大学生数学建模的认知差异研究

庞 坤，李秀林，李明振

（1.武警学院 数学教研室，河北 廊坊 065000；2.南京大学 哲学系，江苏 南京 210097）

大学生数学建模的认知差异研究

庞 坤1，李秀林1，李明振2

（1.武警学院 数学教研室，河北 廊坊 065000；2.南京大学 哲学系，江苏 南京 210097）

运用口语报告分析方法和深度访谈方法，对数学建模竞赛获奖学生与未参赛学生数学建模的认知差异进行了研究，发现专家被试与新手被试在数学建模的问题表征、策略运用、思路特点、测试结果及解题效率等方面存在显著差异.

数学建模；认知差异；口语报告分析

1 引言

英、美等国自二十世纪七十年代起,在研究生和本科阶段开设了数学建模课程.我国许多高校自二十世纪八十年代中期起，开设了数学建模课程，也对数学建模课程与教学进行了较深入的研究，取得了一定成效，但效果并不令人满意[1-6].究其主要原因之一在于，尚未开展大学生数学建模认知规律的研究，致使教学实施缺乏必要的心理学基础.本文采用专家－新手研究范式，运用口语报告分析和深度访谈方法对不同水平学生数学建模的认知特点进行研究，试图揭示不同学生数学建模的认知差异，旨在为科学实施数学建模教学提供心理学指导，提升数学建模教学效果.

2 方法

2.1 被试

选取西南大学和重庆师范大学数学系学生20名学生参加数学建模口语报告测试.其中，参加数学建模竞赛并获奖的被试（专家）和未参加过数学建模竞赛的被试（新手）各10人.

2.2 材料

依据口语报告测试时间与形式的特点和要求，拟形成由3个数学建模问题构成的测试材料（见附录），前一个为练习题，后两个为测试题.

2.3 程序

2.3.1 口语报告练习.练习指导语为：“请你大声读题，在解题过程中自己怎么想就怎么说，不用说为什么这样做，但要将自己的思考过程大声说出来，我进行录音，以便知道你是如何做题的”.主试事先说明指导语要求，并以测试材料第一题进行口语报告示范，然后请被试用第二题作口语报告测试练习.如果被试在解题过程中发生停顿，则提示他（她）：“你在想什么？”“把你想的都说出来”，以使其出声思考，提供及时、连续、完整的口语报告.

2.3.2 口语报告测试.在被试练习并适应数学建模口语报告测试后进行正式测试，时间长短不限.如果被试在数学建模过程中出现较长时间的停顿，主试就进行提醒或提问.被试做完试题（或放弃解决）后，主试记录其所用时间，并及时要求被试回顾与叙述数学建模的思路与过程，对过程中的停顿和语义不详、不清之处进行必要的提问与访谈.

2.3.3 资料处理与分析.施测完毕后，将每位被试的口语报告录音材料整理成文本，并将文本与录音、纸笔测试及提问与访谈记录材料等内容进行反复核对和补充而形成被试数学建模口语报告测试与访谈材料.然后从数学建模的问题表征、策略运用、思路、结果及效率等方面对每位被试数学建模口语报告测试与访谈材料进行分析，并依专家被试与新手被试分类统计，考察两组被试数学建模的认知差异.

3 结果

3.1 专家被试和新手被试在数学建模问题表征方面存在差异

基于口语报告测试与访谈材料，对专家被试和新手被试数学建模问题的表征方式、表征广度、表征策略进行分析与统计，结果见表1.

由表1可知，专家被试和新手被试的数学建模问题表征方式存在差异，两组被试虽均进行了符号表征和方法表征，但专家被试使用机理表征的题次数明显多于新手被试；专家被试和新手被试的数学建模问题表征广度存在极其显著差异，专家被试倾向于采用多元表征，新手被试倾向于采用单一表征；专家被试和新手被试的数学建模问题表征策略存在显著差异，专家被试倾向于运用循环表征策略；新手被试倾向于运用单向表征策略.

表1 专家被试与新手被试数学建模问题表征差异比较

3.2 专家被试和新手被试在数学建模策略运用方面存在差异

基于口语报告测试与访谈材料，对专家被试和新手被试在数学建模过程诸环节所用策略类型进行分析与统计，结果见表2.

