关于《数学物理方法》课程教材改革

2010-08-15韩锋

河池学院学报 2010年1期

关键词：数理物理学物理

韩锋

(河池学院物电系,广西宜州 546300)

关于《数学物理方法》课程教材改革

韩锋

(河池学院物电系,广西宜州 546300)

讨论当前《数学物理方法》教材中存在的问题,建议不讲或略讲“复变函数论”部分的内容,补充“变分法”和“群论基础”方面的内容。

数学物理方法;教材;复变函数论;变分法;群论基础

一、关于“数理方法”这门课

“数学物理方法”(Method of Mathematical Physics)或者“物理学中的数学方法”(Mathematical Method of Physics),我们简称为“数理方法”,也有人称为“数学物理”(Mathematical Physics)。作为面向物理学的数学课程,它应该是一门为解决物理问题提供必要的数学方法的课程,或者按通常人们所说的提供数学工具!它不应该着眼于太多繁琐而严密的数学证明,而是着重强调方法的应用,着重于训练学生熟练地运用数学方法解决物理问题,而不至于在学习物理学时,常常因为数学训练的不足而需要补充数学知识。那样,一方面会分散在物理问题上的注意力,另一方面还可能由于数学困难而成为解决物理问题的“拦路虎”。同时,由于在补习数学知识时,往往与物理问题脱节而显得冗长乏味,又使得系统完整的物理理论支离破碎。所以,对学习物理学的学生来说,事先准备好数学工具是非常必要的。这样的数学工具,一要够用,二要熟练,当然也不是越多越好。

具体来说,“数理方法”这门课就是为大学本科的理论物理学准备数学工具的。现在我们所说的“理论物理学”,包括理论力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学,统称为四大力学。由于理论物理学的结构使用的是像欧几里得几何学那样严密的公理化体系,从公理 (原理)演绎推导出一系列可以用实验验证的具体推论,步步紧扣,逻辑体系严密而有说服力,简洁而优美,从而显示出一种令人叹为观止的理论美感。由于在它的演绎推导中大量地使用了数学,所以学术界 (尤其是苏联的学术界)往往就把理论物理学称为“数学物理学”。

这门课的性质就决定了它应该包括哪些内容。除了最低限度的数学方法 (在附录中开列了一个物理学要用到的最基本的数学,以备查考)和基本微积分外,一般来说,理论力学中使用的常微分方程和变分法,热力学与统计物理学中使用的概率论与数理统计,电动力学中使用的矢量分析与场论,量子力学中使用的线性代数,以及广义相对论中使用的张量分析与黎曼几何,粒子物理中使用的群论等,都应该包括在内。这门课将物理学不同分支所用的数学方法 (它们往往是互相交叉的)作统一的处理,实际上也就成了“四大力学”的“黏结剂”。

现在的数理方法教材一般包括复变函数论、傅立叶级数和傅立叶积分 (或傅立叶变换)、数学物理方程(数学上的偏微分方程侧重于物理要用到的内容)三个部分。或者把第一和第二两部分合为“复变函数论”,把“复变函数”和“数理方程”合并为“数理方法”一门课程。高校比较通用的南京大学梁昆淼主编《数学物理方法》已经出到了第三版,内容大体未变[1]。其他几种比较通行的教材,如四川大学编的《高等数学 (物理专业用)》第四册[2],北京大学郭敦仁的《数学物理方法》[3],复旦大学胡嗣柱、倪光炯的《数学物理方法》[4]也都主要是这些内容。这门学科的经典教材是德国数学家柯朗和希尔伯特的两卷本《数学物理方法》[5],它涵盖的内容比较广。卷Ⅰ中有线性代数和二次型,任意函数的级数展开,线性积分方程,变分法,振动和本征值问题,变分法在本征值问题上的应用,本征值问题所定义的特殊函数。卷Ⅱ中除引论外有一阶偏微分方程的一般理论,高阶微分方程,势论及椭圆型微分方程,两个自变量的双曲型微分方程,多于两个自变量的双曲型方程。李政道的《物理学中的数学方法》[6]涉及的内容也很广,尤其是特别突出了偏微分方程解法中的格林函数方法。覆盖内容更广的可算拜仑和富勒的两卷本《物理学中的数学方法》[7],以“向量空间”为主干,结构清晰而明朗。我们发现,它们都把“变分法”单列成章 (在梁书中是以附录的形式),给予了足够的重视,这不是没有道理的,我们将在下面讨论这个问题。同时,拜仑和富勒的书中还把“群论初步”作为最后一章单列,这也是很有意义的。

