基于Zig-Zag模型夹层板振动与声传输特性数值模拟研究

洪 明，王 晴

（大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部船舶工程学院，辽宁 大连 116024）

基于Zig-Zag模型夹层板振动与声传输特性数值模拟研究

洪 明，王 晴

（大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部船舶工程学院，辽宁 大连 116024）

基于Zig-Zag变形假定和板Mindlin一阶剪切理论，建立了复合材料夹层板有限元动力单元模型，分别对上、下面板和芯体建立了三个独立坐标系，考虑各部分转角变量独立，为具有厚夹芯和软夹芯的复合材料夹层板的动力分析提供了一种更为准确的有限元模型。采用有限元/边界元方法，建立了嵌在无限大障板上夹层板声传输的计算模型。通过推导的模型编制计算机程序，针对典型结构研究分析了芯板材料参数和厚度的变化对结构的动力特性的影响，并研究分析了在平面声波入射和混响声场入射情况下夹层板芯层材料参数、芯层厚度的变化对传声损失的影响。数值计算结果揭示了夹层板的动力特性和传声特性，对改善夹层板的力学和声学特性提供依据，对夹层板的设计有一定的指导意义。

Zig-Zag模型；Mindlin理论；夹层板；有限元分析；振动特性；声传输特性；混响声场

1 引 言

现代舰船的设计中十分关注其隐蔽性、居住性和舒适性，这些性能与舰船的结构噪声和振动状况密切相关。夹层板由于质轻、刚度大和优良的能量吸收性能等被越来越多舰船采用，因此对夹层板的动力特性和声传输特性的研究也就非常有意义。

对于夹层板的结构分析研究，大多以40-50年代建立起来的Reissner、Hoff和∏pycakob理论为基础[1]，这三种理论对求解均匀材料面板的夹层结构比较有效，但对于求解复合材料面板的夹层结构问题则有较大的误差，其原因是仅考虑了面板的抗弯刚度而忽略了面板的剪切效应。Srinivas提出了Zig-Zag模型[2]，认为当板受到横力弯曲时，面板变形前的法线在变形后并不垂直于面板，而是有一个转角，更符合实际。

隔声问题的研究可归结为入射声场、复合板各层材料和透射声场势函数之间的关系。Chonan和Kygo应用声场与板表面之间质点速度和应力连续条件，形成以入射声压和透射声压幅值以及复合板各层横波和纵波势函数为未知数的矩阵方程，求出入射声场作用下透射声压与入射声压之间的定量关系。近年，陈端石和骆振黄根据无限大弹性体和粘弹性体的波传递理论，给出了适合于任意层弹性—粘弹性阻尼复合板传声损失计算的传递矩阵法。避免了Chonan和Kugo的理论，由三层推广到n层要涉及到复合板结构参数矩阵十分繁琐的元素排序，也避免了高阶复矩阵的求逆[3]。

用数值模拟方法研究结构的振动和声传输通常包括统计能量法和有限单元法。统计能量法是目前应用较为广泛的预报高频、高模态密度的复杂系统宽带振动噪声的工程方法，适用于解决高频区的系统动力学问题。对中低频区的振动声辐射问题，通常采用有限单元法[4]。

本文采用的是结构有限元/声场边界元的模拟方法，分析了芯板材料参数和厚度的变化对结构动力特性的影响，并研究分析了在平面声波入射和混响声场入射情况下夹层板芯层材料参数、芯层厚度的变化对传声损失的影响。

2 夹层板动力与声传输分析基本理论

2.1 夹层板结构及层合有限单元理论

2.1.1 Zig-Zag变形假定和Mindlin一阶剪切理论

Srinivas在Hoff理论基础上建立的“Zig－Zag”模型，即考虑面板和芯体横向剪切变形影响的有限元分析模型，可以计算板与板之间的剪切力以及各层板之间的相对位移量。夹层板的构造模型与相应的三个坐标定义如图1所示。

在考虑横向剪切变形的理论中，Mindlin理论是一种既简单又实用的理论。其基本假定为：应力应变服从虎克定律；变形前板中面的法线，在变形之后仍保持直线，但不一定与中面垂直；垂直于中面的变形相对板的厚度是较小的量，即εz=0；板的z方向的位移仅是x和y的函数，即w( x, y, z)=w( x, y )；板的z方向的应力，相对于其它方向为小量，即σz=0。

2.1.2夹层板有限单元列式推导

假设夹层板每个节点有9个自由度，芯板5个自由度分别为u0、v0、w0、θx和θy，上下面板各2个自由度分别是 ψx、ψy、φx和 φy（见图 2）。

芯板、上面板和下面板的位移场假设如下：

由位移插值函数和移轴定理可以得到芯板、上面板和下面板的应变—位移关系式；由材料本构关系可以得到芯板、上面板和下面板的应力—应变关系式。利用变分原理可以得到夹层板的刚度阵和质量阵[3]。

