际新辑《气候备考》1卷,乾隆四十六年 (1781年)序,内容系月令图注。。前人多以四库本《数学九章》为戴震 (1724—1777年)辑校,秦书《提要》亦出戴氏,实际并无证据[29]。四库本《数学九章》辑入秦氏序、系,并 81题。《永乐大典》所引各条并未标识原书卷次,馆臣仅能根据各题内容,参照秦氏解题 (“系”)所分 9类,略为编次,故各题卷次与赵琦美钞本多有异同;《提要》谓“于其误者正之,疏者辨之,颠倒者次第之,各加案语于下”,实际往往径改,不加说明,已失原书面目。①宜稼堂本与四库本各题编次差异。见宋景昌《数书九章札记》卷 1,1b-2a,宜稼堂丛书本。

四库本经传钞流入民间,清代学者得以接触秦九韶之书。此后凡称述“数学九章”者,皆由馆本而来。乾隆末期出现研究高潮,“所有数学家几乎都涉及到该书,一些非数学家的学者也插足其间,不仅著录显著增加,而且出现互相传抄、借阅也成风气。”相关史料,李迪征引甚详,此不具论。[4]

同一时期,赵琦美钞本亦有副本流传。元和顾广圻 (1766—1835年)尝代夏文焘作《数书九章序》,谓江都秦恩复 (1760—1843年)“校其家道古数书开雕,属文焘为之覆算”。[30]未署年月。秦恩复刊《数书九章》事唯此一见,当未能刻成。既云“数书”,显与赵钞本有关,然序文无一语及赵氏。顾广圻与秦恩复相识于嘉庆十年 (1805年)三月,后为秦氏校刊《鬼谷子》(1805年)、《隶韵考证》(1810年)等书。[31]秦氏编有《石研斋书目》,著录自家藏书,顾广圻为之序 (1805年),盛称该目详注版本,可为后来模范 ([30],第 193页)。秦恩复 (1821年)亦提及藏书中有赵琦美校本 ([32],卷上)。惜该目存殁不明,无从参考。

道光二十二年,秦九韶著作首次刊行,是为郁氏宜稼堂丛书本《数书九章》十八卷②秦九韶《数书九章》,宜稼堂丛书本。内封题“道光壬寅辜月开雕”。。郁松年云：

毛君生甫 (岳生)为予言：秦道古《数书九章》思精学博……元和沈广文 (钦裴)曾得明人赵琦美钞本于阳城张太守 (敦仁)家,订讹补脱,历有年所,以老病未卒业。其弟子江阴宋君景昌能传其学。余因属毛君索其原本。会广文病甚,不可得。得其副于武进李太史 (兆洛)家。毛君又出其家藏元和李茂才 (锐)所校四库本,并属宋君为之雠校。嗣广文没,宋君又于其家搜得秦书刊误残稿数卷。于是以赵本为主,参以各本……别为《札记》,以资考证。③宋景昌《数书九章札记·郁松年序》,宜稼堂丛书本。内封题“道光壬寅畅月开雕”。

宜稼堂本的成书过程,从一个侧面反映了乾隆嘉道间学者对秦书的研究进展。至此,赵琦美钞本与四库全书本两个系统合二为一。

宋景昌《数书九章札记》所校底本讹误,与赵钞本文字有异④例如《数书九章札记》谓秦书序中“浸浸乎”一词,“原本浸浸误慢慢”。赵琦美钞本此处实作“浸浸”无误。参见宋景昌《数书九章札记》,宜稼堂丛书本,卷 1,1a。。可见宜稼堂丛书本《数书九章》之底本系赵钞之副本,宋景昌校书时并未见到原钞⑤郁氏藏书散出时,有售书薄录,载“数书九章抄四本二元”。参见郁松年藏并编《宜家堂书目》,《中国著名藏书家书目汇刊·近代卷》第 1册影岛田翰旧藏钞本,第 306页。。沈钦裴所得“原本”当亦是传钞副本。“秦书刊误残稿”尚有部分存世⑥北京大学图书馆藏《古历会积》钞本 1册,系秦书卷 1中题,署“沈钦裴订误”,审其考订之语,似嘉庆甲戌(1814年)后作,主要内容已收入《数书九章札记》。是册当系沈氏稿本,即“秦书刊误残稿”之一。。

