幂线性空间的初步探讨

孙延彬，赵伟杰

（平顶山学院 团委，河南 平顶山 467000）

幂线性空间的初步探讨

孙延彬，赵伟杰

（平顶山学院 团委，河南 平顶山 467000）

本文对怎样从线性空间得到幂线性空间做了一个详细的阐述，并仔细研究了幂线性空间的基本结构，举出了一个很有代表性的例子，还得到了幂线性空间的一些性质.随后从线性无关中得到了幂线性空间的基的概念，并引出了维数的概念，初步讨论了基坐标变换.另外本文给出了幂线性空间的子空间的概念，初步讨论了幂子空间的交与和，幂子空间的直和，最后对幂线性空间的同构作了初步的探讨.

幂线性空间；基；维数；基坐标；子空间

近年来，随着序结构、拓扑结构的提升得到广泛的应用，代数结构的提升也引起了越来越多人的关注，并且序结构、拓扑结构、代数结构的提升已经得出了很多具有深刻意义的成果，例如文[1]提出了代数群的提升，文[2]给出了环的幂集提升，文[3]给出了格的幂集提升.

1 预备知识

线性空间考虑它的所有子集构成的集合，赋予它一定的结构就得到了幂线性空间.

设F是一个数域，V为F的线性空间，记P（V）={A|A⊆V}，p0(V)=P(V)-Φ.

定义1设Γ是p0(V)的非空子集，如果∀A,B∈Γ和λ∈F，满足运算：A+B={a+b|a∈A,b∈B}，λ·B={λb|b∈B}

而做成线性空间，则称Γ为V上的幂线性空间.{0}称为幂线性空间的零元.

注 由于Γ是p0(V)的非空子集，所以Γ是V中A这类子空间的集合，但Γ也许含有限个诸如A这样的V的子空间，也可以含有无限个诸如A这样的V的子空间，但只要Γ⊆p0(V)并满足上述两种运算，便可定义Γ为V的幂线性空间.

显然，A是Γ中的元素，并且A是V的子集.

例1设V的一个线性空间，则{{x}|∈V}显然是V上的幂线性空间.

证明 因为V是线性空间，对于α∈V,β∈V有

1.{α}+{β}={α+β|α∈V,β∈V}={β}+{α}，

2.{{α}+{β}}+{γ}={α}+{β}+{γ}，

3.在{{α}|α∈V}中有{0},显然是对V中任一元素{α}满足公式{α}+{0}={α+0}={α}，

4.因为在V中每一个元素α，都有V中的一个元素β使α+β=0，所以在{{α}α∈V}中有{β}使{α}+{β}=0，

5.1 ·{α}={1·α}={α}，

6.k{α}={k/α}，

7.(k+1){α}=k{α}+l{α}，

8.k({α}+{β})=k{α}+k{β}，即得证.

2 幂线性空间的基与维数

定义2一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.

定义3向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量的秩.

定义4设Γ是数域F上的线性空间，A1，A2，…，Ar(r≥1)是Γ中一组向量，k1，k2，…，kr是数域F中的数，那么向量A=k1A1+k2A2+…+krAr，称为向量组A1，A2，…，Ar的一个线性组合，有时我们也说向量A可以用向量组A1，A2，…，Ar线性表出.

是Γ中的两个向量组，如果(1)中的每个向量都可以用向量组(2)线性表出，那么称向量组(1)可以用向量组(2)线性表出，如果(1)与(2)可以互相线性表出，那么向量组(1)与(2)称为等价的.

定义6设Γ是幂线性空间，A1，A2，…，Ar∈Γ.如果

时，只有在K1=K2=…=0时才成立.称A1，A2，…，Ar线性无关，如果有不全为零的数K1，K2，…，Kr使

则称A1，A2，…，Ar线性相关.

定义7如果在幂线性空间中有n个线性无关的向量，但是没有更多的数目的线性无关的向量，那么幂线性空间Γ就称为n维的，如果在Γ中可以找到任意多个线性无关的向量，那么Γ就称为无限维的.

定义8n维幂线性空间Γ中，n个线性无关的向量A1，A2，…，An称为Γ的一组基.设B是Γ中任一向量，于是A1，A2，…，An，B线性相关，因此B可以被基A1，A2，…，An线性表出：B=a1A1+a2A2+…+anAn，其中系数a1，a2，…，an是被向量B和基A1，A2，…，An唯一确定的，这组数就称为B在基A1，A2，…，An下的坐标，记为（a1，a2，…，an）.

同样可以得出：

定义9如果在幂线性空间Γ中有n个线性无关的向量A1，A2，…，An，且Γ中任一向量都可以用它们线性表出.那么Γ是n维的，A1，A2，…，An就是Γ的一组基.

在例1中，假设V是n维的.

若α1，α2，…，αn是线性空间V中的一组基，则{α1}，{α2}，…，{αn}也是幂线性空间{{x}|x∈V}的一组基.