设结构上作用有激励 ｛f( t )｝，结构产生的响应为 ｛x( t )｝，由Hamilton原理，在动载荷作用下结构的振动方程可以表示为：

式中：[M]、[C]和[K]分别为结构的质量矩阵、比例阻尼矩阵和刚度矩阵。求解对应的齐次方程，可得到该结构相应的固有频率 ωj和振型 ｛φ ｝j。

2.2 声传输分析基本理论

嵌在无限大障板上的夹层板结构的传声损失计算模型如图3所示。

2.2.1 入射平面声波

以角度（θ，φ）入射的平面声波作用在夹层板上的压力场pix,y,( )t可以表示为[5]：

式中：ω为简谐声源的圆频率，Pi为入射平面声波的幅值，kx=ksin(θ) cos(φ)为入射平面声波在x方向的波数，ky=ksin(θ) sin(φ)为入射平面声波在y方向的波数，k为波数。

2.2.2 入射混响声场

许多声学研究者将混响声场定义为无关的声音从各个方向传播来的总和。混响声场的模型有很多种，一种比较理想的单频模型是在各个方向上声压的幅值和相位随机。这是一种理想化的状态，但是很接近真实的混响声场。另一种模型是限带宽混响场，如果一个单频混响室的声音频率有轻微的扰动，组成声场的相位和振幅是变化的，这就意味着干涉图样是发生变化的。本文旨在得到频域中的规律，因此选择第一种模型，具体表示为[6-7]：

2.2.3 辐射声场的Rayleigh积分形式描述

按照前面所述的质量阵和刚度阵，夹层板在简谐平面声波的激励下，在空气中振动的方程为[4]：

式中：[Z ]＝ (-ω2[M]+iω[C]+[K ])/iω 为结构的阻抗矩阵，｛v｝为结构速度列向量，[G]为转换矩阵，[A]为结构辐射表面边界单元面积矩阵，｛pi｝为结构表面节点入射声压的列向量。

通过上式可得到结构表面法向速度。结构向非入射面的辐射声功率Π可由结构表面辐射声压p(P)和表面法向速度vn(P)表示为：

2.2.4 传声损失

空气中板的长和宽分别为a和b，以角度（θ，φ）入射的平面声波的入射声功率Πi为[8-10]：

式中：ρ为辐射介质的密度，c为声音在介质中的传播速度。

夹层板的传声损失TL可以定义为：

3 夹层板动力与声传输特性的数值模拟

3.1 夹层板动力特性随芯层几何和物理参数变化

取一四边刚固夹层板，长为2m，宽为1.5m，上下表层为钢板，厚度均为1mm，E1=2.1×1011Pa，μ1=0.3，ρ1=7 800kg/m3。

基于上面的参数，芯层材料参数为 E2=8.96×108Pa，μ2=0.42，ρ2=999kg/m3。 厚度分别为 2mm、4mm、6mm、8mm和10mm。前五阶固有频率随厚度的变化见图4，随着芯层厚度的增加，夹层板各阶固有频率增加。

若上下表层为铝板，厚度均为3mm，E1=6.89×1010Pa，μ1=0.3，ρ1=2 700kg/m3。芯层材料参数为E2=2.1×107Pa，μ2=0.49，ρ2=9 900kg/m3，厚度分别为 2mm、4mm、6mm 和 8mm。 结构前五阶固有频率随厚度变化见图5，随着芯层厚度增加，夹层板各阶固有频率有降低趋势。

若芯层材料参数为 E2=8.96×107Pa、8.96×108Pa、8.96×109Pa 和 8.96×1010Pa，μ2=0.42，ρ2=999kg/m3，厚度为10mm。结构前十阶固有频率见图6，随芯层弹性模量的增加，各阶固有频率增加。

若芯层材料参数为 E2=8.96×1010Pa，μ2=0.42，ρ2=999、1 200、1 400、1 600、1 800 和 2 000kg/m3，厚度为10mm。结构前五阶固有频率见图7，随着芯层密度的增加，夹层板各阶固有频率降低。

3.2 夹层板传声损失特性随芯层几何和物理参数的变化

取结构几何参数与上文相同的板，平面声波入射角度为θ=60°，φ=45°，结构各阶模态阻尼取为0.005，参考声功率取为10-12W。混响声场取5×9列平面声波叠加，幅值和相位随机。