张敦仁着力搜求数学古籍,嘉庆二年 (1797年),遇学政李潢 (1746—1812年)于江西,“借录所藏秦、李诸书”。①张敦仁《求一算术·序》,《中国科学技术典籍通汇·数学卷》,第 5册,五影岱南阁丛书本,第 95页。李潢嘉庆二年 (1797年)视学江西,三年转左侍郎。参见郭尚先《钟祥李氏墓志铭》：http：//img25.artxun.com/sdd/oldimg/58f8/58f8ee926ef3148538e1ce4f093fe6e9.jpg(2009-12-6)鉴于李潢尝参与编修四库,张氏借录者当为四库馆钞《数学九章》副本。然敦仁久居苏淞、江宁,与并世藏书家张金吾、秦恩复辈相互通假,传写秦书赵钞亦在情理之中。②嘉庆年间,顾广圻为张敦仁校书甚多,且为敦仁所著《开方补记》(1805年)作序;同年九月,又曾为张金吾《爱日精庐藏书志》作序,时金吾藏书已散出。见参考文献[29],第 190—192、199—200页。算学名家焦循 (1763—1820年)亦藏有赵钞副本。③陆心源 (1834—1894年)《皕宋楼藏书志》著录“数书九章十八卷旧抄本焦里堂旧藏”,按语“《四库全书》著录本系从永乐大典录出者,此则原本也”。参见陆心源编《皕宋楼藏书志》,光绪八年刊本,卷 48,18b—20b。

宜稼堂本《数书九章》很快成为秦书的标准版本。光绪间有《古今算学丛书》石印本。1930年代,《国学基本丛书》与《丛书集成初编》(二者同纸型)据宜稼堂本排印,流传更广。《中国科学技术典籍通汇·数学卷》(1993年)则影印了宜稼堂本。实际上,迄今对秦书的现代研究几乎全部是以宜稼堂本《数书九章》及《数书九章札记》(即校勘记)为基础的。

4 赵琦美钞本之价值

古籍辗转传写,必有讹脱,特以算书为甚。秦书是中国古代筹算数学最高杰作之一,赵琦美钞本保存了有关筹算的重要信息。本文仅就秦书“算图”部分略举两例,说明赵钞本可贵之处。

中国古代数学著作原本有术无草 (例如《九章算术》),唐初算学博士刘孝孙始为《张丘建算经》撰写细草 (即带有数字之具体计算,说明术文)。《数书九章》更进一步,出现算图,即将筹筭运作过程绘入书中,补充算草。秦书宜稼堂本之算图全无连线。《永乐大典》残存之“军器功程”题尚有三处连线 ([10],1409页),与赵钞本卷 16该题略同④三处连线,俱乘法,大典本在数字上方,赵钞本在数字下方。同题中赵钞本另有多处连线,大典本无。。四库全书本个别算图尚有少量连线⑤四库馆臣似未能充分理解连线的实际用途,已大加删改。馆本卷 3下“环田三积”算图中连线有单双,虚实,首首、首尾连接之别,与赵钞本 (卷 6)契合,然较零落,且数码旁无小注 (赵钞有)。这足以证明赵钞本与四库本同源,其祖本 (即明文渊阁藏钞本)必有此类连线。参见文献[26],第 424—429页。。唯赵琦美钞本存在大量连接线段,表示运算规则⑥赵钞本卷 1“推库额钱”题中犹粘一浮签,云“不必写线,但写两边头号可也”。可见传写副本无连线,系后人有意为之。。

算图中的连接线段,首见于卷 1“古历会积”题。其中气分、朔分与总等相连,用以表示气分、朔分与总等相约,与图名“总等不约纪分”相合。连接线段贯穿全书,有单线、双线,有两数首首相连 (如位数不等,连线一端则为空位○)、尾尾相连、首尾相连 (甲数头位与乙数末位相连),看似杂乱,实则有章。算图中运算关系,主要是加减乘除,连接线段表达 /帮助四则运算。据笔者所见,连线之运用大致遵循如下规律。