事实上，

时，有

而

时，不必

同理

时，要求

而

时，不必

定义10A1，A2，…，An与A'1，A'2，…，A'n是n维幂线性空间Γ中的两组基，它们的关系是

设向量B在这两组基下的坐标分别是(x1,x2,…,xn)与(x'1, x'2,…,x'n).则

这里(aij,a2j,…,anj)j=1,2,…,n事实上就是第二组基向量A'j（j=1,2,…,n）在第一组基下的坐标.有

因此

这里

是基A1，A2，…，An到A'1，A'2，…，A'n的过渡矩阵.

3 幂线性空间的子空间

定义11数域F上幂线性空间Γ的一个非空子集称为Γ的一个幂线性子空间，如果T对于Γ的两种运算也构成数域F上的幂线性空间.

性质 幂线性空间Γ的非空子集T满足下面两个条件，则称T是幂线性空间Γ的幂线性子空间.

1A∈Γ，有λA∈Γ.

2A，B∈Γ有A+B∈Γ.

定理1在幂线性空间中，有单个的零向量组成的子集，是一个幂线性子空间，它叫做零幂子空间.

Γ中可以有这样的幂线性子空间，如{{0}}.

幂线性空间∈Γ本身也是∈Γ的一个幂子空间.

零幂子空间和幂线性空间本身这两个幂子空间叫做平凡幂子空间，而其它的幂线性空间叫做非平凡幂子空间.

定理2设A1，A2，…，Ar是幂线性空间Γ中一组向量，可知这组向量所有的线性组合k1A1+k2A2+…+krAr所构成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是Γ的一个幂子空间，这个幂子空间叫做由A1，A2，…，Ar生成的幂子空间，记为L（A1，A2，…，Ar）.

证明 1.A1+A2={α1+α2|α1∈A1，α2∈A2}=A2+A1，

2.(A1+A2)+A3=A1+(A2+A3)，

3.如果k1=k2=…=kr=0，所以有k1A1+k2A2+…+krAr={0}，得到A1+{0}=A1，

4.设k1=1，k'1=-1，那么k1A1+k'1A1=A1-A1=0，

5.1 ·A1=A1，

6.k(lA1)=klA1，

7.(k+l)=A1=kA1+lA1，

8.k(A1+A2)=kA1+kA2，

所以k1A1+k2A2+…+krAr所构成的集合是一个幂线性空间，是Γ的一个幂子空间.记为L（A1，A2，…，Ar）.

定理3设T是幂线性空间Γ的一个幂子空间，设Γ是有限维的，T当然也是有限维的，设A1，A2，…，Ar是T的一组基，就有T=L（A1，A2，…，Ar）.

定理4两个向量生成相同的幂子空间的充要条件是这两个向量组等价.

证明 设A1，A2，…，Ar与B1，B2，…，Bs是两个向量组.如果L（A1，A2，…，Ar）=L(B1，B2，…，Bs).

那么L（A1，A2，…，Ar）中每个向量Ai(i=1,2,…，r)作为L（B1，B2，…，Bs）中的向量都可以被B1，B2，…，Bs线性表出.同样每个向量Bi(i=1,2,…,s)作为L（A1，A2，…，Ar）中的向量也都可以被A1，A2，…，Ar线性表出，因而这两个向量组等价.

如果这两个向量组等价，那么凡是可以被A1，A2，…，Ar线性表出的向量都可以被B1，B2，…，Bs线性表出.反过来也一样，因而L（A1，A2，…，Ar）=L(B1，B2，…，Bs).

定理5设T是数域P上n维幂线性空间Γ的一个m维幂子空间，A1，A2，…，Am是T的一组基，那么这组向量必定可扩充成整个幂空间的基.也就是说，在幂线性子空间T中必定可以找到n-m个向量Am+1，Am+2，…,An使得A1，A2，…，An是Γ的一组基.

4 幂子空间的交与和

定理6如果Γ1，Γ2是幂线性空间Γ的两个幂子空间，那么它们的交Γ1∩Γ2也是Γ的幂子空间.

证明 首先由{0}∈Γ1，{0}∈Γ2可知{0}∈Γ1∩Γ2，显然Γ1∩Γ2非空.其次，如果A，B∈Γ1∩Γ2，即A，B∈Γ1，A，B∈Γ2，那么A+B∈Γ1，A+B∈Γ2，因此，A+B∈Γ1∩Γ2.对数量乘积可以同样地证明，所以Γ1∩Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间.

注 这里A+B={α+β|α∈A，β∈B}.

幂线性子空间的交适应下列运算规律：

定理7设Γ1，Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间，所谓Γ1，Γ2的和是指所有能表示成A1+A2，而A1∈Γ1，A2∈Γ2的向量组成的子集合，记做Γ1+Γ2.

如果Γ1，Γ2是Γ的幂子空间，那么它们的和也是Γ的幂子空间.

证明 因为 {0}∈Γ1，{0}∈Γ2，显然 {0}∈Γ1+Γ2，显然Γ1+Γ2是非空的.其次，如果A，B∈Γ1+∈Γ2，即

那么

又因Γ1，Γ2是幂子空间，故有

因此

同样

所以Γ1+Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间.