对于要求不是很高但求够用即可的数理方法课,美国哈普尔的《数学物理引论》[8](原版:Introduction toM athem atical Physics,Charlie Harper,Department of Physics California state University,Hay ward.)不啻为一个很好的选择。盛振华的《矢量分析与数学物理方法》[9]及上海交大编的那套《工程数学》小册子,则可以看作这门课程的简写本,即便不用作教材,也是很好的参考书。我校物理与电子工程系本科原来使用的是梁昆淼的教材,近几年选用了哈普尔的书,并补充了一章“群论基础”,这就比较全面了。这本书的第一章就是“矢量分析”,以后依次是“算子和矩阵分析”、“复变函数”、“留数计算”、“微分方程”、“数学物理中的特殊函数”、“傅立叶级数”、“傅立叶变换”和“张量分析”,除最后一章的内容将在“广义相对论”课中同步讲授外,其他内容与通行教材差别不大,而它的特点则很显著。它紧密联系物理实际,其例题和习题都是从普通物理或理论物理中选出来的,有的是基本内容的延伸和补充。它强调实际运算能力的提高而淡化定理的繁琐证明,比较适合河池学院的学生。

二、“数理方法”教材内容上存在的问题

1983年秋,笔者在复旦大学进修了一个学期的“数学物理方法”,系统地听了胡嗣柱老师和李大潜老师的数理方法课,并听了陈恕行老师的“偏微分方程的历史和发展”、谷超豪老师的“自然科学中的空间和时间”等讲座,对数理方法这门课的体系结构有了一定的认识。在此之前,笔者已经给本科生开过数理方法课,在教材内容的选取上,一直有一个问题没有得到解决:几乎所有的数理方法教材都花了大量的篇幅讲复变函数和留数计算,而在本科阶段理论物理课的学习中,却几乎完全用不着这些内容。我们感到疑惑,把这么多的时间花在这些论题上,而对用得较多的变分法、群论初步等却完全不予涉及,这是否合适?为此,笔者专门写信向远在美国波特兰大学的倪光炯先生请教。倪先生是笔者在复旦大学时的老师,学术造诣深厚,复旦大学的那本《数学物理方法》就是他和胡嗣柱老师合写的。他很快回信谈了他的看法,肯定了我的疑问。数学物理方法反映的是理论物理中的经典数学,其中复变函数的理论主要是用在高水平的理论物理上,在大学课程中并不是很常用。有意思的是,我们还在拜仑、富勒的书的序言中看到这样的表述:“解析函数理论只是一个插曲,在于确立数学物理各分支中都需要的技巧和结果。”也有一些教材,如彭桓武先生的《数理物理基础》[10],就不讲复变函数,而讲变分法和群论。

诚然,“数学物理方法”中的“复变函数论”,尤其是其核心部分的解析函数论,在流体力学和空气动力学,乃至固体力学的薄壳理论中都有着广泛的应用,而在理论物理的场论中,如建立平面场的数学模型,用留数定理简洁地计算一些定积分,也都显得技巧性很强。但是,它与其他更基本的一些数学工具相比,毕竟不是“雪中送炭”,因而,暂时把它的学时让给更紧迫需要的其他内容,应该是可以的。

