浅探“牵连运动”问题的处理方法— —运动的合成与分解

2010-07-24张恩许

物理教师 2010年5期

张恩许周勇

(江西省抚州市临川二中,江西抚州 344100)

在运动的合成与分解问题中,牵连运动是要求较高的一类问题.接触到的实际问题中,它的处理得当与否,常常成为解决这一类问题的关键.一个速度按矢量运算法则分解为两个分速度,数量关系也许无误,但若与实际情况不符,则所得分速度毫无意义.所以速度分解的一个基本原则就是按实际运动效果来进行分解.常用的思想方法有两种:(1)先确定物体的实际运动方向,即合运动的速度方向,然后分析由这个合速度产生的实际运动效果,以确定两个分速度的方向;(2)先虚拟合运动的位移,看看这个位移产生了什么效果,从中找到运动分解的方法.

1 “绳子”牵连运动问题

例1.如图1所示,小车用轻绳子跨过光滑的定滑轮(不计滑轮的质量)牵引小船靠岸,若小车向左以 v0匀速运动,则小船的运动情况如何?

图1

图2

解析:要判断小船的运动情况,只需求出小船运动的速度即可知小船的运动情况.

方法1:船向左运动的的方向就是合运动的速度方向,这个运动产生了两个运动效果,其一是使系小船的绳子缩短,即沿绳子使绳子收缩的方向.其二是使绳子绕定滑轮顺时针方向的摆动.所以小船向左的运动可以分解在沿绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向,如图2所示.令船的速度为v,船到达河岸之前绳子与水平方向的夹角为θ,由三角形知识(正交分解法)可知当小船向左运动时,夹角θ增大,cosθ减小,根据正余弦函数图像的性质可知,cosθ不是均匀减小,而小车向左做匀速直线运动,v0不变,所以小船向左做变加速直线运动.

方法2:虚拟小船在Δt时间内从A运动Δs到达C.如图3所示,这个运动可以设想两个运动的合成,先被绳拉过Δs1到达 B点,再随绳绕滑轮 O点做圆周运动到达C,位移为Δs2.因 OB=OC,故∠OCB=β=三角形的内角和为180°).

图3

若Δt很短,Δθ趋于 0°,则 β 趋于 90°(微元法),那么Δs1与Δs2垂直,此时有Δs1=Δscosθ.由速度的定义有即 v0=vcosθ.故之后的解法同方法1.

点评:分析有关运动分解问题时,要正确判断研究对象的实际运动(合运动),分析清楚分运动产生的实际意义及效果,这一点是解答问题的关键,也是重难点,若只满足矢量运算法则是不够的.有学生直接将v0分解,如图4所示.认为绳子的水平分速度 v就是船沿水平方向前进的速度,假设是这样,则船又有竖直分速度 v1,船将被绳子拉到岸上去,显然与事实相违背,其错误原因是合运动与分运动概念不清.

图4

巧解:应用能量转化及守恒定律(功能关系),如图 2所示,因小车向左做匀速运动,小车对绳子的拉力为恒力,而绳拉小船的力是变力(大小不变,方向改变),因绳子不可伸长,利用转换研究对象的方法,小车对绳子做的功等于绳子对小船做的功(等效法),作用时间相同,所以功率相等,故小车对绳子做功的功率为P1=Fv0;绳子对小船做功的功率为 P1=Fv0cosθ,因为 P1=P2,即 Fvcosθ=Fv0,所以 v=之后的分析同方法1.

点评:很显然这种方法计算简单,但要注意不能直接计算绳子对小船做的功,这个功是变力做的功,但小车拉绳子的力是恒力,从而将变力做功转化为恒力做功,可以用公式W=Fscosθ直接计算,根据运动的等时性,功率也相等.当然这种方法要在熟练掌握和理解功的概念的基础上才能正确求解.

变式训练:如图5所示,A、B两个物体系在跨过光滑的定滑轮的一根轻绳的两端.当物体 A以速度v向左运动时,求系 A、B的绳分别与水平方向成θ和β角时物体B的速度.

解析:根据题意可知,物体 A向左的运动和物体B向右的运动为物体的实际运动,由 A和B的运动效果可以利用正交分解法求解.

图5

方法1:根据 A、B两物体的运动情况,将此时两物体的速度 v和vB分解为两个分速度v1(沿绳方向的速度)和v2(垂直于绳方向的速度),以及 vB1(沿绳方向的速度)和vB2(垂直于绳方向的速度),如图6所示 .因绳不可伸长,故绳子上任意一点上的速度大小都相等,则 v1=vB1,即 vcosθ=vBcosβ,其 B 的速度大小为方向水平向右.

