万有引力场中质点能量与轨道参数之关系

邵贵成

（忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000）

万有引力场中质点能量与轨道参数之关系

邵贵成

（忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000）

开普勒问题中有关质点轨道参数与其能量之关系是较为重要的关系之一。本文直接从质点机械能出发，应用初等数学知识，在基础力学知识范围内推导出万有引力场中质点能量与其轨道参数之间的关系，比一般理论力学教材所采用的方法简单清晰.

万有引力；质点；能量；轨道参数

在万有引力场中，质点能量与其圆锥曲线轨道参数之间的关系式的推导，一般理论力学教材采用的方法是比较分别由比耐公式和角动量守恒定律、机械能守恒定律和角动量守恒定律推导出的质点轨道方程后得出，稍显复杂[1-3].本文直接从质点的机械能出发，应用基础力学知识即可推出这一关系式，物理意义更加清晰，推导过程较为简洁.

1 质点能量与圆锥曲线半长轴之关系

质点在万有引力场中的运动轨道为圆锥曲线，以下我们以椭圆轨道为例来寻求质点能量与轨道半长轴之关系.在椭圆轨道的近地点，质点机械能为

又因万有引力提供向心力，有

取r→∞时V(r)=0，则

将(3)、(4)式代入(1)式得

对于抛物线轨道，如y2=2px，易求得近地点之曲率半径ρ=p，而p=2r1代入(2)式得

结合(4)式得质点总能量E＝0.

类似地，可推得双曲线轨道情形下，

2 质点能量与偏心率之关系

将其代入(5)式，解得

式中，h为质点对力心的速度矩大小.

将(7)式代入(6)式，得

上式便是质点能量E与其轨道偏心率e之关系.显然，当E＜0即e＜1时，轨道为椭圆；当E＝0即e＝1时，轨道为抛物线；当E＞0即e＞1时，轨道为双曲线.

3 结束语

质点在万有引力场中的运动问题，即开普勒问题，对于研究行星、彗星以及人造地球卫星、人造天体的运动具有很大的实用价值.能用初等数学知识，在普通力学知识范围内，对万有引力场中质点能量与轨道参数之关系给予导出，对学生深刻认识和理解这一问题是有好处的.

〔1〕周衍柏.理论力学教程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

〔2〕金尚年,马永利.理论力学(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

〔3〕朱照宣，等.理论力学(上册)[M].北京:北京大学出版社, 1982.

O314

A

1673-260X（2010）09-0010-01

山西省教育厅2009年度高等教育教学改革研究项目；山西省教育科学“十一五”规划课题(GH-09142)