柯西中值定理的中间点总位于区间正中间的函数类

时统业

（海军指挥学院 浦口分院，江苏 南京 211800）

柯西中值定理的中间点总位于区间正中间的函数类

时统业

（海军指挥学院 浦口分院，江苏 南京 211800）

给出使柯西中值定理的中间点总位于区间正中间的函数类.

柯西中值定理；导数；积分；中间点；充要条件

本文中c1,c2,c及qi均表示任意常数.

则 f"(x)g'(x)-f'(x)g"(x)=c

证 (1)式可化为

两边对h两次求导得

移项得

由洛必塔法则并注意到f(x)和g(x)有直到三阶的连续导数，得

另一方面，

联合法是将冷却结晶法和酸沉法结合起来，从正钼酸铵溶液中析出高质量的七钼酸铵产品的一种方法。此法包括四钼酸铵氨溶、正钼酸铵溶液冷却结晶、母液酸沉三个过程。

比较（2）、（3）知必有f‴(x)g'(x)-f'(x)g‴(x)=0,即[f"(x)g'(x)-f' (x)g"(x)]'=0,故存在常数c使f"(x)g'(x)-f'(x)g"(x)=c.

引理2设φ(x)在区间I内有连续的二阶导数，且φ(x)≠0,φ"φ-(φ')2=c,则

φ(x)=q1x+q2或φ(x)=q1eq3x+q2e-q3x或φ(x)=q1c o s q3x+q2s i n q3x.证因φ"φ'2-c=0故

引理3设f(x)和g(x)在区间I内有连续的导数，且g'(x)≠0,a∈I,

则对任意h≠0,x∈I,x+h∈I,(1)式成立当且仅当

证 在(4)式两边在以a和x为端点的区间上积分,应用分部积分公式得

代入(1)式并整理即可得到(5)式.

证 充分性 由引理3，只要验证(3)式成立，这里略去验证过程.

必要性由引理1知,当(1)式成立时就有f"(x)g'(x)g"(x) =c1.于是,

由引理3,(5)式成立.

(5)式两边对h求导并整理得

(5)式两边对X求导并整理得

(6)-(7)得

(8)式两边对h求导得

整理得

对g(x)和g'(x)引用引理1得g‴(x)g'(x)-(g"(x))2=c.令φ(x) =g'(x),则φ(x)≠0,且φ"φ-φ'2=c.

由引理2，φ(x)=q1x+q2或φ(x)=q1eq3x+q2e-q3x或φ(x) =q1c o s q3x+q2s i n q3x.故g(x)=q1x2+q2x+q3或g(x)=q1eq4x+q2e-q4x+q3或g(x)=q1s i n q4x+q2c o s q4x+q3.

在定理中取g(x)=x则得

推论 设f(x)在区间I上有连续的三阶导数，则对任意h≠0,x∈I,x+h∈I,成立

的充要条件是f(x)=q1x2+q2x+q3.

〔1〕苏化明，程海来.关于多项式的一个定理[J].高等数学研究，2005，8(5):33,38.

〔2〕李重华，孙薇荣，景继良，郑麒海.高等数学竞赛试题精解[M].上海：上海科学普及出版社，1996:7,43.

O172

A

1673-260X（2010）04-0001-02