图6

图7

方法2:虚拟物体 A在Δt时间内从C运动Δs到达D,如图7所示,这个运动可以设想两个运动的合成,先被绳拉过Δs1到达D点,再随绳绕滑轮O点做圆周运动到达B,位移为Δs2.因OB=OC,故∠OBC=α,若Δt很短,Δθ趋于 0°,则 α趋于 90°.那么 Δs1与 Δs2垂直,此时有 Δs1=Δscosθ.由速度的定义有即 v1=vcosθ.

点评:关键在于虚拟合运动的位移,看看这个位移产生了什么效果,从中找到分解的方法,也要求掌握对微元法的简单应用.

2 “杆子”牵连运动问题

例2.一个半径为 R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,如图8所示.当杆与半圆柱体的接触点P与圆柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时,求竖直杆运动的速度.

图8

图9

解析.方法1:设竖直杆运动的速度为v1,方向竖直向上,速度v1的实际效果可以分解为沿OP方向的运动和垂直于OP方向的运动.半圆柱体沿水平方向向右以速度为v0匀速运动,可以分解为沿 OP方向的运动和垂直于OP方向的运动,如图9所示 .由于物体和杆是通过P点联结在一起的,所以两物体在沿 OP方向的分速度相同,即v1cosθ=v0sinθ,故 v1=v0tanθ.

方法2:虚拟联结点P在时间Δt内杆子在竖直方向产生位移Δs1,即实际位移,可看作是沿 OP方向上的位移Δs1cosθ和垂直于OP方向上的位移Δs1sinθ的合位移,如图10所示.半圆柱体在水平方向上的位移Δs0,即实际位移,可以看作沿 OP方向上的位移Δs0sinθ和垂直于OP方向上的位移Δs0cosθ的合位移,如图11所示.由联结点的关联性可知,沿 OP方向上产生的位移相等,即Δs1cosθ=Δs0sinθ,由速度的定义有即 v1cosθ=v0sinθ,故 v1=v0tanθ.

图10

图11

巧解:联结点P的运动是沿半圆柱体的切面竖直向上的运动(合运动),设杆在竖直方向上运动的速度为v1,这个运动产生了两个运动效果,一个是P点沿水平方向的运动v0(即半圆柱体沿水平方向的运动),另一个是P点沿半球面切线方向的运动v切,如图12所示.由合运动与分运动的关系及三角形知识可知tanθ=故v1=v0tanθ.

图12

点评:很难理解为什么可以这样分解,其实不难想到这是小船过河问题的分析方法的迁移与应用,v0相当于水流的速度,v切相当于小船垂直过河时,船头的方向,v1为小船运动的实际速度(即合速度).不论采用哪一种方法,联结点的选取至关重要,在进行运动(包括速度、加速度、位移)的分解时,都要分清合运动(物体的实际运动)与分运动,由物体的实际运动确定合运动由哪些分运动合成.

变式训练:一根长为 L的杆OA,O端用铰链固定,另一端固定着一个小球 A,靠在一个质量为 M,高为h的物块上,如图13所示,若物块与地面摩擦不计,试求当物块以速度 v向右运动时,小球 A的线速度vA(此时杆与水平方向夹角为θ).

解析:选取物与棒接触点B为联结点(不直接选A点,因为 A点与物块速度的v的关系不明显).因为B点在物块上,该点运动方向不变且与物块运动方向一致,故 B点的合速度(实际速度)也就是物块速度 v;B点又在棒上,参与沿棒向 A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此,将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解,由速度矢量分解如图14所示,得 v2=vsinθ.设此时OB长度为a,则.令棒绕O点转动角速度为ω,则 ω==故 A的线速度为vA=ω L=

图13

图14

点评:如不能恰当选取联结点 B来分析,则题目无法切入,无法判断B点参与的分运动方向,因此判断和选取联结点尤为重要.这类题目学生显得比较陌生,往往无从下手.如果选取合适的联结点(该点必须能明显地体现出参与了某个分运动),然后确定物体的实际运动(合运动)产生的效果,从而根据平行四边形定则或者三角形定则确定分速度方向来寻找速度关系,本题还可以使用拟合位移的方法求解,由于篇幅关系,这种方法留给读者完成.