条件异方差模型的遍历性与几何遍历性

蔺海新

(河西学院 数学系，甘肃 张掖734000)

0 引言

近二十几年来，各种类型的时间序列模型的遍历性问题已经得到了广泛而深入的研究。在以往的研究中，主要是应用一般状态空间马氏链的理论对可加噪声的非线性自回归时间序列模型的遍历性进行了深入细致的研究。然而，在诸多的研究中，对条件异方差模型的遍历性问题的研究还不多见，受文献[1][2][3]根据中研究的启发，本文主要讨论如下形式的非线性自回归时间序列模型(简记为NLAR)：

xt=φ(xt-1,xt-2,…,xt-p)+εts(xt-1,xt-2,…,xt-q)

(1)

其中φ和s为定义在Rp和Rq上的实值可测函数，{εt,t>0}为独立同分布的随机变量序列，εt与{εt,s

1 模型的假设及基本引理

为了研究的方便，在模型(1)中不妨取p=q，则(1)成为如下的(2)：

xt=φ(xt-1,xt-2,…,xt-p)+εts(xt-1,xt-2,…,xt-q)

(2)

记：Xt=(xt,xt-1,…,xt-p+1)τ;φ(Xt-1)=+φ(xt-1,xt-2,…,xt-p);

s(Xt-1)=s(xt-1,xt-2,…,xt-p) ,ΦXt=(φ(Xt),xt-1,…,xt-p+1)；

H(Xt-1)=(s(Xt-1),0…,0)τ。

其中“τ”表示矩阵或向量的转置。 这样模型(2)变形为：

Xt=Φ(Xt-1)+εtH(Xt-1),X0=(x0,x-1,…,x-p+1)∈RP,t≥0

(3)

由文献[1]知{Xt,t≥0}是齐次马尔科夫链。这样就将模型(1)所确定的时间序列的遍历性研究，转化为由(3)所确定的齐次马尔科夫链遍历性的研究,为此给出下述结论：

引理1[1]：如果时间序列{xt}服从NLAR模型(1)

若(i)函数φ在RP中的有界集上有界，即对任意的正数k<+∞，有

(ii)函数s是Rq到R1的正值连续函数，满足对每个实数k>0有

其中x∈RP，‖·‖为Rq中的欧氏范数。

(iii)随机变量{εt,t>0}有几乎处处为正的下半连续密度函数fε，则由模型(1)所确定的马氏链是齐时的、关于Lebesgue测度μp为不可约的、非周期的，而且RP中任何有界μp正测集都是小集。

定理1[1]：设{Xt}为不可约的，非周期的马氏链，如果存在一个非负可测函数g, 一个小集C和常数c1>0,c2>0使得

1)E{g(Xt)|Xt-1=X}≤g(X)-c1,∀X∉C

2)E{g(Xt)|Xt-1=X}≤c2, ∀X∈C

在给出本文的主要结果前给出如下的条件假设：

A1)随机变量{εt,t>0}有几乎处处为正的下半连续密度函数fε且ε1与 {xt-s,s>0}相互独立。

A2)函数φ(·)在RP中的任意有界集上有界，即对任意的正数k<+∞，有

其中X∈RP，‖·‖为Rq中的欧氏范数。

A3)函数s(·)满足对任意的k>0有

其中X∈RP，s1,s2是常数。

A4)存在常数αi>0,i=1,…,p,M>0,c1≥0,c2≥0使得

(4)

或

(5)

或

(6)

其中“τ”表示矩阵或向量的转置,l1为常数。条件(4)～(6)中系数αi满足

(7)

2 主要结论

定理2：对模型(3),它满足条件A1～A3且存在非负有界可测函数v:Pp→R1,满足

v(X+Y)≤v(X)+v(Y),‖X‖>k1,‖Y‖>k1,∀X,Y∈RP,∀k1>0

(8)

v(Φ(X))≤v(X)-c,‖X‖>k1,∀X∈RP,∀k1>0,c>0

(9)

(10)

若E(v(εtH(X)))

证明: 因为定理(2)满足条件A1～A3，由引理1知{Xt}是不可约、非周期的齐次马氏链。 取k=k1，则有界集合A={X|‖X‖≤k}是一个小集，只要μ(A)>0，其中μ表示勒贝格测度。 根据马尔科夫链遍历漂移性准则定理1，一般地，取g(x)=v(x)，则g(x)在有界集上是有界函数。

