基于样条函数的两点边值问题的数值解

李运利, 郭清伟, 周会娟, 唐桂林

(合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009)

在应用科学和工程技术领域中,很多物理、生物、化学问题都可用微分方程来描述,因此,这些问题的解决都归结为微分方程的求解问题。但是,绝大多数微分方程的解析解很难找到,所以,人们就致力于微分方程的数值解。

目前已有很多学者对边值问题的数值解法进行了研究。

文献[1-3]给出了2点边值问题的差分方法;文献[4-6]是用变分迭代法来解2点边值问题的。文献[7,8]用高阶B样条配置法来解2点边值问题。文献[9,10]给出了三次样条方法;文献[11]讨论了边值问题的存在性。

考虑下列一类2点边值问题:

其中,ξ＞0,a＜x＜b;f、g、s均为 x的函数。当|f(x)|≤F,g(x)≤0,且 f,g在[a,b]上是连续的,方程有唯一解。

本文是用样条函数构造一类2点边值问题的数值解方法,并通过算例与高精度差分方法、经典迎风格式和中心差分格式进行了比较,结果表明本文方法具有高精度、收敛快等优点。

1 样条函数方法

设三次样条函数s(x)在[xi,xi+1]上的表达式为:

其中,i=0,1,…,n-1。

ai、bi、ci、di均为常数 。设

由(2)式和(3)式得:

其中,i=0,1,…,n-1。

由三次样条函数的连续性 S′i-1(xi)=S′i(xi),可得:

在节点xi处将微分方程(1)离散化:

其中,fi=f(xi),gi=g(xi),si=s(xi)。

由(3)式知:

y的一阶导数近似表示为:

将(7)、(8)式代入(5)式,整理得:

其中,i=1,2,…,n-1。

根据边界条件y(a)=α和y(b)=β及(9)式,得到n-1阶三对角线性方程组,解该方程组即可得到yi。再由边界条件可得y0、yn,因此得到y在各节点xi的近似解yi,i=0,1,…,n。

2 数值例子

例1 常系数边值问题。

该方程的精确解为:y=sin(πx)。

表1所列给出了ξ取不同的值时,本文方法与迎风格式(UDS)和中心差分格式(CDS)及文献[1]中方法(FDS)的最大绝对误差。从计算结果来看,当ξ＞10-2时,本文方法的精度高于迎风格式和中心差分格式,没有高精度差分方法的精度高;但当ξ≤10-2时,本文方法的精度明显高于其它方法,且精度越来越高。

同样在ξ不变的条件下可以改变步长来提高精度,并且步长越小精度越高。

例2 变系数边值问题。

表2所列给出了ξ取不同值时,本文方法与UDS和CDS及FDS的最大绝对误差。本文的优点再次得到验证,当ξ≤10-2时,本文方法的精度明显高于其它方法且精度越来越高,同时也可以改变步长来提高精度。

表1中,0.14(-5)=0.14×10-5,其它类似。

表1 例1在ξ取不同值时本文方法与已有方法的最大误差比较

3 结 论

利用三次样条函数构造一类2点边值问题的数值解,此方法计算简单,用少量的节点就可得到精度较高的数值解,且当ξ越小精度越高。数值例子表明,对于同样的节点分布,本文的方法对于ξ≤10-2时的求解精度高于其它的方法,而不是像已有方法那样,当ξ≤10-2时误差就会比较大。

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