变分法就是求泛函的极值问题。它起源于古老的“最速落径问题”,成为经典力学的最小作用量原理,现在实际上已经成为这个理论物理学的基础性原理。在电动力学中,用它可以导出麦克斯韦方程组,量子力学的薛定谔方程与广义相对论的爱因斯坦方程和测地线方程也可以用它得到,甚至统计物理中的玻尔兹曼分布也来自于变分法。另外,它还作为微扰论中的一种近似方法而被广泛应用。

对称性问题在近代物理学中变得越来越重要,诺特定理揭示物理学中的各种守恒定律都是时空对称性的表现。时间的均匀性导致能量守恒,空间的均匀性和各向同性导致动量和角动量守恒。尤其是基本粒子之间通过对称性反映了它们之间的各种本质联系,因而群论尤其是群表示论成为描述对称性的有力工具。物理对象中揭示出的多种多样的对称性,就使得群论显得非常有用。当然,群论已经属于现代数学,而且已经成为一门独立的课程。如果课时允许,群论的一些初步知识还是应该介绍一下的。

三、改革“数理方法”教材内容的一个设想

根据学科的发展和应用的需要,“数理方法”课程的内容也在不断地丰富和发展,而不应该是一成不变的。随着物理学和数学的发展,数学物理中的计算方法,数学物理中的几何方法,还有非线性数学物理等内容,已经或正在逐渐进入数理方法的教学之中。对于基本要求的“数理方法”课程的内容改革,自然也已是势在必行。

根据上述的分析和教学的目的要求,对于“数学物理方法”这门课的教学内容,我们建议作如下的调整。它至少应该包括以下内容:

矢量代数、矢量分析和场论;概率论与数理统计基础(如果在统计物理课中可以随堂补充讲授,可不在这里讲);矩阵和线性方程组、坐标与坐标变换;复变函数 (只选讲后面级数部分要用到的内容);常微分方程与偏微分方程;数学物理中的特殊函数;傅立叶级数与傅立叶变换;变分法初步;群论初步 (只讲群表示论的基本概念,如果单独开“群论”课则不讲);张量分析 (如果开“广义相对论”则不讲)。

以上这些内容,当然应该是在“高等数学”课的基础上开设。以通行的同济大学樊映川《高等数学》为例,矢量代数、线性方程组、常微分方程和傅立叶级数就都已经讲到过。在“数理方法”课中,鉴于它们的重要性,也为了便于衔接,可以适当地作一些归纳复习提高,并且通过例题和习题接通与物理的联系。选用的教材可以以一本书为基础 (如哈普尔的书或盛正华的书),然后参考相关的基础教材进行一些裁剪,以达到基础不缺漏、学生易接受、尽量结合物理实际为原则,这就要充分发挥教师的主观能动性和创造性,在课时有限的条件下实现教学目标。

四、关于“数理方法”课的学习

“数学物理方法”这门课是大学理论物理系列课程群的课程之一,是物理学专业的专业理论基础课之一,它在整个课程系列中的地位是显而易见的。这门课又是公认的比较难教难学的一门课,虽然思路很清晰,但具体计算过程仍然很繁,其中还有一些技巧性的东西。这就要求学生能耐心地对各种题型独立做上几遍,似乎没有什么捷径可走。当年在复旦大学时,我见到倪光炯先生为物理系部分青年教师及研究生开“数理方程”课时,临考前戏作打油诗一首,把分析的思路说得很清楚,现录在下面,以供参考。

问君临考意如何?区区实在不为多;静场分布早见惯,导热再加一点波。虽则不多弄清楚,物理数学两不误,方程坐标皆正确,量纲因次须相符。解题首先抓要点,源在何处细分辨,倘若方程属齐次,边界条件是关键。/关键之处也不难,非齐大家来分担,一解拆成几个解,变量分离能展开。分离变量有定法,诸君心里都明白,两边齐次条件夹,本征值便垂手得。本征值兮莫漏掉,本征函数才不少,正交系兮备全套,归一系数也好找。解题途径本分明,走路就怕粗心人,试题遇我心慌乱,正负颠倒除变乘。胜败毕竟寻常事,考验还看应用事,他年谁若用得活,我来拜你作老师。(1979年 5月)

