正交各向异性圆柱壳的轴对称和梁式振动分析

漆万鹏，侯 磊

（1海军驻武汉438厂军事代表室，武汉 430060；2海军驻武汉701所军事代表室，武汉 430064）

正交各向异性圆柱壳的轴对称和梁式振动分析

漆万鹏1，侯 磊2

（1海军驻武汉438厂军事代表室，武汉 430060；2海军驻武汉701所军事代表室，武汉 430064）

文章用Flügge经典壳体理论讨论了正交各向异性圆柱壳的轴对称和梁式振动，分析了壳体参数和材料参数对壳体频率和振型的影响，还讨论了这两种振动与杆的纵向振动、环的平面内振动以及轴对称轴向运动和轴对称径向运动的关系。

正交各向异性圆柱壳；轴对称振动；梁式振动

1 前 言

圆柱壳体在轴对称运动（n=0）和梁式运动（n=1）中的特性是壳体的固有特性，区别于其他一维结构（杆，梁）和二维结构（板）。对于诸如导弹和航空器等复杂动力载荷而言，可以使用近似的轴对称或者梁式运动分析。对圆柱壳的振动分析，大多集中在n＞2的非对称情况[1，6-9]，而讨论圆柱壳对称振动的文献很有限。Mirsky和Herrmann[2]使用计及剪切变形和旋转惯量的Timoshenko型壳体理论讨论了圆柱壳的轴对称和非轴对称振动。Forsberg[3]研究了各向同性圆柱壳的轴对称和梁式运动，并讨论了边界条件对振型、广义质量和模态力的影响。

本文用Flügge经典壳体理论讨论了正交各向异性圆柱壳的轴对称和梁式振动，分析了壳体参数和材料参数对壳体频率和振型的影响，还讨论了这两种振动与杆的纵向振动、环的平面内振动以及轴对称轴向运动和轴对称径向运动的关系。

2 理论分析

图1表示了本文研究的正交各向异性圆柱壳。圆柱壳半径R，长度L，厚度h，剪切弹性模量G。

设圆柱壳的材料主轴和坐标系主轴重合，则满足如下关系式：

应用Flügge经典壳体理论[5]，正交各向异性圆柱壳的振动方程为：

上式中 Dx，Dθ，Dxθ为拉伸刚度，Kx，Kθ，Kxθ为弯曲刚度：

对于简支边界条件，设位移函数为：

可以得到系统的自由振动方程：

2.1 轴对称振动分析

令n=0时，圆柱壳的方程变成两种独立的运动：（1）环向扭转振动；（2）轴向和径向耦合的运动。

（1）环向振扭转动：

扭转振动的频率

（2）径向和轴向耦合振动

（5）式可简化为：

这是一个关于 ω2的二次方程，可以得到两个根（假设＜），求出频率之后，再代入（7）式求出振型。

无因次频率定义为：

为了研究这种轴向和径向耦合运动，本文还考虑了这两个方向上解耦的运动，即

（a） 轴对称轴向运动（axisymmetric longitudinal motion）

此时，v=w=0。运动方程：

（b） 轴对称呼吸运动（axisymmetric breathing motion）

u=v=0，运动方程为：

2.2 梁式振动

在系统特征方程（5）式中令n＝1，即可以求出圆柱壳的梁式振动特性。为了讨论这种运动，引入简单梁理论的结果，即把圆柱壳看成是一个半径为R，壁厚为h的简支梁，它的频率是：

其中，惯性矩I和面积A由下式计算：

3 算例和讨论

表1 材料特性Tab.1 Material features

3.1 各向同性材料算例

Case2可以近似认为是各向同性材料的，此时Ex/G＝2.581 6，该值略大于2( 1+ vx)。 图 2－4 给出了轴对称振动（n＝0）时圆柱壳特性曲线。对于圆柱壳的某一振型（m,n）存在3个对应不同运动形式的频率。从图2中的频率以及图4中的振型曲线可以知道，对于特定长度的圆柱壳，在轴对称运动时，它的轴向振动频率总是最高的。对于比较短的壳体（图2中，L/mR＝2），径向振动频率是3个频率中最低的。一旦长度稍大，则环向的扭转振动频率却是最小的了。这种特性不同于n＞2时，扭转振动频率是最高的情况。

当L/R＜0.5时，壳体的径向频率则要高于圆环的频率。L/R＞1时，径向振动频率低于圆环频率和杆频率，轴向振动频率则高于这两个频率。轴对称情况下的径向振动频率曲线和轴向振动频率曲线实际上是以杆（bar）的纵向振动和环（ring）的平面内振动曲线为渐近线的。图3给出了L/mR=1～5时的详细变化情况。

本文研究的正交各向异性材料特性见表1[4]。

图2 轴对称振动时的三个频率曲线Fig.2 Frequencies for axisymmetric vibration

图3 频率关系曲线Fig.3 Frequency vs.L/mR

把壳体当成杆件考虑，其一阶频率为：

在（2）式中，令u＝0，则可以讨论圆环的振动。它的两个运动可以解耦。其中径向振动无因次频率为：

图4给出了振型随L/R的变化情况。当壳体较短（L/R＜3.15）时，轴向位移大于径向位移，壳体主要表现为轴向振动。过了这个临界点后，则主要表现为径向振动。从图3中可知，该临界点对应的L/R值，实际就是圆环频率和杆频率相等对应的值，定义该点为特征点（图中A点）。

