结合环上的一类乘法映射

王力梅

(天水师范学院数学与统计学院,天水 741000)

结合环上的一类乘法映射

王力梅

(天水师范学院数学与统计学院,天水 741000)

本文给出了结合环上一类乘法映射的定义,并且利用peirce分解的方法讨论了若该结合环满足一定的条件,则环上的乘法映射一定是可加的,从而进一步完善了乘法映射的结果.

结合环;Martindale条件;乘法映射＊

1 介绍及预备知识

近几年来,可加映射的研究是人们研究的一个热门话题,自从Rickart[1]和Johnson[2]最早研究了乘法同构是否可加的问题以后,许多学者从不同的方面完善了这个结果, Daif[3]考虑了可乘导子的可加性问题,杜炜等人[4]将这个结果推广到套代数上,刘珍[5]又利用分块理论考虑了Banach空间上有界线性算子是自动可加的,本文在以上结论的基础上考虑了环上δ-导子的可加性,从而进一步完善了可加映射的研究成果.

设R和S是任意的结合环(不一定有单位元),对任意的x,y∈R,若存在一个一一映射σ:R→S使得(xy)σ=xσyσ,则称这个映射σ为R到S的一个乘法同构.Rickart和Johnson最早研究了乘法同构是否可加的问题.但是,这些文章对环R加了某些条件的限制,而Martindale[6]取消了这些限制,同时概括了Rickart的主要定理.本文在此基础上研究了环上乘法δ-导子的可加性.在文献[7]中,Beidar给出了环上导子的定义:设R是任意的结合环,d为环R上的一个可加映射,如果对任意的x,y∈R,都有(xy)d=xdy+x,那么称d为环R上的一个导子.本文在此基础上给出了乘法δ-导子的定义.定义如下

定义1.1 设R是任意的一个结合环,δ是一个(不一定可加)映射,若对任意的x,y∈R,都有(xy)δ=y+x,则映射δ:R→R称为环R上的一个乘法导子.

定义1.2 设R是任意的一个结合环,若对任意的x,y∈R,存在环R上的一个自同构δ,使得(xy)g=xgy+,那么映射g:R→R称为环R上的一个乘法δ-导子.

定义1.3 设R是任意的一个结合环,{eα|α∈Α}是幂等元且{|α∈Α}⊆R, (1)xR=0⇒x=0

(2)如果eαR x=0(α∈Α),那么x=0(即R x=0⇒x=0)

以上条件称为Martindale条件.

2 主要结论

定理2.1 设R是任意的一个结合环,{eα|α∈Α}是幂等元且{eα|α∈Α}⊆R,若环R满足Martindale条件,则环R上的乘法δ-导子g是可加的.即(x+y)g=xg+yg在证明主要定理之前,先看以下几个引理

引理2.2 0g=0

证明:0g=(0·0)g=0g·0+0δ·0g=0+0=0

下面几个引理的证明,我们处理{eα|α∈Α}中一个固定的幂等元.我们称这个幂等元为e1,设e2=1-e1(R不一定有单位元).那么,设Rij=eiR ej,i,j=1,2,我们可以将R按peirce分解写成R=R11⊕R12⊕R21⊕R22,其中xij∈Rij

由上式得到

而

同样,对a2j∈R2j,我们有

对于i,j,k本质的不同是设i=k=1,j=2

引理2.4 g在R12上可加

证明:设x12,u12∈R12,须证

对于a1j∈R1j我们有

对于a2j∈R2j运用以上引理显然有

综上可知,

引理2.5 g在R11上可加

而

所以

同理

引理2.6 g在e1R=R11+R12上可加

由引理2.3,2.4,2.5可知

定理2.1的证明:

设任意的x,y∈R,αt∈eαR

又由于[αt(x+y)]g=(x+y)g=(x)g+(y)g(δ在R上可加)

由中Martindale条件的条件(2)知(x+y)g-(xg+yg)=0

即(x+y)g=xg+yg

[1]RickartC E.One-to-one mappings of rings and lattices[J].Bull.Amer.Math.Soc,1948,54:758-764.

[2]Johnson R E.Rings with unique addition[J].Proc.Amer.M ath.Soc,1958,9:57-61.

[3]Daif M N.W hen is amultip licative derivation additive?[J].Internet J Math Sci,1991,14:615-618.

[4]杜炜,张建华.套代数上的可乘导子[J].纺织高校基础科学学报,2007,20:153-155.

[5]刘珍,刘江.上的可乘导子[J].宁夏师范学院学报(自然科学),2008,6(29):12-15.

[6]Martindale W S.Enaremultip licative mappings additive?[J].Proc.Amer.M ath.Soc,1969,21:695-698.

O153.3

A

1004-7077(2010)02-0034-03

2010-01-18

王力梅(1980-),女,甘肃兰州人,助教,硕士,主要从事环论研究.

[责任编辑:陈庆朋]