再来说说课堂教学和考试问题。

判断一堂课的质量如何,课堂气氛很重要。好的课堂气氛,一定是要能够进行活跃的互动的。学生带着问题学,积极地开动思想机器,教师心中要有安排,什么地方细讲、精讲,什么地方略讲、粗讲,什么地方要大家讨论和回答,都要事先有明确的目的。

活跃的课堂气氛还容易发现问题究竟在什么地方,实现“教学相长”,因为教师往往会想不到在看似没有问题的地方出现问题。著名物理学家费曼的几句话对我们应该有所启示。他说:“学生的问题常常是新的研究课题的源泉。”“对于我来说,‘物理学中的数学方法’是一门理想的教授课程。这正是我在战争期间所做的工作——把数学应用到物理。我知道哪些方法是真正有用的,哪些是没用的。在利用数学技巧努力地工作了四年中我已积累了许多经验。所以我在课中安排了不少的题目,以及如何处理它们,而且我还有教案——在火车上做的笔记。”[11]

鉴于这门课的重要性,不但课时多,而且是必考课,内容十分庞杂,学生在考前一般都有些畏惧心理。解决这个问题的关键,不在于给学生划范围,而在于引导学生梳理各部分内容,理出头绪,找出重点,并集中力量攻克难点,这样才能事半功倍,考完以后也不致于全部忘记。这时,我们一般都给学生布置以下的问题思考:①你觉得数理方法这门课是否难学,难在什么地方?②你认为物理专业的这门专业基础课应该怎么学,在预习、复习、作业、听课、笔记、考试等方面,主要存在的问题是什么?③这门课在教与学两方面还有什么不足之处,你认为应该怎样改进?注意实事求是,不要文过饰非。

最后,向读者推荐一本在学习“数理方法”时的应备参考书,就是王竹溪和郭敦仁两位大家的名著《特殊函数概论》[12]。这书曾翻译成外文出版,深受读者欢迎。杨振宁先生曾经说过,用的时候只管查《特殊函数概论》,不用管怎么来的。因为数理方法方面的推导一般都很繁,这样的书就显得特别管用。这书当然是一本很全很好的手册,是为了查阅用的,没有必要全读。如果要读的话,也只宜读前两章。第一章讲函数用无穷级数和无穷乘积展开,第二章讲二阶线性常微分方程,是对大学复变函数和数理方程内容的补充。后面各章就讲各种特殊函数的奇特性质,其中有些还是很重要的。有的内容来不及在正文中讲,就把它做成了习题,放在各章之后,其实并不能算是真正意义上的习题。

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].北京:人民教育出版社 (1960年第一版,1978年第二版).北京:高等教育出版社,1998.

[2]四川大学数学系,编.高等数学 (物理专业用)(第二版)(第四册)[M].北京:高等教育出版社,1985.

[3]郭敦仁.数学物理方法[M].北京:人民教育出版社,1965.

[4]胡嗣柱,倪光炯.数学物理方法 [M].上海:复旦大学出版社,1989.

[5]R.柯朗,D.希尔伯特.数学物理方法 (卷Ⅰ,卷Ⅱ)[M].钱敏,郭敦仁,译.北京:科学出版社,1958.

[6]李政道.物理学中的数学方法[M].南京:江苏科学技术出版社,1980.

[7]F.W.拜仑,R.W.富勒.物理学中的数学方法 (第一卷,第二卷)[M].北京:科学出版社,1982.

[8]C.哈普尔.数学物理引论[M].北京:科学出版社,1981.

[9]盛正华,马元鹏.矢量分析与数学物理方法 (修订本)[M].长沙:湖南科学技术出版社,1991.

[10]彭桓武,徐锡申.数理物理基础[M].北京:北京大学出版社,2001.

[11]R.P.费曼.爱开玩笑的科学家 -费曼[M].北京:科学出版社,1989.

[12]王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论 [M].北京:科学出版社,1965.