不确定时滞分布参数系统的指数稳定性

李延波, 高存臣, 殷礼胜

(1.广西师范学院 数学科学学院,广西 南宁 530001;2.中国海洋大学数学系,山东青岛 266071;3.合肥工业大学电气与自动化工程学院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

近年来,分布参数系统的应用已经渗透到各个领域,对具有时滞分布参数系统的研究取得了不少成果[1-7],研究稳定性的方法主要采用辅助函数法和状态函数法。文献[3]利用辅助函数方法研究了由多个变时滞分布参数控制系统所导出滑动模方程的指数渐近稳定性问题。文献[4]针对常时滞、多个常时滞及多个变时滞的分布参数控制系统,通过构造Lyapunov函数,利用线性矩阵不等式给出了分布参数系统稳定的条件。文献[5]利用推广的向量Hanalay微分不等式研究了变时滞分布参数系统的全局指数稳定性。目前关于不确定分布参数系统的稳定性研究还不多见,考虑到在工业技术控制过程中,由于测量的误差、模型的误差和线性化近似等原因,不确定量不可避免地出现在系统中,研究不确定分布参数系统更有现实意义。

文献[6]研究了反馈控制器对不确定时滞分布参数系统的鲁棒控制。本文基于Lyapunvo泛函和LMI,研究了不确定时滞分布参数系统的指数稳定性。

1 问题的描述

考虑不确定时滞分布参数系统,即

其中,(x,t)∈ Ω×R+,Ω={x,‖x‖＜l＜∞}⊂Rm,是具有光滑边界∂Ω的有界区域;D＞0,τ＞0是常数;A0,A 是已知的常数矩阵;δ A0(t),δ A(t)是不确定矩阵;w(x,t)∈Rn是状态函数;Δ=为 Ω上的 Laplace扩散算子。

考虑初边值条件为:

其中,n是∂Ω上的单位外法向量;φ(x,t)是适当光滑的函数。

2 主要结论

为了得到本文的结论,先给出一些引理。

引理1 线性矩阵不等式

其中,Q(x)=QT(x);R(x)=RT(x);S(x)关于x是仿射的[8]。

引理3 设 ∀x,y∈Rn,N∈Rn×n,α＞0,若有NTN≤¯N,则有:

定理1 对于给定的A0,A,α＞0,β＞0,ε＞0,若存在正定对称矩阵P,使得(6)式成立,即

证明 构造Lyapunov函数,即

其中,P为正定矩阵,PT=P;ε,β＞0。

由散度定理和边值条件得:

由引理3得:

由引理2得:

所以由(9)～(11)式得:

由(8)式、(12)式得:

由引理1知:

由(13)式得:

而

又由于

即得:

定理得证。

3 数值例子

取 ε=β=α=1,k=2,τ=0.01,

4 结束语

本文利用Lyapunov函数,结合LMI和矩阵不等式知识,得到了一类时滞不确定分布参数系统指数稳定的充分条件。所得结果很容易被检验,为分布参数控制的设计提供了有力的理论依据。

[1] 谢胜利,谢振东,刘永清,等.滞后抛物型控制系统的变结构控制[J].控制与决策,1997,12(3):246-250.

[2] 谢振东,谢胜利,刘永清.滞后关联分布参数系统的分散变结构控制[J].自动化学报,1999,25(6):805-810.

[3] 崔宝同,邓飞其,王 伟,等.时滞分布参数系统的指数渐近稳定性[J].系统工程与电子技术,2003,25(5):579-583.

[4] 罗毅平,邓飞其,刘国荣.基于LMI方法的时滞分布参数控制系统的镇定[J].控制与决策,2005,20(6):625-633.

[5] 罗毅平,邓飞其.变时滞分布参数系统的全局指数稳定性[J].控制理论与应用,2005,22(4):562-566.

[6] 罗毅平,邓飞其.不确定时滞分布参数系统鲁棒控制的 LMI方法[J].控制理论与应用,2006,23(2):217-220.

[7] 陈显强,赵 怡.一类分布参数系统的反馈能稳性[J].控制理论与应用,2003,20(6):879-883.

[8] K reindle E,Jameson A.Conditions for nonnegatives of portioned matrices[J].IEEE T rans Automat Contr,1972,AC-17:147-148.

[9] Sanchez E N,Perez J P.Input-to-state stability analy sis for dynamic NN[J].IEEE Trans on Circuits Systems-I,1999,46(11):1395-1398.