两数首首双线相连或尾尾双线相连表示两数相加。如卷 3“治历演纪”题,“强弱母子互乘得数并之为朔余”这一加法运算 (8814+153=8967),8814之 4与 153之 3用双线(尾尾)连接表示相加。又如卷 5“尖田求积”题,求率开方图中,大率小率首首双线连接表示相加。

两数首首单线相连或尾尾单线相连表示两数相减。如卷 2“积尺寻源”题,大方砌少六寸、小方砌少三寸等,用两数尾尾单线相连表示相减。又如卷 5“尖田求积”题,求率开方图中,若干相减关系用两数首首单线相连表示。

两数首尾单线 (实线或虚线)相连或尾尾单线相连表示两数相乘。如卷 1“古历会积”题,用大衍总数术求解,乘率和衍数之间尾尾单线相连。卷 3“治历演纪”题,日法和朔策之间首尾相连,均是表示两数相乘。“治历演纪”题中日法与日刻两数首首单线相连亦表示相乘,似为特例。大概由于日刻无整数部份,相当于小数,若首尾相连则失之过远。

两数首尾单线 (实线或虚线)相连或首首单线相连表示两数相除。如卷 3“治历演纪”题,气定骨、约率首尾实线相连。卷 12“囤积量容”题,余、半法首尾虚线相连。卷 16“军器功程”题,弓日、刀日分别与法首首相连。

两数之中若有小数,则连线止于个位,以示整数、小数之别。

按,筹算加减法,两数需首尾对齐 (首对首、尾对尾);筹算乘除法,两数需首尾相接。赵琦美钞本之线段运用,似是筹筭传统在算图上的反映,进而使用双、单线区别加、减,表达更为清晰。①筹算乘除法,今可见最早记载出于《孙子算经》。李俨、钱宝琮均有准确的解释。筹算乘除法中也包含加减法。详见钱宝琮,《中国数学史》(北京：科学出版社,1964,第 11—13页);李俨、杜石然《中国古代数学简史》(北京：中华书局 ,1963,第 21—23页 )。表示乘除之连线全书不尽一致,既有首尾实线相连表示乘法、首尾虚线相连表示除法,亦见虚实相反者,且间有尾尾相连表乘法、首首相连表除法之例。同一题中出现乘除一般可见区别。原作本身似乎未能完全规范化,辗转传写益加失真。赵钞卷 12“囤积量容”算图部分,四则运算皆有,连线区别分明 (图 1)。

图1 赵琦美钞本《数书九章》“囤积量容”算图部分

图1中,从右至左：

行一：14.7+0.3=15,加法,双线尾尾相连 (个位相连,其后相当于小数部分);

行二：10+15=25,加法,双线尾尾相连;25-1=24,减法,单线尾尾相连;

行三：24÷2=12,除法,单虚线首尾相连;12+1=13,加法,双线尾尾相连;

行四：13×12=156,乘法,单线首尾相连;

行五：13×13=169,自乘,单线首尾相连;

行六：12×12=144,自乘,单线首尾相连;156+169+144=[469],加法,双线尾尾相连。

连接线段表示各数之间的运算关系,对于准确理解算法甚有帮助。譬如对于秦九韶大衍总数术之关键步骤大衍求一术和调日法,以往诸家讨论甚多,往往莫衷一是,从赵钞本算图连线则可以清晰地看到求一术之乘除消减和调日法之乘除调和的运算过程。连线也从一个侧面反映了中国古代筹算循规蹈矩的特点。例如多数互乘算法、复比例雁翅算法等,连线井然有序,繁而不乱,仿佛可以想见古人运筹如飞的画面。笔者认为,赵琦美钞本中的连接线段应是秦书原有内容,在现存各本中最为接近秦九韶原稿。这类连线在某种意义上发挥了现代运算符号的作用,在现存中国古代数学著作中是独一无二的。

