谈数学史在数学分析教学中的积极作用

茆 芹

(滁州学院数学系,安徽滁州239000)

谈数学史在数学分析教学中的积极作用

茆 芹

(滁州学院数学系,安徽滁州239000)

在数学分析教学中,经常由于纯粹的理论分析、枯燥的课堂学习以及“数学无用论”的影响,造成学生学习的积极性降低、教学效果不理想的状况。通过在教学过程中引入数学史料,对改变这种状况可以起到很好的积极作用。

数学史;数学分析教学;渗透式

0 引言

《数学分析》是数学系新生在第一学期所开设的课程,它与高等代数都是数学系的基础课。对数学分析掌握程度的高低,将直接影响到数学系很多诸如实变函数,复变函数等课程的学习。由于它在第二章就用抽象严谨的ε语言描述极限,而学生对这种方式很难直观理解,再加上众多的理论及证明,滋长了学生的畏难情绪,这些都增加了数学分析的学习难度,使得很多学生只是消极地学习以应付考试,对其中各种概念的本质及其关联以及数学的丰富内涵很难真正体会。如何改变这种状况,将数学史融入到数学分析教学中不失为一个积极有效的方法,它对数学教学的积极作用主要体现在以下四个方面。

1 有助于提高学生的学习兴趣

数学分析是一门经过千锤百炼的课程,它的言语精炼、概念抽象、推理严密的特点就已经让学生望而生畏了,再加上众多的理论证明和繁杂的计算更增加了学习的枯燥单调性,因此在教学中适时地穿插一些数学史料,可以活跃课堂气氛,吸引学生的注意力,提高他们的学习兴趣。例如,在讲到N-L公式的时候,有的学生就会问:为什么一个公式会用两个人的名字命名?这时就可以给他们讲数学史上著名的微积分创立优先权问题,它涉及到2个数学巨人:牛顿和莱不尼兹。实际上,他们是各自独立地完成了微积分的创立,只不过牛顿先于莱不尼兹创立,而莱不尼兹先于牛顿发表。牛顿从物理学出发,运用了集合方法研究微积分,应用上更多地结合了运动学;莱不尼兹则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念,得出了运算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。同时莱不尼兹还为微积分精心选择了符号,如引入了dx表示x的微分,∫表示积分,∫是“sum”的首字母s的拉长,d与∫体现了微分与积分的“差”与“和”的本质,这些符号被普遍接受并沿用至今,进一步促进了微积分的发展。通过讲解,不仅可以使学生了解N-L公式的由来和微积分符号的意义,在记住这些公式符号的同时,也记住了这些大数学家们的成果,对所学知识有了更深的理解,还能刺激学生的头脑,改变沉闷的课堂气氛,让他们积极地吸收教师所教授的知识。

2 有助于学生深刻认识到数学分析的重要性

对学生做一些简单的数学史介绍,可以使学生了解数学分析对于人类文明的进步和数学学科的发展是至关重要的。一方面,数学的萌芽与发展都离不开人类的生活和生产实践,人类历史上先后发生的三次巨大的产业革命都与数学分析有着直接或者间接的关系,尤其到了本世纪,数学已经渗透到人们生产生活的各个领域中去了。另一方面,从数学本身的发展来看,正是由于Weierstrass对分析学理论进行了严格化,才逐渐发展了集合论、复变函数论,微分方程、解析数论等新的数学分支,从而使数学分析成为众多数学分支的基础,成为高校数学专业的基础课;同时,由于微积分的广泛应用,使高等数学成为理工经济类专业的必修基础课,并成为考研的必考课之一。通过这两方面的了解,可以使学生充分认识到数学分析的重要性,让大部分学生产生主动学习的动力。

3 有助于培养学生的理性思维,提高他们的数学素养

在所有高校的数学分析教材中,知识安排的顺序都是极限、连续、微分、积分,这是因为这些知识之间的逻辑关系,但这也让学生理所当然地认为它们创立的先后顺序也是一样的,并且在创立之初就是这么的严格。实际上,这些理论的创立和严格化是经过多少代数学家不懈的努力才形成的,其中蕴涵着一种理性和探索精神,它体现在数学家们对已有数学理论的继承、推广、批判、质疑、创新等思维方式上。如果在教学中能让学生了解发现问题、认识问题、解决问题的这一过程,那么学生就能体会到一种真正的理性思维过程,学习其中的思维方式。这种学习不仅可以使他们对所学知识能更进一步的理解和掌握,还可以提高他们的数学素养,对今后的学习和研究工作都是非常重要的。

