矩阵的秩与运算的关系

贾美娥

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

矩阵的秩与运算的关系

贾美娥

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，本文主要讨论矩阵运算后所得矩阵与原矩阵之间的关系.

矩阵；秩；可逆矩阵

定理1矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和.即秩（A+B）≤秩A+秩B

证明

A的行空间V1=L（α1，α2，…，αm）其中αi=（ai1,ai2,ai3,…,ain）i=1，2，…n

（β1，β2，β3，…βm） βi=（bi1,bi2,bi3,…bin） i=1，2，…m

B的行空间

V2=L（β1，β2，β3，…βm） βi=（bi1,bi2,bi3,…bin） i=1，2，…m

∴A+B的行空间

V3=L（α1+β1，α2+β2，…αm+βm）

∵αi+βi∈V1+V2i=1，2，…m

∴V3⊂V1+V2∴dimV3≤dim（V1+V2）

又∵dim（V1+V2）≤dimV1dimV2

∴dimV3≤dimV1+dimV2，（A+B）≤秩A+秩B

推论 两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差.即：秩（A-B）≥秩A-秩B

证明 A=（A-B）+B

∴秩A≤秩（A-B）+秩B

∴秩（A-B）≥秩A-秩B

定理2矩阵A与数k的乘积kA的秩当k=0时，秩（kA）=0当k≠0时，秩（kA）=秩；矩阵A与其转置矩阵A'的秩相同.

定理3矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即秩（AB）≤min{秩A，秩B}.

证明

B的行空间V1=L（β1，β2，β3，…βn） 其中βi=（bi1，bi2，bi3，…bis）

AB的行空间V1=L（γ1，γ2，γ3，…γm）γi=（αi1β1+αi2β2+αi3β3+…αinβn）

∵γi∈V1i=1，2，…m ∴V2⊂V1

∴dimV2≤dimV1∴秩（AB）≤秩B

同理有：秩（AB）≤秩A

∴秩（AB）≤min{秩A，秩B}

推论 数域F上m×n矩阵对于任一个m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵

Q有秩A=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ）

证明 （1）秩（PA）≤秩A又A=P-1（PA）

∴秩A≤秩（PA） ∴秩A=秩（PA）

（2）秩（AQ）≤秩A，又A=（AQ）Q-1

∴秩A≤秩（AQ），∴秩A=秩（AQ）

由（1）和（2）得秩A=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ）

由相似矩阵和合同矩阵的定义我们又可以得出相似矩阵的秩相同，合同矩阵的秩相同.

例 证明：若A=r则A可表示为r个秩为1的矩阵的和，但不能表示为少于r个这种矩阵的和.

证明：秩C1≥秩C+r+s-m-n

∴秩c2≤n-s n-s是c2的列数

∴秩（C3C4）≤m-rm-r是（C3C4）的行数

∴秩C1≥秩C-C2-秩C（C3C4）≥秩C-（n-s）-（m-r）=秩C+r+s-m-n

定理4m×n矩阵A与n×s矩阵B的乘积AB的秩不小于A与B的秩的和减去n

即 秩（AB）≥秩A+秩B-n

由上面例题可知秩 秩C1≥秩c+r+p-n-c=r+p-n

又∵P1，Q2可逆

=秩C1≥r+p-n=秩A+秩B-n

推论 若两个n阶方程的乘积为零矩阵，则这两个矩阵秩的和不超过n

例 已知n阶方阵A的秩为m，求其伴随矩阵A*的秩.

解 （1）若m≤n-1则A*=0∴秩A*=0

（2）若m=n-1∴|A|=0∴AA*=0

∴秩A+秩A*≤n ∴秩A*≤1

又∵m=n-1∴A*≠0∴秩A*≥1∴秩A*=1

（3）若 m=n |A|≠0AA*=|A|I

∴|A*|=|A|n-1≠0∴秩A*=n

例 A是n阶幂等矩阵，即A2=A

求证：秩A+秩（A-I）=n.

证明 （1）秩A+秩（A-I）=秩A+秩（I-A）

≥秩（A+I-A）=秩I=n

（2） A（A-I）=A2-A=0∴秩A+秩（A-I）≤n

由（1）（2）得，秩A+（秩A-I）=n

例 已知A是n阶矩阵，A且A2=1

求证：秩（A-I）+秩（A+I）=n

证明 （1）秩（A-I）+秩（A+I）+秩（I-A）+秩（A+I）≥秩（I-A+I-A）=秩（2I）=秩I=n

（2）∵（A-I）（A+I）=A2-I=0

∴秩（A-I）+秩（A+I）≤n

由（1）、（2）得：秩（A-I）+秩（A+I）=n.

O15

A

1673-260X（2010）09-0003-02