光滑接触的双层复合圆筒中的周向导波

张慧玲 ， 尹晓春

（1南京工业大学力学部，南京 210009；2南京理工大学力学与工程科学系，南京 210094）

光滑接触的双层复合圆筒中的周向导波

张慧玲1，2， 尹晓春2

（1南京工业大学力学部，南京 210009；2南京理工大学力学与工程科学系，南京 210094）

研究层间光滑接触条件下，双层复合圆筒中周向导波的传播。通过对双层复合圆筒周向导波的频散现象的研究，以及与同种材料的双层、单层圆筒周向导波特性的比较，发现周向导波在双层复合圆筒中传播时，会发生明显的频散现象和模态干涉现象，降低了材料的无量纲频率，并且其第一阶模态，在高频时接近于无频散Rayleigh面波。在其高阶模态上，层间效应被弱化，因此，应将层间界面裂纹无损检测的频率激发范围，集中于低阶模态频率上。研究发现，第二阶模态具有在层间界面上集中能量的特点，因此，可用于层间界面裂纹的周向导波无损检测技术中。

双层复合圆筒；光滑接触；周向导波；频散方程

1 引 言

根据使用环境和功能需求的不同，双层复合圆筒可以灵活地选择某一层结构的材料，以满足耐磨、耐高温、耐腐蚀等高性能要求，而另一层则可以选择较为普通的材料，以降低结构成本。因此，双层复合圆筒是一类常用的工程结构件，也常应用于水下设备[1-2]。近年来，它还被应用于智能结构[3-4]，薄涂层结构[5]，生物结构模拟研究[6]等新的领域。在使用中，双层复合圆筒的疲劳裂纹往往萌生于层间界面。由于层间界面具有曲面边界形式，波的反射特性复杂，导致传统的超声—回响等裂纹和缺陷检测方法，不能有效地检测出其中的裂纹。因此，需要提出新的检测手段，做出有效的无损检测，以避免裂纹扩展造成严重的后果。

超声导波方法是一种有前景的裂纹检测方法。导波可沿层间界面的曲面方向传播，可在层厚方向形成驻波，具有较远距离、实时检测的优势。目前梁、板[7]、单层圆筒[8]、圆环[9]、轴筒结构[10]和双层碳纳米管[11]的超声导波无损检测方法已经得到了研究。然而，对双层复合圆筒中的周向导波的研究，目前还少见报导。双层复合圆筒结构的使用工况，造成裂纹在内壁和层间界面萌生径向裂纹的几率较大。从外层表面激发的非对称型的周向导波，可以使某些波模态在内壁和层间界面附近集中能量，能够给出清晰的波群（反映波的能量传播特征）检测信号。因此，有必要仔细研究双层复合圆筒的周向导波波场的力学和物理特性。本文对双层复合圆筒结构中周向导波的传播问题进行了研究，并对层间光滑接触连续性条件下的频散曲线，进行了分析和对比，为在双层复合圆筒结构中采用周向超声导波无损检测方法，提供了理论依据。

2 周向导波问题的求解

图1表示双层复合圆筒的横截面示意图，假定圆筒在轴向足够长，对于周向导波，适用于二维线弹性平面应变理论。采用极坐标系 r,(θ)，非零位移和应力分量用r和θ的函数表示。当体力被忽略时，位移波动方程[12]为

其中u是位移矢量，V表示双层复合圆筒占据的空间区域，CL和CT分别是纵波和剪切波速度，它们依赖于材料质量密度ρ和Lamé常数λ和μ。双层复合圆筒的内外表面均为自由边界

