学生学习过程中习题课的教学探讨

●郑关忠 (遂昌县第三中学 浙江丽水 323300)

新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程.课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”，数学新教材倡导学生主动探索、自主学习、合作讨论，体现数学再发现的过程.数学教学不再是教师向学生传授知识的单一过程，而是鼓励学生观察、操作、发现，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力、个性品质的发展，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力.

如何充分体现学生在数学教学中的主体作用，提高数学课堂教学质量，特别是如何上好数学习题课，是摆在每一位数学教师面前的重要课题.教师除了要认真学习新课标，钻研教材，把握好每章节的重点、难点，明确教学目的外，还要精心设计教学过程.习题课教学和数学概念、公式、公理、定理、例题的教学及复习课教学构成了初中数学教学的三大支柱.高效的习题课教学在培养学生的思维品质、提高学生分析与解决问题的能力、了解教学效果等方面都有不可替代的作用.

在从强化知识的传统教育模式向素质教育的现代教育模式转化的改革中，应该将习题课教学改革作为整个数学教学的一个重要环节对待.

1 选题必须具有典型性、针对性、灵活性，以学生的知识基础为出发点

习题课的选题要围绕学生的知识点展开，所选题目主要有2个部分，即教师课堂分析的例题和检测学生的练习题.其中例题的难度略高于练习题，应优先考虑课本中的例题与习题，并且对其进行适当的变式与拓展(毕竟课本习题都是经过专家多次筛选后的精品);要避免纯粹地从中考题或资料中抄来，一味的内容求新、题型求全.

例如，对浙江版八年级上册勾股定理一节的习题课进行一些探讨.首先巩固基础，了解学生的知识结构存在“漏洞”.

(1)已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a.若 a=6 cm，b=8 cm，则 c=_______;若 a=3 cm，c=8 cm，则 b= _______;若 b=3，c=4，则 a= _______.

(2)已知：直角三角形的2条边长分别为2 cm和3 cm，那么第3条边长为_______;直角三角形的斜边长为________.

(3)试判断下列三角形是否为直角三角形.

①3条边长分别为5，12，13;

②△ABC的3条边长a，b，c满足a2-b2=c2;

(4)如果 ΔABC 的3 条边分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2+502=6a+8b+10c，判断 ΔABC 的形状.

这一题组既帮助学生复习巩固了知识点，填补了学生在知识结构上存在的漏洞，又能使教师准确了解学生对知识点掌握的程度.

2 在解题过程中要以学生为主体，教师是课堂教学中的组织者、引导者和合作者

课堂上，教师应营造出和谐、民主的课堂氛围.教师出示题目之后，一定要沉得住气，给学生足够的时间，发动全体学生审题、思考、尝试、探索，教师只要适时、适度、适量地给予点拨，而不应该搞个人承包(指教师一讲到底或指定某位学生，一问一答，一说一写，直到结束)，这样就忽视了学生的主体地位，忽视了大多数学生的参与，教师的主导作用也未能充分发挥.教师就出示的题目发动全体学生讨论或分小组讨论，自己也可加入其中，直至全体学生形成思维共振、情感共鸣，最后形成共识.

笔者在二次函数的图像与性质的复习课中，选用了这样一道题作为例题.

例1 已知二次函数y=x2+4x+3.

(1)画出函数草图;

(2)结合函数草图，写出尽可能多的结论，并说出一般结论.

笔者让学生读题目，画好草图，考虑2分后开始交流.学生通过相互交流、讨论、补充，得出了以下结论：

(1)开口方向：向上(一般由a的值决定).

(2)对称轴：x=-2(直线).

(5)与 x 轴的交点坐标：A(-3，0)，B(1，0)(设y=0，解就是交点横坐标).

(6)与 y轴的交点坐标：C(0，3).

(8)增减性：略.

(9)点C关于对称轴的对称点是(-4，3).

(10)△ABP是等腰直角三角形.

(12)图像可以由y=x2的图像先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到.

(13)①当-3＜x＜ -1时，y＜0;②当x=-3或x=-1时，y=0;③当x＜ -3或x＞ -1时，y＞0.

(14)图像绕着顶点旋转后的解析式是y=(x+2)2-1.

(15)图像绕着x轴旋转后的解析式是y=-(x+2)2+1.

所有的学生马上兴趣盎然地投入思考、探索，通过学生间的交流、讨论，使学生对二次函数性质、特征有了较深刻的理解，从而达到了在题目中复习性质、在性质中解决问题的效果，摆脱了以往纯文字复习性质的常规.

3 讲题要注重学生的学习过程，有意识地培养学生的发散思维和求异思维

教师在讲题时，过程比结果更重要，过程中有方法、有能力.只有充分展示过程，才能潜移默化地培养能力.因此在习题课教学中必须经常进行“变式与拓展训练”，对学生进行发散思维与求异思维训练，激发学生的创新思维.数学变式教学是指通过不同角度、不同侧面、不同背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.在保持本质特征不变的前提下，数学变式教学主要通过变更数学概念的非本质特征、数学问题的条件或结论，转换数学问题的形式或内容，创设各种实际应用的环境来实现，从而也保证了习题选择的有效性和针对性.