表2 专家被试与新手被试数学建模策略差异比较

由表2可知，专家被试与新手被试在数学建模假设策略、数学模型构建策略、数学建模自我监控策略、数学建模调整策略等方面均存在显著差异.专家被试倾向于采用平衡性假设策略，新手被试倾向于采用精确性假设策略，两组被试在可行性假设策略运用方面没有显著差异；专家被试倾向于采用样例类比构建策略，新手被试倾向于采用即时生成构建策略，两组被试在模式识配构建策略运用方面没有显著差异；专家被试倾向于运用即时监控策略，新手被试倾向于运用回顾监控策略和选择监控策略；专家被试倾向于运用假设调整策略和建模方法调整策略，新手被试倾向于运用模型求解调整策略.

3.3 专家被试和新手被试在数学建模思路特点、测试结果和解题效率方面存在差异

基于口语报告测试与访谈材料，对专家被试和新手被试数学建模思路特点和解题结果进行分析与统计，结果见表3.

由表3可知，专家被试和新手被试在数学建模思路特点和解题结果方面存在显著差异.专家被试数学建模思路转换人次多于新手被试，新手被试思路定势人次显著多于专家被试；专家被试获得数学建模正确（合理）结果的题人次明显多于新手被试，新手被试获得错误（不合理）结果的题人次明显多于专家组被试.综而言之，专家被试数学建模口语报告比较简略，问题分析深入而透彻，建模思路快捷而灵活，对数学建模方法的使用表现为启发搜索.新手被试数学建模口语报告比较繁杂，问题分析浅表而模糊，建模思路迟缓而刻板，对数学建模方法的使用表现为盲目搜索.专家被试和新手被试在正确（合理）解决的数学建模问题上所花时间存在显著差异，专家被试所用时间明显少于新手被试所用时间.

表3 专家被试与新手被试数学建模思路特点及测试结果差异比较

4 结论

专家和新手在数学建模的问题表征、数学建模的策略运用、数学建模的思路特点及测试结果和效率等方面存在显著差异：（1）在数学建模的问题表征方面：专家和新手均采用符号表征和方法表征，但专家更多地运用机理表征；专家倾向于采用多元表征，新手倾向于采用单一表征；专家倾向于运用循环表征策略，新手倾向于运用单向表征策略.（2）在数学建模策略运用方面：专家倾向于采用平衡性假设策略，新手倾向于采用精确性假设策略；专家倾向于采取样例类比构建策略，新手倾向于采取即时生成构建策略；专家倾向于运用即时监控策略，新手倾向于运用回顾监控策略；专家倾向于运用假设调整策略和建模方法调整策略，新手倾向于运用模型求解调整策略.（3）在数学建模的思路特点、测试结果及效率方面：专家比新手较少思路定势，思维较灵活，成功率和思考效率更高，而新手数学建模口语报告比较繁杂，对问题的分析浅表而模糊，建模思路迟缓而刻板，对数学建模方法的使用表现为盲目搜索，思路定势的次数和最终思路错误总次数显著多于专家，即使解题成功，所花时间也较长，效率也较低.

〔1〕Werner Blum Peter L.Galbraith Hans-Wolfgang Henn.Mogens Niss.Modeling and Applications in Mathe-matics Education.[M]New ICMI Study Series VOL.10.Published under the auspices of the International Commission on Mathematical Instruction under the general editorship of Michele Artigue,President Bernard,R.Hodgson, Secretary-General 2006.

〔2〕李明振,庞坤,宋乃庆.认知弹性理论指导下的高师数学建模教学[J].数学教育学报，2007,16(1)：96-99.

〔3〕李明振,庞坤,宋乃庆.高师院校“数学建模”课程教学研究[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2006,31(1):175-179.

〔4〕李明振,庞坤.高师院校“数学建模”课程教学中存在的问题与对策[J].西北师范大学学报(自然科学版),2006,42(4):109-113.

〔5〕李明振,庞坤.关于高师院校“数学建模”教材建设的思考与探索[J].数学教育学报，2006,15(1): 64-66.

〔6〕但琦.大学生数学建模水平及其教学策略研究[D].博士论文,2007，12.

附录

数学建模口语报告测试材料：

1.市场上有一种两个规格的鱼，10cm长的鱼，每条3元；13cm长的鱼，每条6元.买哪个规格的鱼合算？

2.国际乒联希望通过增加乒乓球的飞行时间提高比赛的观赏性.为此，自2000年悉尼奥运会起，用直径为40毫米的“大”球取代直径为38毫米的“小”球进行比赛，“大”球的质量与“小”球的质量相同.试分析“大”球从球台一端飞往另一端所需时间的增加情况.

3.建立两城市间电话作用次数的数学模型.

G642.3

A

1673-260X（2010）09-0192-03

河北省教育厅科研资助计划项目：大学生数学建模的认知与教学研究(SZ090387)