L’ Hospital法则的应用及其常见问题

陈 敏

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

L’ Hospital法则的应用及其常见问题

陈 敏

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

介绍了L’ Hospital法则在未定式极限求解方面的应用，讨论了L’ Hospital法则的应用中易出现的问题并给出了相应的解决方法．在用L’ Hospital法则求极限时，必须对L’ Hospital法则成立的条件进行验证，否则可能得到错误的结果．

L’ Hospital法则；未定式；极限

L’ Hospital法则是求解未定式极限的重要方法，它可以求解的未定式极限的主要类型有0/0，∞/∞，0·∞，∞−∞，1∞，∞0和00型．由于表示这些极限的函数或变量形式多样，变化无穷，在运用L’ Hospital法则时，必须注意是否符合法则成立的条件，否则可能导致运算的繁琐甚至得到错误结果．

1 L’ Hospital法则

2 0/0型和∞/∞型极限的求解

例1 求下列极限[1―2]：

解：1)该极限属于0/0型未定式，可直接用L’ Hospital法则求解．

2)该极限属于∞/∞型未定式，也可以直接用L’ Hospital法则求解．

由例1可知，对于符合L’ Hospital法则要求的0/0型及∞/∞型未定式，可结合极限的运算法则及等价无穷小代换等方法，使运算过程得到简化．

3 0·∞型和∞−∞型极限的求解

对于0·∞型及∞−∞型未定式极限，一般首先作代数恒等变形，将其化为 0/0型或∞/∞型未定式极限，然后应用 L’Hospital法则求解．

例2 求下列极限[3]：

解：1)该极限属于0·∞型，可以化为0/0或∞/∞型．

2)该极限是∞−∞型未定式，对极限表达式的两分式通分后可化为0/0型未定式．

4 1∞型、∞0型和00型极限的求解

对于1∞型、∞0型和00型未定式极限，一般可先用对数的性质、代数恒等变形等方法把极限表达式的幂指数函数化为lim uv=exp(limv lnu)的初等函数形式，再对limv lnu恒等变形后应用L’ Hospital法则求解．

例3 求下列极限[2―3]：

由例3可知，在应用L’ Hospital法则求幂指函数的极限时，用代数替换等方法可简化计算．

5 L’ Hospital法则的应用中应注意的问题

应用L’ Hospital法则求极限时，应注意以下问题：

(1)只有未定式极限，才能用L’ Hospital法则求解，否则会得到错误的结果．

(2)由于L’ Hospital法则的条件是充分而非必要的，因此limu′/v′不存在并不说明limu/v也不存在，可运用其他方法求解．

(3)若分子、分母多次求导后极限表达式出现循环，并不代表极限不存在，可通过恒等变形等方法求解．

(4)在应用L’ Hospital法则时，可综合应用恒等变形、变量代换、因式分解、等价无穷小替换等方法，从而简化求解过程．

(5)对于一些多元函数的极限，可以通过变量代换将其变换为一元函数的极限函数，然后用L’ Hospital法则求解．

分析：原极限是存在的，但不适合用L’ Hospital法则求解．此问题可用无穷小性质求解．

这种解法较为繁琐，稍不注意就会出现错误．

例7的另一种解法如下：

综上所述，在用 L’ Hospital法则求极限时，必须对 L’Hospital法则成立的条件进行验证，否则可能得到错误的结果．另外，对所求极限表达式的形式进行灵活变换，根据极限表达式的特点将L’ Hospital法则与其他方法相结合，可以简化极限的求解．

[1] 周誓达．微积分（经济类与管理类）[M]．北京：中国人民大学出版社，2005．

[2] 费定晖．吉米多维奇数学分析习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，2003．

[3] 傅英定，谢云荪．微积分：上册[M]．北京：高等教育出版社，2003.

〔责任编辑 张继金〕

O171

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1006-5261(2010)05-0028-02

2009-11-18

陈敏（1982―），女，河南正阳人，助教．