4 有助于激发学生的民族自豪感和爱国热情

数学分析课本中所提到的数学家如莱不尼兹、牛顿、柯西等都是外国人,几乎没有出现中国人的名字,看起来好像中国人在数学发展史上没什么建树。实际上,中国古代数学有着光辉的传统,很多重要的结论的发现比西方要早很多年。例如公元5世纪祖暅成功的运用“祖氏原理”推导出了球体积的计算公式,而这一原理在西方被称为“卡瓦列利原理”,于1635年由意大利数学家卡瓦列利提出,它对微积分的建立有重要影响,诸如此类的例子当然还有很多比如刘徽的割圆术,庄子的极限思想等。虽然从明代中国数学的发展开始落后于西方,但是自20世纪初,中国数学家们就开始了振兴中国现代数学的艰难历程,并陆续出现了一批在国际上都有影响力的数学家们,如苏步青、熊庆来、华罗庚、陈省身、吴文俊等。经过几代数学家们的不懈努力,中国现代数学从无到有的发展起来,中国数学发展水平与国际地位也在不断提高。

通过这样的介绍,不仅可以使学生了解中国数学的地位,还会激发学生们的爱国热情和民族自豪感,立下为中国数学赶超世界先进水平而努力学习的志向。

如何将数学史料与数学分析教学较好的结合在一起呢?一般采用渗透的方式,即根据教学内容,适时恰当地向学生介绍一些相关的数学史知识,在激发学生学习兴趣的同时,可以帮助学生更好地理解和掌握所学的知识。下面以无穷级数为例谈谈数学史在数学分析教学中应用。

第一、在介绍概念时适时融入概念的思想起源、发展简介,能加深学生对概念的理解和掌握。比如在讲解数项级数及其收敛发散的概念时,可以借由芝诺悖论向学生阐述级数蕴涵的无穷思想;此外,还可以穿插些数学史上的小故事帮助学生加深印象,比如早期数学家们都是凭直觉判断级数是收敛的,并没有严格的定义和判断条件,是柯西对无穷级数做了严格化处理,给出了级数收敛的定义和收敛条件,当柯西的研究结果一公布,当时的大数学家拉普拉斯急忙赶回家检查他的五大卷《天体力学》里的级数,结果发现他所用的级数幸好都是收敛的。

第二、在讲解定理公式时适时融入相关的数学史料,可以让学生了解该定理公式的发现过程、思想及其应用,同时也知道它们的发现并不是一帆风顺的,从不严格到严格化是经历的很多数学家的努力才实现的。以泰勒公式为例,布鲁克·泰勒于1715年在其著作《正的和反的增量方法》中陈述了他在1712年就已经得到的泰勒定理,其中的公式就相当于现代形式的泰勒公式,这一公式使得任意单变量函数展为幂级数成为可能,促进了微积分的进一步发展。不过泰勒的证明并不严谨,也没有考虑级数的收敛性,影响不大。后来由于欧拉、拉格朗日和柯西等数学家的努力才弥补了这些缺陷,泰勒公式的重要性日益显现,被称为微分学基本定理。泰勒公式在X=0处的特殊形式是由麦克劳林重新得到的,因此亦称为麦克劳林级数。

第三、在展示所学知识的应用时适时融入数学史,可以帮助学生理解其应用方向,提高对所学知识的应用能力,让他们了解所学的每一知识都有其存在价值。以级数的应用为例,1)在微积分的早期研究中,数学家们利用有些函数如指数函数的级数可以非常有效地求出他们的积分和微分,而从它们本身来处理原本很困难的;2)可以利用泰勒级数来计算一些特殊的数,如:π、e、欧拉常数r等;3)利用泰勒级数来求复杂函数的高阶导数,等等。

第四、在做章节小结时,通过给学生布置一些与所学知识相关的数学史料查阅工作,除了可以提供学生收集资料、独立思考和学习的机会以外,还能帮助他们更好地理解和掌握所学知识,了解它们在数学分析这门课程中的地位与用途。

[1] 李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2] 曾友良.论数学史教育功能与措施[J].湖南师范大学教育科学学报,2003(4):66-68.

[3] 华东师范大学数学系编.数学分析第三版[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4] 发掘数学史教育功能,促进数学教育发展——第一届全国数学史与数学教育会议综述[J].自然辨证法杂志,2005(4): 108-109.

A Positive Role History of Mathematics Plays in Mathematical Analysis Teaching

M ao Qin
(Department of Mathematics,Chuzhou College,Chuzhou 239000,China)

M athematical analysis teaching often results in poor teaching effect and less learning enthusiasm because of teaching by simp ly making theoretical analysis,w here learning can be very boring,and the effect of the w rong idea"No use fo r math"on the learning.Such unsatisfacto ry teaching effect can be changed greatly by introducing some historicalmaterials of mathematics in the course of teaching.

history of mathematics;mathematical analysis teaching;osmosis

book=1994,ebook=49

O13

A

1673-1794(2010)02-0100-02

茆芹(1977-),女,滁州学院数学系讲师。

滁州学院校级教研项目(2008jy044)

2009-12-11