巧用图像理解相关运算

董志芳

(东南大学电子科学与工程学院,江苏南京 210096)

信号的相关运算是信息处理中非常重要的一种运算,特别是自相关函数,它是平稳随机过程的一个重要的统计特性,且与随机过程的功率谱有着密切的关系。但从一维信号的相关运算来理解其物理含义比较晦涩难懂。本文利用相关运算在图像配准中的应用,从另外一个角度理解相关运算的物理含义,这样能够提高教学效果,易于初学者理解。

1 信号的相关

信号的相关函数描述了两个信号或一个信号本身不同时刻的相关程度,可以揭示信号的结构特点,具体内容参见文献[1]。特别是自相关函数,它是平稳随机过程的一个非常重要的统计量,在讨论随机信号时十分有用。

两个一维时间实函数 x(t)与y(t)的相关运算是由下面的积分所定义,即

式中,相关运算所得的结果Rxy(t)称为x(t)与y(t)互相关函数,而Ryx(t)则叫做y(t)与 x(t)的互相关函数。如果进行相关运算的是同一时间信号,则称为自相关函数Rxx(t)。

从一维信号去理解相关描述信号的相似程度,学生感到比较抽象。但如果换个角度,用图像的相关来说明就非常生动形象,而且便于掌握,还为以后利用相关理论处理更复杂的信号奠定基础。

2 图像的相关

与一维信号的相关运算类似,两个二维图像f(x,y),h(x,y)相关运算(图像相关的详细内容可参见文献[2])定义为

其中 f＊表示 f的共轭。

图像相关最直接的应用就是图像的配准。所谓图像的配准简单的讲就是在一幅图像 f(x,y)中找到感兴趣的物品h(x,y)(称为模板)。与一维信号类似,对于二维图像,相关运算也同样表示两幅图像的相似程度,因此可以用图像的相关函数作为衡量模板与图像中物品相似度的目标函数。让 f(x,y)和h(x,y)作相关运算,如果匹配发生在相应的点上,则此点的相关函数出现最大值。

3 实验及结果

为了用图像形象地说明相关函数是衡量信号相似度的物理含义,这里用两幅背景全黑的二值图像进行配准实验。一幅如图1(a)所示图像 f(x,y)包含三个字母“GTF”,另一幅为模板图像h(x,y)包含字母“T”,如图1(b)所示。配准就是找到模板字母“T”在f(x,y)中的位置。相关函数出现最大值处则认为是最佳匹配点。

本实验在Matlab平台上进行,具体的实验结果如图1所示。图1(c)是相关函数二维图像表示;图1(d)是相关函数的三维视图,很容易找到相关函数最大值点的位置;图1(e)则是相关函数最大值所在行的的剖面图;图1(f)则是将原图像图1(a)根据配准的位置减去模板图像图1(b)得到的。

如图1(d)所示,从相关函数的三维视图可以看到模板和原图像在某一点的相关函数具有极大值,这一点就认为是最佳匹配点,即模板在这点和原图像的物品具有最大的相似度。相关函数还可以进一步从图1(e)所示的二维剖面图看清楚。为了更清楚地验证配准的结果,将原图象在配准位置减去模板图像。理论上,如果配准的结果好,相减的图像在字母“T”的位置处,应该只剩下背景。实验结果如图1(f)所示,原图像中字母“T”完全被减后,只剩下背景。可见配准结果十分精确,与理论结果相符。

图1 用相关运算进行图像的配准

4 结语

从一维信号的相关运算理解其物理含义对于初学者而言有些晦涩难懂,但从上面的图像配准的例子,可以很容易理解相关表示信号相似程度的物理概念。在信息处理课程的教学中,都会遇到很多类似的问题:一个理论在某个方面的应用虽然非常广泛,但对于刚接触的学生而言却十分抽象,难以消化;而当换个角度说明,或则换个应用方向的例子,哪怕只是简单的,却也可能地获得出人意料的效果。

本文利用图像的相关在一幅图像中寻找模板图像的位置,当相关函数达到最大时,即认为找到两幅图像的最值配准位置。通过这种图像配准的应用,相关运算的物理含义十分生动,便于学生掌握。

[1] 管致中,夏恭恪,孟桥,信号与线性系统,第四版[M].北京:高等教育出版社,2004

[2] 冈萨雷斯,数字图象处理,第二版[M].北京:电子工业出版社,2007