例2 如图1，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120 mm，高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余2个顶点分别在AB，AC上.问加工成的正方形零件的边长为多少?

变式1 如图2，将原题中“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”(如图2).问当矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大，最大面积是多少，余料的利用率是多少?

图1

图2

变式2 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5 m，面积为1.5 m2.工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙2位同学设计加工方案，甲设计方案如图3所示，乙设计方案如图4所示.你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数).

(2006年南京市数学中考试题)

图3

图4

变式3 已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=80，BC=60，如图 5 所示.把边长分别为 x1，x2，x3，…，xn的 n个正方形依次放入△ABC中，则第1个正方形的边长x1=_______;第n个正方形的边长xn= _______(用含n的式子表示，n≥1).

图5

变式4 如图6，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

(1)如图6，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长;

(2)如图7，三角形内有并排的2个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长;

(3)如图8，三角形内有并排的3个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长;

(4)如图9，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长.

图6

图7

图8

图9

通过变式，促使学生能联系地、多层次地、多角度地看问题，扩大学生的数学视野，培养学生的创新能力.

例3 求证：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.

变式1 求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形.

变式2 求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形.

变式3 求证：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形.

变式4 问题：顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形?

变式5 问题：顺次连结什么四边形中点可以得到矩形?

变式6 问题：顺次连结什么四边形中点可以得到菱形?

……

通过以上变式训练，可防止学生形式地、机械地背诵或套用公式和定理，使学生充分掌握四边形这一章节所有的基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路、活跃思维、激发兴趣.

例4 证明：等腰梯形的判定定理：在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形.

笔者在讲解此题时，引导学生从以下4个方面进行分析：

(1)平移一腰，转化为平行四边形和等腰三角形;

(2)过上底的2个端点作高线，转化为2个全等的直角三角形和一个矩形;

(3)延长两腰，转化为2个等腰三角形.

这几种证法分别用到了全等三角形的对应边相等、等角对等边、平行四边形的性质、等式的性质等，体现了知识的纵向、横向的结合.辅助线的添设也各有特色，展示了解决梯形问题的一般规律.这样对强化学生的解题技能、优化学生的思维品质具有重要的意义.

4 注重习题的过程评价，让学生通过易误点进行错因分析

在课堂教学中，教师要准确发现学生在知识理解、方法运用等方面的成绩和不足，要给予必要的肯定和及时矫正，引导学生总结寻找突破口的方法，总结易混、易错处，归纳同类习题的共性与异性、习题的联系与区别，达到解题时会一类、通一片的目的.其中“设错”是数学教学过程中的一个教学设计手段，其目的是通过“设错来纠错”进一步理解和掌握知识的难点和重点，不断激发出强烈的求知欲望，从而达到理想的教学效果.

例5 若一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有1个根为0，则m = ________.

学生在求解时，有相当一部分学生会错误地解答成m=±2.当然，习题课教学中允许学生解错，它可以开拓学生思维，培养能力;可以进行教学反馈，及时弥补教学不足.因此要正确对待学生学习中出现的错误，甚至运用一定的方法诱使学生出错，“挤”出学生头脑中错误的模糊东西，并最终达到正确.在例5中，教师接着可以让学生试着把x=2代入原方程验算，学生很快会发现x=2不符合题意，应舍去.他们的好奇心马上就被调动起来了，主动去寻找刚才解答过程中可能存在错误的地方.教师要主动把自己的教学情感融入到学生的心理中，要站在学生的角度与学生同欢、同乐、同奇、同疑.对学生的“纠错”，要肯定其创新精神，即使回答错误，教师也要因势利导、随机应变，把学生的错误资源当做反面教材，认真分析、寻找原因;或者把问题切换成低一层次稍容易的相关问题作启迪，指出思考方向，使整个课堂教学始终处于和谐、协调、高效的态势.

在习题课教学中，教师应要求学生对知识和习题进行整理，对规律进行小结与反思，对思想方法进行提炼，形成观点;同时把自己出错的原因写出来，及时纠正一些学生不认真复习基础知识而引起出错，起到查漏补缺的作用.这对学生学习水平的提高有很大的促进作用.当然，数学习题教学所涉及的问题远不止这些，譬如教师的语言表达，语调、形体语言，、板书的规范化，讲练脱节等都是值得研讨的问题.总之，教师应针对学生的实际情况和认知水平，精心选编习题，要善于调动学生的积极性，给学生更多的思考时间和空间，让学生真正成为学习的主人.

［1］ 中华人民共和国教育部制订.数学课程标准［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.

［2］ 陈开金.初中数学习题课教学初探［J］.中国在线：聚焦新课程，2009(8)：38.

［3］ 王群能.解题错误是一种教学资源［J］.教育实践与研究.中学版，2009(12)：48-50.