平面内两运动光滑曲线交点速度计算之“速度分解-合成法”的证明及应用举例

李卫平

(西华师范大学物理与电子信息学院,四川南充 637002)

在本刊2004年第9期上笔者曾发表了《平面上两平动光滑曲线交点速度的最简求法——“速度分解-合成法”》一文[1],在文中对计算同一平面内两平动光滑曲线交点速度的“速度分解-合成法”进行了证明.所作的证明仅限于在同一平面内两光滑曲线均做平动的情况.

近来通过进一步的思考,笔者认识到此“速度分解-合成法”并不仅仅适用于同一平面内两光滑曲线均做平动的情况,而是适用于在同一平面内两光滑曲线的任何运动.下面给出一个适合中学水平的该方法在同一平面内两光滑曲线做任意运动情况下的一般证明,并举例说明该方法在两曲线并非均做平动情况下的应用.

1 证明

如图 1所示,L1、L2为同一平面内两运动的光滑曲线.其交点P相对地面参照系(或其他惯性参照系)的速度为 vP.v1、v2分别为 L1、L2上的与交点P重合的点P1、P2(图1中未画出)的瞬时速度.

分别作 L1、L2的切线 l1、l2(如图1).取与 L1上的与P1点一起以速度v1运动的参照系,在此参照系中P点以速度v1′沿l1运动(如图 1).则

图1

取与L1上的与P1点一起以速度 v1运动的参照系,在此参照系中 P点以速度v2′沿l2运动(如图1).则

在地面参照系中沿 l1、l2方向分解 v1(如图1),有.

在地面参照系中沿 l1、l2方向分解 v2(如图1),有.

观察图1中的矢量关系,可知

这表明,在同一平面内两光滑曲线做任意运动形成交点的情况下,将某时刻形成交点的两曲线上的两点的速度分别沿交点处的两曲线的切线方向进行分解,则所得4个分速度中沿对方曲线切线方向上的两个分速度的矢量合即为该时刻交点的速度.

2 应用举例

图2

图3

解析:如图3所示,在 t=1 s时,两杆的交点为 M′.

对三角形 M′AB,由正弦定理有

于是得杆 BD上的与M′点重合的点M1(图3中未画出)的速度为

杆 AC上的与M′点重合的点M2(图 3中未画出)的速度为

如图3,沿两直线方向分解 v1和 v2,有 v1=v11+v12,v2=v21+v22,计算 v12和 v21.

由正弦定理得

M′点的速度vM′=v12+v21.由余弦定理便得

例2.活页构件由六根细杆 AB、AC、BF、CE、EG、FG 所构成的两个菱形组成,两个菱形均在竖直平面内,各交点 A、B、C、D 、E 、F 、G都由铰链连接.两菱形的边长之比为2:1,如图4所示.顶点 A固定不动,顶点 G以速度v沿水平方向移动,当构件所有的角都为直角时,细杆BF与另一竖直的固定细杆PQ的交点K恰好使得BK=KD.求此时交点K的速度大小.

图4

图5

解析:如图5,设杆 BF的BD部分的中点为N,AN′为AN的水平投影,N点的水平速度为vN‖,竖直速度为vN⊥.

因为杆BF上N、D两点的速度在杆长方向的分量相等,故有

将vN沿着杆PQ和杆BF方向分解(如图5),有

由正弦定理有

即

例3.如图6所示,竖直平面内的半径为 R圆环绕固定轴C以角速度ω顺时针匀速转动,在同一平面内一水平直线以速度 v竖直向下匀速平动.当圆环的圆心O转至最高点时,水平直线距离轴 C为1.5R.求此时圆环与直线的交点P的速度大小.

图6

图7

圆环上的与交点P重合的点P1(图7中未画出)的速度大小为

直线上的与交点P重合的点P2(图7中未画出)的速度大小为v.

如图7,沿过P点的圆的切线方向和水平直线方向分解v和u可得

计算 v2和 u1:

又由正弦定理可得

P点的速度vP=v2+u1.由余弦定理得

将已求得的 v2、u1代入,即得

例 4.如图 8所示,在同一竖直平面内的两半径同为 R的圆环以相同大小的角速度ω沿相反方向绕轴C旋转.当两环转至一环的圆周过另一环的圆心时,求两环的交点P的速度大小.

图8

图9

如图9,沿过P点的两圆环的切线方向分解有

v1=v11+v12.则

由对称性可知圆环O2上的与P点重合的点P1(图9中未画出)的速度v2的分量之一为

P点的速度vP=v12+v21.由几何关系显然有

1 齐德江,李卫平.平面上两平动光滑曲线交点速度的最简求法——“速度分解-合成法”.物理教师,2004(9):59～61