一类多孔介质方程解的长时间行为

李婷

(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄 277160)

一类多孔介质方程解的长时间行为

李婷

(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄 277160)

本文研究具非线性对流及非线性吸收项的二阶非线性扩散方程的初边值问题,主要关注解随时间增长的渐进极限.本文结果表明:已知参数满足某些条件时,解收敛于常态解.

非线性扩散;多孔介质;初边值;长时间行为＊

0 引言

经典的多孔介质方程

可用来描述诸如花粉在空气中的扩散,药物在水中溶解等现象及过程,u通常表示密度,相关工作可参考[1]、[2]、[3]和[4].

本文主要关注具非线性对流项及非线性吸收的非线性问题:

其中m≥1.对于此方程,文献[4]、[5]、[6]等研究了解的存在性及支集单调性等问题.

我们研究初边值问题

其中,a是一个常数,Ω是RN中的一个有界区域且∂Ω足够光滑,函数g(s)当s≥0时为非负的,当s有界时,g(s)是有界的,D(f)表示fx1+fx2+…+fxN.

参数m、对流项及源项对解的性质具有本质影响,我们关心他们对解的长时间行为的作用,主要采用构造利亚普诺夫泛函的方法,病结合能量估计及积分运算,得到解的长时间显示衰减速度.

结论如下:

定理 假设u是问题(1)的古典解,u0非负有界且u0不恒等于0,则有

其中,k≥2为一常数,B为一正常数.

我们得到了解在长时间时,是以代数的速度衰减的,表明长时间后,能量消耗增大,解收敛于其常态解0,特别是参数m对收敛速度有直接的影响.主要的证明在下面进行.

1 准备工作

为证明定理的结论,需要下面两个辅助性引理.

引理1[7](庞加莱不等式)对于任意的函数ξ∈w1,p0(Ω),p>1有

其中,c1是一个正常数.

引理2[8](格隆瓦尔不等式)假设η(·)∈c1(Ω),并满足

则

2 定理的证明

在本部分去证明定理的结论,构造立言普诺夫泛函形式如下:

其中,k≥2是一个待定常数.围绕此泛函,有如下关于时间变量的微分结论:引理3 假设u是问题(1)的正古典解,m≥1,

则

证明对H(t)求导有

以uk-1作为方程的检验函数,利用边值条件有

分别计算有道德每一项,对第一项分部积分有

利用边界条件知

最后,由函数g(·)的条件知

综上所述,

证毕.

最后来完成定理的证明.

定理的证明 经常规计算发现

利用引理3及上式有

令其中的系数

当k≥2且m>1时,A>0.

利用引理1可得

因此,

利用指标关系m≥1,则m+k-1≥k,进一步应用HÖlder不等式发现

于是,

由引理2知,

证毕.

[1]J.R.Anderson,Stability and instability for solutions of the convective porous medium equation with a non linear forcing at the boundary I[J].J.Differential Equations,1993(104):361-385.

[2]Alikakos,N.and Rostamian,R.,Large time behavior of solutions of Neumann boundary value problem for the porous medium equation[J].Indiana Univ.Math,1981(30):749-785.

[3]N.Wolanski,Global behavior of positive solutions to non linear diffusion problems with nonlinear absorption through the boundary[J].SIAM J.Math.Anal,1993,24(2):317-326.

[4]Aronson,D.G.and Peletier,L.A.,Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains[J].J.Differ.Equat,1981(39):378-412.

[5]Carrillo,J.A.and Toscani,G.Asymptotic L1-decay of solutions of the porous medium equation to self-similarity [J].Indiana Univ.Math,2000(49):113-141.

[6]J.Filo,Uniform bounds for solutions of a degenerate diffusion equation with non linear boundary conditions[J].Comment.Math.Univ.Caroline,1989,30(3):485-495.

[7]伍卓群,尹景学,王春朋,椭圆与抛物型方程引论[M],北京:科学出版社,2003.

[8]EvansL.C.Partial Differential Equations[M].Providence,R I:American Mathematical Society,1998.

O175.25

A

1004-7077(2010)02-0045-03

2009-11-27

李婷(1981-),女,山东枣庄人,枣庄学院数学与信息科学系助教,上海大学理学院数学系2008级在读硕士,主要从事运筹学与控制论的研究.

[责任编辑:陈庆朋]