群的几种等价定义

贾正华

（巢湖学院数学系，安徽巢湖23800）

群的几种等价定义

贾正华

（巢湖学院数学系，安徽巢湖23800）

本文给出了群的几种定义的等价性.

群；单位元；左单位元；右单位元；逆元；左逆元；右逆元；消去律

1 群是数学中重要的概念，关于群的定义有以下几种

定义1设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足：

（1）乘法封闭。即∀a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法满足结合律。即∀a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c.

（3）∀a，b∈G方程：ax=b与ya=b在G中有解。

则称G关于所给乘法构成一个群。

定义2设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足：

（1）乘法封闭。即∀a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法满足结合律。即∀a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）G中存在左单位元.即存在e∈G使得∀a∈G都有ea=a.

（4）G中每一个元都存在左逆元。即∀a∈G都有a/∈G使得a/a=e.

则称G关于所给乘法构成一个群.

定义3设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合，且满足：

（1）乘法封闭。即∀a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法满足结合律。即∀a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）G中存在右单位元。即存在e∈G使得∀a∈G都有ae=a.

（4）G中每一个元都存在右逆元。即∀a∈G都有a/G使得aa/=e..

则称G关于所给乘法构成一个群。

定义4设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:

（1）乘法封闭。即∀a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法满足结合律。即∀a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）G中存在单位元。即存在e∈G使得∀a∈G都有ea=ae=a

（4）G中每一个元都存在逆元。即∀a∈G都有a/∈G使得aa/=a/a=e.

则称G关于所给乘法构成一个群。

定义5设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空有限集合，且满足:

（1）乘法封闭.即∀a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法满足结合律。即∀a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）乘法满足消去律。即若ax=ay就有x=y；若xa=ya就有x=y.

则称G关于所给乘法构成一个群.

2 下面来证明几种定义的等价性

（a）先证定义1与定义4等价。

证:由定义1⇒定义4。

由定义4知定义1中（1），（2）成立。下面来证定义1中（3）也成立。

事定上，∀a，b，∈G由定义4中（4）知存在a/∈G使得aa/=a/a=e.取x=a/b

由定义4中（1）x∈G且ax=a（a/b）=（aa/）b=eb=b.ax=b在G中有解x=a/b

同理可证ya=b在G中有解y=ba/.

故由定义推出定义1。

下面再证定义1推出定义4.

由定义1知定义4中（1），（2）成立.下面来证定义4中的（3），（4）两条成立.

事实上，设b∈G由定义1中（3）知方程xb=b在G中有解，设其解为x=e，即eb=b.

下证e为G的单位元，即证∀a∈G都有ea=ae=a.

因由定义1中（3）方程bx=a在G中有解，设其解为c，即bc=a.所以ea=e（bc）=（eb）c=bc=a.

又由定义1中（3）知方程yb=b在G中有解，设其解为e/，即be/=b.由前面同理可证得∀a∈G都有ae/=a，由a的任意性知ee/=e/且有ee/=e.故e=e/.

即得∀a∈G都有ea=ae=a.

故G中存在单位元。（易知G中单位元是唯一的）

由定义1中（3）知方程ax=e与ya=e在G中有解，设其解为x=a/，y=a//即aa/=e，a//a=e，下证a/=a//

事实上：a/=ea/=（a//a）a/=a//（aa/）=a//e=a//.所以aa/=a/a=e.即定义4中（4）也成立。（易知a在G中逆元是唯一的）

所以由定义1推出定义4.

总上所述得定义1与定义4等价。

（b）证明定义2与定义1等价。

证：由定义4显然推出定义2。由定义2显然推出定义1.即定义2⇒定义1，又由定义1⇒定义4，知定义4定义⇒2定义1⇒定义4

故定义1与定义4等价。

同理可证定义3与定义1等价。

（c）最后来证有限群的定义5

证：先证由定义4推出定义5。

由定义4的（1），（2）知定义5中的（1），（2）成立。

由定义4知∀a，b∈G都有a/，b/使得aa/=a/a=e，bb/=b/b=e

由ax=ay，推出a/（ax）=a/（ay），推出（a/a）x=（a/a）y，得ex=ey，推出x=y.同理xa=ya推出x=y.即G中消去律成立。故由定义4推出定义5。

再证由定义5推出定义1

因G为有限集，设G={a1，a2…，an}下证∀a，b，∈G，ax=b在G中有解。

事实上，由定义5中（1）知aa1，aa2，…aan∈G，又若aai=aja，由定义5中（3）知ai=aj，故aa1，aa2…aan互不相同。所以{aa1，aa2…aan}为G的子集且其有n个元素，而G也有n个元素，所以G={aa1，aa2，…aan}，因b∈G，所以存在ak，使得aak=b.

所以方程ax=b在G中有解x=ak.同理可证方程ya=b在G中有解

所以由定义5推出定义1

所以定义1与定义4等价。故定义5可作为有限群的定义。

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京；高等教育出版社；1978.

[2]杨子胥.近世代数[M].北京；高等教育出版社；1998.

[3]冯克勤，李尚志.近世代数引论[M].合肥：中国科技大学出版社，1988.

责任编辑：陈凤

O187.2

A

1672－2868（2010）03－0123－03

2010－01－18

贾正华（1963－），男，安徽含山县人。巢湖学院教学系副教授，研究方向：代数学。