这里讨论的轴对称振动，u，w位移是耦合的。这种振动和壳体单一自由度的轴对称轴向振动、轴对称“呼吸”振动是有区别的。后两种运动在图5中给出。注意到，“呼吸”振动的频率要高于环的频率。壳的轴对称轴向振动和杆的纵向振动更接近，频率比后者大约高2%（图中为清楚起见，杆的频率未表示出来）。

图4 轴对称振动时振型曲线Fig.4 Vibration shape for axisymmetric vibration

图5 轴对称轴向振动、轴对称“呼吸”振动频率Fig.5 Frequencies for axisymmetric vibration

图6，7给出了壳体梁式运动的频率和振型曲线。从图中看出，当L/R＞20以后，壳体的最低频率和用简单梁理论（不考虑剪切和旋转惯量作用）得到的频率非常接近。

图6 梁式振动频率曲线Fig.6 Frequency for beam type vibration

图7 梁式振动振型曲线Fig.7 Vibration shape for beam type vibration

3.2 各向异性材料算例

对于各向异性材料，它们的振动特性和各向同性材料有很多类似的特点。

图8给出了两种各向异性材料时的轴向振动频率和径向振动频率曲线。从图中可以看出，环向刚度增加（case 3）特征点A变化到B点，即对应的L/R值减小。

图9，10给出了这两种材质的梁式振动情况，环向刚度增加，梁式振动频率上升。图11，12给出了壳体厚度变化对这两种振动频率的影响。厚度增加对轴对称振动的轴向频率影响很小，对径向频率的影响也表现在壳体比较短的范围内。

4 结 论

本文用Flügge经典壳体理论讨论了正交各向异性圆柱壳的轴对称和梁式振动，分析了壳体参数和材料参数对壳体频率和振型的影响。

对于特定长度的圆柱壳，在轴对称运动时，它的轴向振动频率总是最高的。对于比较短的壳体径向振动频率是3个频率中最低的。一旦壳体长度稍大，则扭转振动频率却是最低频率，不同于n＞2的情况。

轴对称情况下的径向振动频率曲线和轴向振动频率曲线实际上是以杆的纵向振动和环的平面内振动曲线为渐近线的。当L/R＜0.5时，壳体的径向频率则要高于圆环的频率。L/R＞1时，径向振动频率低于圆环频率和杆频率，轴向振动频率则高于这两个频率。

环向刚度增加，梁式振动频率上升。厚度增加对轴对称振动的轴向频率影响很小，对径向频率的影响只表现在壳体比较短的范围内。

[1]Leissa A W.Vibration of shells[R].NASA SP 288,1973.

[2]Misky I,Herrmann G.Nonaxially symmetric motions of cylindrical shells[J].J Acoust.Soc.Am.,1957,29(10):1116-1123.

[3]Forsberg K.Axisymmetric and beam-type vibrations of thin cylindrical shells[J].AIAA J,1969,7(2):221-227.

[4]Dong S B,Tso F K W.On a laminated orthotropic shell theory including transverse shear deformation.[J].Trans.ASME,J Appl.Mech.,1972,39:1091-1097.

[5]Flügge W.Stresses in shells[M].Springer-Verlag,New York,1973.

[6]Li Xuebin.A new approach for free vibration analysis of thin circular cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,2006,296:91-98.

[7]Li Xuebin.Study on free vibration analysis of circular cylindrical shells using wave propagation[J].Journal of Sound and Vibration,2008,311:667-682.

[8]Pan Zhi,Li Xuebin,Ma Jianjun.A study on free vibration of a ring-stiffened thin circular cylindrical shell with arbitrary boundary conditions[J].Journal of Sound and Vibration,2008,314(1-2):330-342.

[9]Gan Lin,Li Xuebin,Zhang Zheng.Free vibration analysis of ring-stiffened cylindrical shells using wave propagation approach[J].Journal of Sound and Vibration,2009,326(3-5):633-646.

Axisymmetric and beamlike vibration of orthotropic circular cylindrical shell

QI Wan-peng1,HOU Lei2
(1 Navy Military Representative Department in No.438 Plant,Wuhan 430060,China;2 Navy Military Representative Department in No.701 Institute,Wuhan 430064,China)

An analysis is presented for axisymmetric and beam-like vibration of an orthotropic cylindrical shell using Flügge classical shell theory.The effects of shell and material parameters on vibration frequencies and mode shapes are discussed in this paper.Some comparisons with axisymmetric longitudinal motion,axisymmetric breathing motion,ring motion,etc are obtained.

orthotropic circular cylindrical shell;axisymmetric vibration;beam-like vibration

TB532 TU33+3

A

1007-7294（2010）08-0908-07

2010-03-12

漆万鹏（1975-），男，工程师； 侯 磊（1972-），男，工程师。