定理8（维数公式） 如果Γ1，Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间，那么维（Γ1）+维（Γ2）=维（Γ1+Γ2）+维（Γ1∩Γ2）.

证明 设Γ1，Γ2的维数分别是n1n2，Γ1∩Γ2的维数是m.取Γ1∩Γ2的一组基

由定理5，它可以扩充成Γ1的一组基

也可以扩充为Γ2的一组基

我们来证明向量组

是Γ1+Γ2的一组基，这样，Γ1+Γ2的维数就等于n1+n2-m，因而维数公式成立.

因为

所以

现在来证明向量组(1)是线性无关的，假设有等式

令

由第一个等式，A∈Γ1，而由第二个等式看出，A∈Γ2，于是，A∈Γ1∩Γ2，即A可以被线性A1，A2，…，Am表出.令

则

由于A1，A2，…，Am,C1,…，Cn2-m线性无关，得l1=…=lm=q1=…qn2-m=0，因而A=0，从而有

由于A1，A2，…，Am，B1，…Bn1-m线性无关，又得

这就证明了A1，A2，…，Am，B1，…Bn1-m，C1,…，Cn2-m线性无关，因而它是Γ1+Γ2的一组基，故维数公式成立.

推论 如果n维幂线性空间Γ中两个幂子空间Γ1，Γ2的维数之和大于n，那么Γ1，Γ2必含有非零的公共向量.证明 由假设

但因Γ1+Γ2是Γ的幂子空间，而有

所以

这就是说，Γ1∩Γ2中含有非零向量.

5 幂子空间的直和

定义12Γ1，Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间.如果和Γ1+Γ2中每个向量A的分解式

是唯一的，这个和就成为直和，记做Γ1⊕Γ2.

定理10设Γ1，Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间，和Γ1， Γ2是直和的充要条件是等式

只有在A1，A2全为零向量时才成立.

证明 定理的条件实际上就是零向量的分解式是唯一的，因而这个条件显然是必要的，下面来证明这个条件的充分性.

设 A∈Γ1+Γ2它有两个分解式

于是

其中

所以说

即是向量A的分解式是唯一的.

推论 和Γ1+Γ2为直和的充要条件是Γ1∩Γ2={{0}}.

证明 先证条件的充分性，假设有等式，

即

由假设

这就证明了Γ1+Γ2是直和.

再证必要性，任取向量A∈Γ1∩Γ2，于是零向量可以表示，

因为是直和，所以A=-A={0}这就证明了

定理 11设Γ1，Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间，令T=Γ1+Γ2，则

证明 因为而由前面定理10的推论知，Γ1+Γ2为直和的充要条件是Γ1∩Γ2={{0}}，这是与维（Γ1∩Γ2）=0是等价的，也就与维（T）=维（Γ1）+维(Γ2).等价，这就证明了定理.

定理12设Γ1是幂线性空间Γ的幂子空间，那么一定有一个幂子空间Γ2，使得Γ=Γ1⊕Γ2.

定理13设Γ1，Γ2，…，Γs都是幂线性空间Γ的幂子空间，如果和Γ1+Γ2+…+Γs中每一个向量A的分解式

是唯一的.这个和就称为直和，记做Γ1⊕Γ2⊕…⊕Γ2.

6 幂线性空间的同构

定义10数域F上两个幂线性空间Γ与Γ'称为同构的，如果由Γ到Γ'有一个1-1的映上的映射δ，具有以下性质：

1δ（A+B）=δ（A）+δ（B），

2δ（kA）=kδ（A），

其中A，B是Γ中任一向量，k是数域F中任一数，这样的映射δ称为同构映射.

例 n维幂线性空间Γ中任组一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是Γ到Fn的一个同构映射，因而Fn上任一n维幂线性空间都与Fn同构.

由定义可以看出，同构映射具有下列基本性质：

1δ({0})={0}，δ(-A)=-δ(A).

2δ(k1A1+k2A2+…+krAr)=k1δ(A1)+k2δ(A2)+…+krδ(Ar).

3Γ中向量组A1，A2，…，Ar线性相关的充要条件是它们的象δ（A1），δ（A2），…，δ（Ar）线性相关.

4如果Γ1是Γ的一个幂子空间，那么Γ1在δ下的象集合，

是δ(Γ)的子空间，并且Γ1与δ（Γ1）维数相同.

5同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积也是同构映射.

总之，在数域F上任意一个n维幂线性空间都与Fn同构，由同构的对称性与传递性即得，数域F上任意两个n维幂线性空间都同构.

定理13数域F上两个有限维幂线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.

〔1〕李洪兴，汪培庆.幂群[J].应用数学，1988（1）：1-4.

〔2〕姚炳学，李洪兴.幂环[J].模糊系统与数学，2000（14）：15-19.

〔3〕明平华，郑崇友.幂格[J].应用数学，2002，15（2）：14-17.

〔4〕北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988.

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A

1673-260X（2010）09-0015-04