具有连续变量的脉冲偏差分方程解的振动性

2010-07-17司文艺侯成敏

食品科学技术学报 2010年2期

关键词：实数常数平均值

司文艺,　侯成敏

(延边大学数学系，吉林延吉　133002)

1　问题的提出

定义R为所有实数的集合,N为所有整数的集合. 对任意a∈R，令N(a)={a,a+1,…,}. 对任意x,τ∈R,r∈R(1)，令N(x-rτ,x)={x-rτ,x-(r-1)τ,…，x}.

考虑具有连续变量的脉冲偏差分方程

(1)

Ω0={(x,y)|x≥x0-rτ,y≥y0-
(l+1)τ}{(x,y)|x≥x0,y≥y0}.

定义1. 对于给定的x0≥0,y0≥0和φ∈φ(x0,y0),如果实值函数A(x,y)定义在[x0-rτ,∞)×[y0-(l+1)τ,∞)上，并且满足方程(1)和初值条件

A(x,y)=φ(x,y),(x,y)∈Ω0,

(2)

则称A(x,y)是方程(1)的一个解.

对给定的x0≥0,y0≥0和φ∈φ(x0,y0)，通过递推方法可知，方程(1)的解存在且唯一.

定义2. 如果方程(1)的解既不是最终正解也不是最终负解，则称它是振动的；否则，称它是非振动的.

当{xk}=Ø，即{xk}是空集时，方程(1)可以化简为偏差分方程

A(x+τ,y)+A(x,y+τ)-A(x,y)+p(x,y)·
A(x-rτ,y-lτ)=0,x≥x0,y≥y0-τ.

(3)

具有连续变量的非脉冲偏差分方程的振动性已经被很多学者所研究，例如，参看文献[1-4]. 然而，目前，对具有连续变量的脉冲时滞差分方程的研究却很少. 如果存在正整数序列{mk}，使得当k→∞时，mk→∞，bmk≤-1，那么方程(1)的所有解都是振动的. 因此，我们总假设对任意k∈N(1)，有bk>-1.