一种实用的大电网低频振荡概率稳定性分析方法

杨慧敏 易海琼 文劲宇 程时杰

（华中科技大学电力安全与高效湖北省重点实验室 武汉 430074）

1 引言

随着大区联网，我国电力系统中低频振荡现象逐年增多，其严重性甚至超过了暂态稳定性，成为系统安全稳定运行的主要障碍[1]。低频振荡与系统的小干扰稳定性密切相关，目前的电网调度部门通常会针对电力系统的典型运行方式进行小干扰稳定分析校验，即根据设定的负荷大小和给定的开机方式，通过数字仿真的方法进行特征值分析和阻尼比等相关指标计算，只有具有一定稳定裕度的运行方式才可能被采用。这种方法属于确定性的分析方法，但是，由于负荷波动和开机调度等原因，系统的实际运行工况与规划的典型运行方式总存在差别，而且用于仿真分析的模型参数与系统的实际参数总存在误差。因此，电网在典型运行方式下，由于上述不确定性因素导致系统发生低频振荡的风险有多大，是一个关系到电网安全的重要问题。然而，如果将各种可能的不确定性因素都用确定性方法加以校验，其计算量将十分巨大，难以应用于实际电网。

概率稳定性分析弥补了确定性方法只能针对某些特定方式进行稳定分析的局限性，因而在电力系统规划与运行中有广泛的应用前景。现有的小干扰稳定概率稳定分析方法中，解析法通常假定特征根服从正态分布，并建立特征根与随机参数间复杂的非线性函数关系，为减少计算量，需要对所研究的问题进行不同程度的简化，可能出现较大偏差[2-3]。蒙特卡罗仿真法（Monte Carlo Simulation, MCS）能计及多种随机因素，简单方便，但需进行大量的抽样和重复运算[4-5]。研究表明[6]：两点估计法（Two Point Estimate, TPE）可以较好地解决概率稳定性分析中计算精度和计算量之间的矛盾，对四机两区系统的仿真结果显示，TPE法在保证与 MCS法具有相同计算精度的同时，能通过较少的运算得到系统的统计特征，从而避免了 MCS进行大量抽样、重复计算的缺陷。但要将该方法应用于实际电网的低频振荡风险评估分析，则还需要对风险指标和计算方法等进行更深入的研究。系统的风险评估模型可以表示为[7]

即风险由事故发生的概率 P ( I n stable| X0)及其后果E[ I( I n stable)]两部分组成。本文的研究工作集中在前者，即在预定的电网典型运行工况下，由于负荷波动、参数误差、开机变化等不确定性因素导致系统发生低频振荡的概率有多大，定义了概率稳定性指标，给出了基于TPE的稳定指标计算方法，并以湖北电网为例，验证了所提方法的有效性。

2 低频振荡的概率稳定性指标

常规的电网低频振荡稳定性分析过程是：对系统在设定运行点进行线性化并进行特征值分析，如果其中一个或多个特征根的实部位于复平面的右半平面，且该特征根对应的振荡模式属于低频振荡模式，则系统在该点可能发生低频振荡，电网不能在该点运行；如果所有特征根的实部都位于左半平面，则需要考查相应的阻尼比，只有当阻尼比大于某个值（我国电网目前一般设定为 3%）时，才能保证系统具有足够的低频振荡稳定性，而对于阻尼比小于 3%的振荡模式称为弱阻尼振荡模式，它们虽然属于稳定的振荡模式，但仍然存在发生低频振荡的风险。因此，系统特征根的实部符号及对应振荡模式的阻尼比大小是衡量电网低频振荡稳定性的两个重要指标。

一般情况下，负荷波动近似满足正态分布[8]：L～ N (µL, σL)，L为系统负荷，µL和σL分别为负荷的均值和标准差；系统运行参数一般近似满足多元正态分布[9]。当电网工作在设定的典型运行方式，而电网的不确定性因素按照上述特性变化时，特征根的统计特性可用相应的均值和标准差描述，并可由概率特征根计算确定[10]。

对特征根 λi=αi+ iβi，相应的阻尼比为ξi。当电网由于不确定性因素造成扰动而导致特征根发生变化时，由前述分析可知，为保证电网的稳定性，λi的实部αi必须始终处于左半复平面，即αi位于左半复平面的概率（记为Pα0）必须为1：

式中，f(αi)为αi的概率密度函数。相应地，电网在典型运行方式 X0下发生不稳定低频振荡的概率可以定义为

式（2）和式（3）只是给出了电网低频振荡概率稳定性的必要条件，为了更好地反映电网的稳定性，还应该给出稳定裕度的概率指标。

记λi的实部αi的均值和标准差分别为和σαi，根据正态分布的特性可知，αi位于区间[- 4σαi,+ 4σαi]内的概率为0.999 94，αi可近似认为完全位于该区间内[11]，为确保系统的稳定性，上述区间应完全位于复平面的左半平面内，即