若芯层材料参数为 E2=8.96×1010Pa，μ2=0.42，ρ2=999kg/m3，厚度分别为 8mm、12mm 和 16mm。

传声损失曲线见图8，平面声波入射情况下传声损失在每阶固有频率处出现低谷，由于不同板厚的夹层板固有频率不同，故传声损失低谷位置不同。在混响声场入射情况下，传声损失在低频域内降到很低，甚至在前几阶模态对应的频率处出现负值，也就是出现声辐射功率大于声入射功率的情况，随着频率升高，传声损失增大。

若芯层材料参数为 E2=8.96×108Pa、8.96×109Pa 和 8.96×1010Pa，μ2=0.42，ρ2=999kg/m3，厚度为 12mm。

传声损失曲线见图9，平面声波或混响声场入射情况下传声损失在每阶固有频率处出现低谷，但由于不同弹性模量的夹层板固有频率不同，故传声损失低谷位置不同。不同芯层弹性模量的夹层板隔声趋势基本相同，也就是弹性模量不是主导传声损失大小的主要因素。

若芯层材料参数为 E2=8.96×1010Pa，μ2=0.42，ρ2=999kg/m3、1 600kg/m3和 2 000kg/m3，厚度为 12mm。

传声损失曲线见图10，传声损失在每阶固有频率处出现低谷，但由于不同芯层密度的夹层板固有频率不同，故传声损失低谷位置不同，密度越大传声损失越大。并且芯层密度越大，隔声量越大。

4 结 语

本文采用有限元法建立了夹层结构振动模型，采用有限元法和Rayleigh积分建立了空气中嵌在无限大刚性障板上的夹层板在中低频简谐平面声波斜入射情况下和混响声场入射情况下的声传输模型，并研究了在一些参数变化的情况下，夹层板固有频率的变化和传声损失的变化。

结果表明芯层的密度增加，夹层板的固有频率降低；芯层的弹性模量增加，固有频率增加；芯层的厚度增加，固有频率可能增加也可能降低，取决于刚度的增加和质量增加的相对关系。不论平面声波入射还是混响声场入射，夹层板的传声损失在每阶固有频率处出现低谷，并且芯层厚度、弹性模量和密度的变化对夹层板隔声量都会产生影响。对于同一个夹层板，当平面声波入射角度不同时，整体隔声水平基本趋势是相同的，只是在某些角度入射时某些固有频率处只会出现很小的隔声低谷。因此在计算时只选取了θ=60°和φ=45°的入射角。在混响声场入射状态下频率越高隔声量越大，甚至在前几阶模态对应的频率处出现辐射功率大于入射功率的情况，也就是没有起到隔声的作用。

[1]中国科学院北京力学研究所.夹层板壳的弯曲、稳定和振动[M].北京:科学出版社,1997.

[2]白瑞祥等.基于Zig-Zag变形假定的复合材料夹层板的自由振动[J].力学季刊,2004,25(4):528-534.

[3]辛锋先等.轻金属三明治板的隔声性能研究[J].声学学报,2008,33(4):340-343.

[4]黎 胜,赵德有.加筋板结构声传输研究[J].船舶力学,2001,5(4):61-66.

[5]杜功焕,朱哲民,龚秀芬.声学基础[M].南京:南京大学出版社,2001.

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[10]Wang Bor-Tsuen.Active control of noise transmission through rectangular plates using multiple piezoelectric or point force actuators[J].Acoustical Society of America,1991,90(5):2820-2830.

Numerical simulation of vibration and sound transmission character based on the Zig-Zag model of sandwich plate

HONG Ming,WANG Qing
(School of Naval Architecture Engineering,Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics,State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

The dynamic finite element model of composite sandwich plate was established based on Zig-Zag deformation assumptions and Mindlin first order shear plate theory,three independent coordinate systems were established for upper face,down face and core respectively,angular varieties are independent each other,a more accurate finite element model was provided for dynamic analysis of sandwich plate with thick and soft cores.The sound transmission calculation model of sandwich plate embedded in an infinite plate is established by using the coupled finite element/boundary element method.The dynamic character and the sound transmission losses through sandwich plate were calculated and discussed by the computer program of the proposed model in detail,the influence of material and thickness of the core on natural frequency was considered,the influence of material and thickness of the core on sound transmission losses excited by plane sound waves and in sound diffuse field was considered in the typical examples.The numerical results reveal the dynamic and sound transmission characteristics of sandwich plates,provide a basis to improve dynamic and acoustic characteristics and have a certain guiding significance for the acoustic design of sandwich plate.

Zig-Zag model;Mindlin method;sandwich plate;finite element analysis;vibration character;sound transmission character;diffuse sound field

TB532

A

1007-7294（2010）08-0938-07

2009-10-23

2010-03-25

洪明（1959-），男，大连理工大学教授，E-mail:mhong@dlut.edu.cn。