正负数的表示方法是赵琦美钞本的又一特色。卷 5“尖田求积”题“正负开三乘方图 ”下小字 ：“朱画用白算为正,黑画用黑算为正 ”(图 2,“畫 ”字作俗体“”)。该句宜稼堂本、四库本 (卷 3上)均无。卷 8“遥度圆城”题“以上系求率图,以后系开方图”,此行云“实与益皆负画黑,商与从皆正画朱”。该句宜稼堂本无;四库本 (卷 4上)有,且加按语,“商实负字旁书已明,今皆用黑画”,由此可见其底本《永乐大典》犹用双色。①李锐 (1769—1817年)已注意此点,云：“秦道古《数学九章》卷四上开方图,负算画黑,正算画朱。”参见李冶《益古演段》(《中国科学技术典籍通汇·数学卷》,第 1册,影印知不足斋丛书本,第 876页,李锐按语)。所谓“朱画用白算为正,黑画用黑算为正”、“实与益皆负画黑,商与从皆正画朱”,即算筹实物以黑和白二色区分正负,书中则以朱、墨色标识正负。赵钞本中凡开方题之算图即循此例。宜稼堂本仅用单色。

图2 赵琦美钞本《数书九章》“尖田求积”算图部分(商、从为正,用朱笔,即图中浅色者。实、益为负,用墨笔)

筹算中的正负数表示方法,久有“正赤负黑”之说。赵钞本中黑算和白算的记载,说明颜色为区分正负,实际可灵活运用。秦书中又有以文字区分正负之法,往往与颜色区分法同时使用。赵钞本中有关正负数的记载,乃是理解筹算正负概念的关键史料 (笔者另有专文讨论)。

赵琦美钞本的上述特色,无疑有助于理解《数书九章》、理解筹算,非四库全书本与宜稼堂丛书本所能替代。至于其文本的校勘价值,尚需逐题细考,有待更多专门研究。

5 结 论

综上所述,秦九韶之书自南宋淳祐七年 (1247年)成书 (名《数术》)至明初文渊阁钞本 (名《数学九章》)出现,相关史料极为有限,宋明间似乎未尝刊刻,仅赖钞本流传。可考之传本系统有二：(1)明文渊阁钞本 (佚)—永乐大典本 (嘉靖重钞本残存三题)—四库全书本 (存);(2)明文渊阁钞本—明王应遴钞本 (佚,改题作《数书九章》或《数书》)—明赵琦美钞本 (存)。最后由四库全书本、赵琦美钞本双方之传钞副本 (或副本之副本),形成宜稼堂丛书刊本《数书九章》,乃为世所习见。吾人今日犹得一窥秦九韶高超的数学技巧,领略中国古代数学若干卓越创造,归根溯源,全赖明初文渊阁存有孤本。赵琦美钞本则是迄今所见最接近秦书原貌的足本,保存了其他传本所无的宝贵信息,不仅为研究秦书,亦为进一步理解中国古代筹算提供了重要线索,有必要对其进行全面的校理与研究。

致 谢承蒙国家图书馆惠准复制书影 (据缩微胶片还原)。国家图书馆赵前先生帮助辨认草书,两位审稿专家提供宝贵意见。谨此致谢!

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Abstract Qin Jiushao'sShushu jiuzhang(1247)is one of the most importantworks in the history of ChineseMathematics.This article sorts out the textual history of the work,and reveals the special features of the manuscript copy by Zhao Qimei(1616)for the first time.It provides new materials and ideas for further study ofShushu jiuzhangin the context of rod calculus tradition.

Key words Qin Jiushao,Shushu jiuzhang,edition,Zhao Qimei,rod calculus

A New Research onShushu jiuzhang

ZHENG Cheng,ZHU Yiwen
(Institute for the History of Natural Science,CAS,Beijing100190,China)

N092∶O112

A

1000-0224(2010)03-0319-10

2010-03-17;

2010-05-11

郑诚,1982年生,北京人,中国科学院自然科学史研究所博士研究生;朱一文,1981年生,江苏武进人,中国科学院自然科学史研究所博士研究生,主要研究方向为数学史。