同理，如果阻尼比ξi也满足正态分布，具有均值和标准差σξi，当式（2）成立时，必然有

式（2）和式（3）给出了电网低频振荡的概率稳定性必要条件，式（4）和式（5）及对应的和反映了概率稳定性裕度。如何根据不确定性因素的分布特性计算出这些指标值成为电网低频振荡风险评估的关键，本文采用了基于TPE的方法。

3 基于TPE的低频振荡概率稳定性分析方法

3.1 两点估计法TPE

不确定因素可由随机参数x表示，待求统计特性的变量（如特征根）可由随机变量z表示，理论上可由x的分布得到z的分布。但当二者间函数关系较为复杂时，z的分布计算将变得极为困难，需要借助于适当的数值计算办法求得。TPE法是一种有效的获取随机变量统计特征的方法，目前在电力系统中已被用于随机条件下的潮流分析[12-13]和可用传输容量的计算[14]等。

记z为N维随机矢量x的函数

Lk,1=0，Lk,2=1，Lk,3为 xk的斜度系数。将 h(x)在 x的均值附近进行泰勒展开，并忽略交叉项后可得

式中h(i)(·)表示h(·)的第i阶偏导数。对式（8）求 zj的均值，计算如下：

若对xk取两个值，记xk,m=+ ζk,mσk，记 pk,m为取xk,m的集中概率（ζk,m和pk,m为待定系数，m=1, 2，k=1,2,…,N）。分别将式（9）乘以 pk,m后累积有

设式（9）和式（10）展开后前 3阶相等，即使 xk达到三阶精度，于是

进一步设

则未知数和等式的个数均为4N，可解得

其中，Lk,3的定义见式（7）。

由式（15）可得，zj的均值和标准差σzj为

当h(x)是三阶及三阶以下多项式，且各个变量相互独立时，由式（16）可以精确地得到均值。可见，上述TPE法没有对参数x的分布类型进行限制，避免了需要事先建立zj与x之间的函数关系，且不需要求解式（8）中的高阶导数。可以看出，TPE法实质上类似于灰箱分析，能在已知随机参数三阶矩的条件下，通过较少的计算得到待求随机变量的均值、标准差等统计信息。对于具有n个随机参数的问题，两点法仅需要进行2n次计算即可。

3.2 基于TPE的TLPA法

已知以下随机量的统计特征：实际负荷、发电功率、节点电压、线路参数，记为 x =(PLQLXCPG… )，待求随机变量为 z = ( λi…)，其中省略号表示视需要选择。

则基于TPE法的低频振荡概率稳定性分析方法TLPA的步骤如下：

（1）选择合适的随机参数，由式（7）计算随机参数的斜度系数Lk,3。

（2）对每个随机参数 xk由式（14）计算出相应的待定常数ζk,m和pk,m，m=1,2。

（3）依次对每个随机参数xk,m=+ ζk,mσk，进行两次仿真，可分别得到式（15）所示的该随机参数对特征根第l阶矩的估计值的影响。

（4）全部参数循环完毕后，按式（16）和式（17）得到特征值的均值、标准差。

（5）计算稳定概率和稳定指标等。

参与因子、特征矢量和阻尼比等随机变量的统计特征根可在上述特征根的计算中一并完成。图 1给出了基于 TPE法的电力系统小扰动稳定分析法TLPA的流程图。

可以看出，TLPA法没有限制参数的分布类型，能通过较少的计算得到系统的稳定指标及稳定概率，能大幅减少计算量和所需的时间，且随机变量维数的增加并不会带来计算时间的显著差异。

4 TLPA的应用研究

4.1 IEEE-16节点系统

由于 MCS法计算精度高，常作为基准，用于与其他方法计算结果准确与否的对比。为了验证TLPA法的有效性，本节将TLPA法与2000次MCS法（记为MCS2000）所得结果进行了比较。算例采用 IEEE-16机系统，系统详细结构及参数见文献[15]，借助于Matlab环境下Power System Toolbox（PST）[15]的小扰动稳定仿真程序。

考虑节点41和52上负荷波动幅度为10%，即P41～N(10,1)和 P52～N(24.7,2.47)，分别由 TLPA 法和 MCS2000法计算得到系统的特征根，由于数目众多，不一一列出，仅给出特征根均值的相图，如图2所示，TLPA法求得的特征根均值相对于MCS 2000法的偏差如图3所示。

