推广的（G'/G）展开法求解非线性方程

韩冰冰

（辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029）

推广的（G'/G）展开法求解非线性方程

韩冰冰

（辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029）

本文用推广的（G'/G）展开法求解高维非线性方程，得出其多种形式精确解，分别以含参数的双曲函数、三角函数及有理函数表示.

推广的（G'/G）展开法；齐次平衡原则；（2+1）维破裂孤立子方程；精确解

1 引言

近些年来，构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一。目前,对于非线性发展方程，已提出了构造精确解的许多方法。如齐次平衡法[1]，Hirota双线性方法[2]，反散射法[3]，tanh方法[4]等等。在本文中，我们用推广的（G’/G）展开法求解（2+1）维破裂孤立子方程

不仅得到了文献[5]中已经得到的某些结果,而且得到了文献[6]中用新近发明的（G’/G）方法没有求得的新解.表明推广的（G’/G）展开法有更好的适用性.

2 （G’/G）方法与推广的（G’/G）展开法

根据文献[7]提出的（G’/G）方法,给定非线性发展方程

推广的（G’/G）展开法拓展了解的形式，设解可以表示成

将（7）式代入（4），可得到关于ai(i=0,1,…N),bi(i=1,…N), δ，λ的代数方程组，求解代数方程组代入(6)得到方程（2）的多个精确解.

3 (2+1)维破裂孤立子方程的新解

对方程组(1)作行波变换u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+y+δt,可化为如下ODE

代入(8)式第一式,令积分常数为零,得

平衡最高阶导数项u"与最高次项u2,可确定N=2.

因而方程(10)的解的形式为

由(11)式和(6)式可以得到

将(11),(12),(13)式代入(10)式,可得关于a0,a1,a2,b1,b2,δ,λ的代数方程组

以上代数方程组有解

将以上结果代入(11)式,可得方程的三种类型的显式解.

情形一 当λ<0,bδ>0时,对应解组[1],[2],[3],有双曲函数解:

其中ξ=x+y-16bλt.

其中ξ=x+y-4bλt.

其中ξ=x+y-4bλt.

情形二 λ>0,bδ>0时,对应解组[1],[2],[3],有三角函数通解:

其中ξ=x+y+16bλt.

其中ξ=x+y+4bλt.

其中ξ=x+y+4bλt.

情形三 λ=0时,有有理函数通解:

若令C1=0,C2≠0,则(14),(15),(16)式可约化为

4 小结

本文用推广的（G’/G）展开法,求出了高维方程多种形式解,获得了含参数的双曲函数解,三角函数解和有理数解,得出了一些新解.可见,这种拓展的方法是一种求某些非线性发展方程的有效方法之一.

〔1〕WANGM L,ZHOU Y B,L I Z B.Application of homogeneousbalance method to exactsolutionsof nonlinear equations in mathematical physics[J].Phys LettA,1996,213:67-75.

〔2〕H I ROT A R.Exact solution of the Korteweg-de Vries equation formultiple collisions of solitons[J].Phys Rev lett,1971,27:1192-1194.

〔3〕AblowitzMJ,SegurH.Solitonsndinverseatteringtransform. Philadelphia:SIAM;1981.

〔4〕Wazwaz AM,Multiple-soliton solutions for the Boussinesq equation.ApplMath Comput2007;192(2): 479-86.

〔5〕王军民.(2+1)维破切孤子方程的Jacobi椭圆函数周期解[J].河南师范大学学报（自然科学版）,2009,5(37):8-10.

〔6〕牛艳霞,李二强,张金良.利用（G’/G）展开法求解2+1维破裂孤子方程组..[J].河南科技大学学报 (自然科学版), 2008,5(29):73-76.

〔7〕Wang M L,Li X Z,Zhang J L 2008 Phys,Lett.A372417.

〔8〕Mingliang Wang ExactSolutionsforaCompound Kdv-Burgers Equation [J].Physics Letters A,1997,229: 217-220.

O241.7

A

1673-260X（2010）05-0001-02