其中S是V的边界，n是边界面上的外法向单位矢量，▽u表示位移梯度，T表示转置。而λ和μ分别表示为

式中ν为材料的泊松比。

位移矢量场u分解为集散波标量势φ和等容波矢量势ψ的合成[12]，

其中φ和ψ分别满足如下波动方程：

对于平面运动[8]，φ和ψ可表述为：

其中f(r)和g(r)可以用n阶第一类和第二类Bessel函数Jn(x)和Yn(x)来表述：

上式中j=1和j=2分别表示内外层圆筒。

位移可由下式表示为

由线弹性材料Hooker定律，应力分量为：

双层复合圆筒内外表面为自由边界，其边界条件表示为

其中，1表示内层筒，2表示外层筒。考虑层间光滑接触条件，其界面连续性条件为：

方程（8）-（11）组成了一个特征值问题，其解给出了波数k( n= k b2)和频率ω（或相速度c=ω/k）之间的频率—波数关系。

其中，系数矩阵[dmn]为8×8阶，是无量纲波数、频率和位置参数的函数。为了得到非平凡解，要求系数矩阵[dmn]为零，即

这就是层间光滑接触的双层复合圆筒周向导波的频率方程。

3 数值结果及讨论

以表1和表2中的双层复合金属圆筒为数值算例，研究周向导波在金属材质的双层复合圆筒中的一些传播特性。它的内外金属圆筒在层间光滑接触，内层材料为钢，外层材料为铝。

表1 材料参数Tab.1 Material data

表2 几何参数Tab.2 Geometry data

3.1 频散曲线

3.2 与单、双层钢筒频散曲线的比较

仔细研究无量纲化后的频率方程（13）可以发现，任何具有相同泊松比的单层金属圆筒的无量纲频散曲线具有一致性，对于同种材料的层间光滑接触的双层圆筒，无量纲化的频散曲线-也只与泊松比有关，数值计算结果也验证了这一结论。在我们的数值算例中，钢和铝选取了相同的泊松比，因此，层间光滑接触的双层钢筒和单层钢筒分别与层间光滑接触的双层铝筒和单层铝筒具有相同的无量纲频散曲线，所以，我们只以钢筒为例，对比层间光滑接触的双层复合圆筒的频散曲线。此部分，我们将双层复合圆筒DSTAL和双层钢筒 DST以及单层钢筒SSTT、SSTI和SSTO的最初四阶频散曲线做了比较。由于任何具有相同泊松比的金属筒频散曲线的一致性，可以看到同波数下双层复合圆筒的频率低于双层钢筒，即低于同种材质的双层筒。

图 3 （a）、（b）、（c）、（d）分别为第一、二、三、四阶模态比较（=ωb2/cT，=n）Fig.3 Comparison of the first four wave modes （=ωb2/cT，n）

此外，由Rayleigh波的波速公式

可知，Rayleigh波速只与材料的泊松比ν有关，所以对于表2的五个厚壁圆筒，其外表面的Rayleigh面波的波速是相同的。当频率趋于无穷，也就是说，圆筒半径趋于无穷时，其外表面可视为平面，第一阶模态的波因此变成了平面Rayleigh波，该特性与圆筒是单层或是多层无关。例如，在图3（a）中，在较高频率下，第一阶模态频散曲线均逼近于一条直线，即=0.922 8，这恰是平面Rayleigh波的无频散曲线。随着波数的增加，各模态频散曲线逼近平面Rayleigh波无频散曲线的程度越高，这可以从表3中所列的数据中直接看出。

表3 各模态频散曲线与Rayleigh波无频散曲线的相对偏差Tab.3 Relative deviations between each dispersion curve and the Rayleigh wave non-dispersion curve

从图3（a）中还可以看出，双层复合圆筒DSTAL的第一阶模态频散曲线与内层金属圆筒SSTI的比较接近，说明层间光滑接触时，对于第一阶模态的波传播，外层圆筒对频率的影响小。此时，用具有一阶模态的周向导波，根据频率的变化来检测内筒的裂纹可能有效，但检测外筒的界面裂纹可能不合适。图3（b）－（d）还显示，对于第三阶和第四阶模态，双层复合圆筒DSTAL的频率始终低于单层内筒和单层外筒的频率。尤其在更高一些的频率上，与具有相同内外径的单层金属圆筒SSTT的频率非常接近，说明层间界面效应开始弱化。在此情况下，周向导波用于检测层界裂纹的可能性变小。因此，我们可以得出一个重要结论，检测层间界面裂纹的周向导波的选择范围，可能应该集中于低阶模态上。

3.3 双层金属圆筒的位移分析

都做了正规化处理，即除以各自的最大值

图4（c）给出的计算结果表明，第二阶模态能量集中在层间界面附近，所以第二阶模态最具备检测界面裂纹的应用价值。因此，应该将变频器设置成优先激发具有第二模态频率的周向导波，以实现对界面裂纹的无损检测目的。

4 结 论

通过对层间光滑接触双层复合圆筒周向导波的研究，得出以下结论：

（1）周向导波在双层复合圆筒中传播时，会发生明显的频散现象和模态干涉现象；

（2）其第一阶模态，在高频时接近于无频散Rayleigh面波；

（3）在高阶模态上，层间界面效应被弱化，因此，应将层间界面裂纹无损检测的频率激发范围，集中于低阶模态频率上；

（4）研究发现，第二阶模态，具有在层间界面上集中能量的特点，可用于层间界面裂纹的周向导波无损检测技术中。

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Guided circumferential waves in a double-layered hollow composite cylinder with a free-sliding interface

ZHANG Hui-ling1,2,YIN Xiao-chun2
(1 Mechanics Department,Nanjing University of Technology,Nanjing 210009,China;
2 Department of Mechanics and Engineering Science,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

Guided circumferential wave propagation in a double-layered hollow composite cylinder with a free-sliding interface is investigated.By the study of the dispersion curves of the guided circumferential waves and the comparisons with those of double-layered and single-layered hollow cylinders,the phenomena of the frequency dispersion and mode interactions are found，and the dimensionless frequency become lower than the general double-layered cylinder.The guided circumferential wave of the first wave mode approaches to the Rayleigh wave as the frequency tends to infinity.At higher modes,the interfacial effect on wave modes is weakening.The range of excited frequency for the guided circumferential waves acting as non-destructive detection should be focused on lower wave modes.It is found that the second wave mode can have larger energy distribution near the interface.Hence,the guided circumferential waves of the second wave mode may be applicable to the non-destructive detection of cracks initiated from the interface.

double-layered hollow composite cylinder;free-sliding interface;guided circumferential waves;dispersion equation

TB303

A

1007-7294（2010）08-0930-08

2009-06-03

国家自然科学基金（10872095）

张慧玲（1978-），女，博士，讲师，E-mail：zhanghuilingxp@163.com；通讯作者：尹晓春（1963-），男，教授，博士生导师，E-mail：yinxiaochun2000@yahoo.com.cn。