由图 2给出的特征根相图可以看出，TLPA法与 MCS2000法的计算结果几乎一致。由图 3给出的偏差图可以看出，由TLPA法得到的特征根均值实部相对于MCS2000法最大偏差不超过0.4%。而在计算量上，TLPA法仅需要 4次计算，远远小于MCS2000法，这在计算精度以及计算量上得到了很好的协调。

图1 TLPA法流程图Fig.1 Flow chart of TLPA method

图2 两种方法所得到的特征根均值Fig.2 Mean value of eigenvalue obtained by two methods

图3 TLPA法得到的特征根实部的偏差Fig.3 Deviation of mean value of α obtained by TLPA

4.2 华中－华北互联电网

图4 华中－华北互联电网结构示意图Fig.4 CC－NC interconnected bulk power grid structure

由于TLPA法的计算量较小，因此可以应用于实际系统的低频振荡风险评估的研究。本文选取华中－华北互联电网作为实际电力系统的算例，结构如图4所示。考虑互联电网中220kV及以上网络，根据华中电网“十一五”规划确定的2008年丰大、丰小、枯大、枯小等典型运行方式，重点研究湖北电网的低频振荡概率稳定性。在电力系统分析综合程序（PSASP）下建立了电网计算原始模型[16]，以丰大方式为例，此时系统共有8972条母线，978台发电机，发电机组考虑了励磁调节器和调速器。

本文同时考虑了以下两种不确定性因素对湖北电网低频振荡概率稳定性的影响：

（1）负荷波动。由于负荷预测结果与实际总存在一定的偏差，因此可将实际负荷视为一个满足正态分布的随机变量。其中，正态分布的均值即为负荷水平，而负荷预测的精度决定了正态分布标准差的大小。本文选取大负荷中心武汉地区（约占全省总负荷的32.6%）作为研究对象，设负荷水平服从均值为其预测值，标准差为5%，倾斜度为0.006的斜正态分布。

（2）重要联络线的线路参数变化。以安装了串联补偿装置的万县-龙泉500kV双回线为例，假定其补偿度服从XC= N( XC,20%)的正态分布。

应用TLPA法计算稳定概率时，首先根据负荷波动及线路参数变化的统计特性计算随机参数xk,m(m =1,2； k=1,2)，然后计算xk,m时系统的特征根，最后给出稳定概率。具体步骤如下：由式（7）计算每个不确定因素的斜度系数，再代入式（14）计算权重因子ζk,m和参数 pk,m，便可由xk,m=+ ζk,mσk得到 4个随机参数 xk,m。分别计算4个随机参数下系统特征根，最后由式（15）～式（17）得到综合考虑两种不确定因素下系统特征值的均值、标准差。并由式（2）～式（5）计算出相应的稳定概率和稳定指标，见下表。由于数目较多，只给出了与湖北机组强相关的弱阻尼（阻尼比小于3%）低频振荡模式。

由表中的结果可以看出，武汉地区整体负荷水平波动5%并且万龙线串补服从XC= N(,20%)的正态分布时，对系统稳定性的影响很小，各振荡模式的稳定概率均为1。以模式1为例，实部为-0.02，阻尼比仅为0.28%，但特征根指标以及阻尼比指标分别达到118.25和2772.11，这表明特征根实部α 和阻尼比ξ 的标准差很小。根据正态分布的函数的性质可知，特征根实部α 落在[- 4 σα,+4σα]内的概率为0.999 94，标准差越小，概率分布越集中在均值的附近。所以，虽然模式1为弱阻尼振荡模式，但是上述两个不确定因素对其影响非常小，特征根实部α 在左半平面的概率为 1，并且其概率分布较为集中，仍然是稳定的。对阻尼比指标进行分析可以得到同样的结论。

本文实际系统算例的状态矩阵已经达到了23 348阶，对这样大规模的系统进行1次特征值计算已属不易，若采用 MCS2000法对其低频振荡特性进行概率稳定性分析，则需进行2000次特征值计算，计算量过于庞大，难以完成。而考虑两个不确定因素，TLPA法只需进行 4次特征值计算，相比较 MCS2000法所需的计算量大为减少，可以完成大系统概率稳定性分析。并且，系统规模越大，TLPA法的优势越明显。

表 弱阻尼振荡模式的概率分析Tab. The probability analysis results of oscillation modes

5 结论

本文提出了基于TPE的电力系统低频振荡概率稳定性分析TLPA法，定义了概率稳定性指标，给出稳定指标的计算方法。该方法没有限制不确定参数的分布类型，能够计算多重不确定因素导致系统发生低频振荡的概率，而且在保证与 MCS法具有相等的计算精度的同时，具有计算量小、计算时间短的优势，已成功应用于实际电网低频振荡特性分析。

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