E{g(x1)|X0=Y}=E{v(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}=E{v(Φ(Y)+εtH(Y))}

≤E{v(Φ(Y))+v(εtH(Y))}≤v(Φ(Y))-c+E{vεtH(Y))}

其中c1=c-c0>0为常数。

同时根据已知条件A1及条件(10)，存在c3>0,当Y∈A时

那么

E{g|(X1)X0=Y}=E{v(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}=E{v(Φ(Y)+εtH(Y))}

≤E{v(Φ(Y))+v(εtH(Y))}≤v(Φ(Y))+E{vεtH(X))}≤c2,Y∈A

其中c2=c0+c3为常数。根据定理1得{Xt}是遍历的。

同样地，取g(X)=ev(X)，则

E{g(X1)|X0=Y}=E{expv(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}

=E{exp(v(Φ(Y)+εtH(Y)))}≤E{exp(v(Φ(X))+v(εtH(Y))}

=exp(v(Φ(X))·E{exp(v(εtH(Y)))}≤exp(v(Y)-c)·exp(c0)

=exp(v(Y))exp(c0-c)=exp(-(c-c0))exp(v(Y))=rexp(v(Y))

=ρexp(v(Y))-(ρ-r)exp(v(Y))<ρexp(v(Y))-(ρ-r)=ρg(X)-c1

其中c-c0>0，则00满足0

E{g(X1)|X0=Y}=E{expv(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}

=E{exp(v(Φ(Y)+εtH(Y)))}≤E{exp(v(Φ(X))+v(εtH(Y)))}

=exp(v(Φ(X))·E{exp(v(εtH(Y)))}≤c2,Y∈A

其中c1,c2为常数，则根据定理1知{Xt}是几何遍历的。 定理证毕。

推论1：对模型(3),满足条件A1—A3且存在Rp→R1上的非负有界可测函数v(·)，满足条件(9)和(11)，而且

(11)

如果

E(εtH(Y))≤c0

(12)

那么{Xt}为遍历的。 如果

E(ev(εtH(Y)))

(13)

那么{Xt}为几何遍历的。

证明: 由条件(11) 得，对∀c>0，∃k>0，当‖X‖>k时，|V(X)-V(H(X))|>c得

V(X)-V(H(X))>c

即V(H(X))

定理4：对非线性自回归模型(3), 满足条件A1～A4，则当条件(12)成立时{Xt}为遍历的，当条件(13)成立时{Xt}为几何遍历的。

证明： 当条件(4)成立时，取

(14)

其中X=(x1,x2,…xp)∈Rp

(15)

bi=b1(1-a1-a2-…-ai-1),i=2,3…,p

(16)

由(7),(15),(16)易见上述bi满足

(17)

bi=bi+1+b1ai,i=1,2,…,p-1,bp=b1ap

(18)

根据(14),(17),(18)得

v(Φ(Xt-1)+εtH(Xt-1))=b1|φ(Xt-1)|+b2|xt-1|+…+bp|xt-p+1|

=(b1a1+b2)|xt-1|+…+(b1ap-1+bp)|xt-p+1|+b1qp|xt-p|-b1c+b1c0

因此条件(9)满足，当条件(12) 成立{Xt}时为遍历的, 当条件(13)成立时{Xt}为几何遍历的。

同理，当条件(5)或(6)成立时，我们分别取

或

gg(Xt)=max{b1|xt-1|,b2|xt-2|,…bp|xt-p|}

按照条件(4)的证明过程可知上述两种情况下,条件(9)也满足，根据定理3知{Xt}为遍历的或几何遍历的。证毕。

[参考文献]

[1] 安鸿志,陈敏.非线性时间序列分析[M].上海：上海科技出版社, 1997：72-80.

[2] 盛昭瀚，王涛,刘德林.非线性时间序列模型的稳定性分析-遍历性理论与应用[M].北京：科学出版社,1993：92-103.

[3] An H Z, Huang F C. The geometric ergodicity of nonlinear autoregressive models [J]. Statist Sinica, 1996(6):943-956.

[4] An H Z, Chen M, Huang F.C. The geometric ergodicity and existence of moments for a class of a non-linear time series model [J]. Statistics & Probability Letters, 1997, 31:213-224.

[5] An H Z, Chen S G. A note on the ergodicity of nonlinear autoregressive model [J]. Statistic & Probability Letter, 1997, 34:365-372.