基于可变模糊集的辩证法三大规律数学定理及其应用

2010-06-05陈守煜

大连理工大学学报 2010年5期

陈守煜

（大连理工大学建设工程学部，辽宁大连 116024）

0 引言

1965年札德（Zadeh）提出模糊集合概念[1]，是对康托（Cantor）集合论的重要突破.但模糊集合论是静态理论，难以描述模糊现象、事物、概念的动态可变性.用静态的模糊集理论去研究动态的模糊现象、事物与概念，存在着研究理论与研究对象之间相悖的矛盾，这是经典模糊集合论的一大理论缺陷.

20世纪90年代作者提出相对隶属函数动态概念[2～4]，并以此为基础创立工程模糊集理论[5、6]；21世纪伊始，在工程模糊集理论基础上创建的可变模糊集理论[7～15]，是对模糊集合论静态理论的重要突破.

马克思有句名言：“一种学科只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步.”作者依据可变模糊集理论，率先导出唯物辩证法哲学对立统一、质量互变与否定的否定规律[16]严密的数学定理——对立统一、质量互变与否定的否定定理，构建起数学与哲学两大学科之间联系的桥梁.

水文现象、事物、概念，如汛期、洪涝、干旱不仅具有模糊性，而且具有动态可变性[9]，多目标防洪调度优选决策就是可变模糊集理论、模型与方法的一个实际应用命题.经典水文水资源学不研究其模糊性与可变性，这些研究则由模糊水文水资源学来承担[17、18].

人类社会空前规模的生产、经济活动，严重影响着大气层结构变化等许多方面，出现了全球气候变暖、海冰融化加剧、土地沙化、沙尘暴等一系列生态环境恶化现象，并直接影响到水的大、小循环及循环的各个环节，兼有自然与社会双重属性的水资源系统，其可持续利用受到极大的威胁.研究水资源陆海空协同是水资源系统可持续利用的一个重要途径[19].水资源系统的可持续利用与不可持续利用是动态可变的模糊概念，因此模糊水文水资源学[17]需要有新的模糊不确定性数学理论、模型与方法作为基础，这个基础就是可变模糊集理论.文献[20]中气候变化条件下对水资源影响评价的可变模糊集途径，就是其中的又一个实际应用命题.

本文将对立统一、质量互变与否定的否定定理用于水资源系统（含陆海空协同系统）评价，提出水资源系统可变模糊集评价原理与模型.然后在文献[7、11]基础上应用对立统一与质量互变定理，从唯物辩证法哲学层面识别可拓学（物元分析）[21、22]的数学与逻辑错误.

1 基于可变模糊集的对立统一、质量互变与否定的否定定理

1.1 对立模糊集定义

设论域U中的任意元素u的对立模糊概念（事物、现象）或u对立的基本模糊属性，以与表示.在参考连续统[5]区间[1，0]（对）与[0，1]（对）的任一点上，对立模糊属性的相对隶属度分别为，且

称为u的对立模糊集.见图1.

图1 对立模糊集与对立统一定理示意图Fig.1 Sketch map of opposite fuzzy sets and theorem of unity of opposites

1.2 对立统一定理

在参考连续统区间[1，0]（对μA（u））、[0，1]～对的左、右端点pl与pr之间，必存在确定的中介点pm，该点的对立模糊概念或对立基本属性的相对隶属度相等，pm称为渐变式质变点，即

pl与pr称为突变式质变点，其中pl为爆发式突变点，pr为非爆发式突变点.

证明从pl点变化到pr点其间必经过的中介点pm.由于故pm点同时具有.在线段间在线段pmpr间则中介点必为渐变式质变点，即对立统一矛盾性质的转化点，如图1所示.

设

称为u对的相对差异函数.如图2所示.

图2 相对差异函数示意图Fig.2 Sketch map of relative difference function

1.3 质量互变定理

设D（u）为论域U中元素u对的相对差异函数，D（u）≠0，对u作变换C，变换后的相对隶属函数与相对差异函数为与

（1）如有不等式

则为渐变式质变.

（2）如有等式

则为突变式质变.

（3）如有等式

则变化至动态平衡点，或渐变式质变的临界点，系统处于动态平衡状态.

（4）如有不等式

则为量变（证明略）.

渐变式质变不等式（6）、突变式质变等式（7）与渐变式质变点等式（8）称为质变定理，量变不等式（9）称为量变定理，两者统称为质量互变定理.它以严密的数学定理表示了唯物辩证法中三大规律之一的质量互变规律.

1.4 否定的否定定理

由图2可见，D（u）从1变化到－1为一个周期，设有n个变化周期.

（1）设变化前初始状态在pl点，D（u）＝1

若变化为一个周期（n＝1），变化后终了状态在pr点（）即否定，有D（C（u））＝－1，则

若变化为两个周期（n＝2），变化后终了状态在pl点（）即否定的否定，有D（C（u））＝1，则

若变化为n个周期，变化后终了状态在pr或pl点，即n次否定有n个c）.则有

（2）设变化前初始状态在pr点（A～c），D（u）＝－1

类似地，当变化为n个周期，同样有等式（10）.

无论变化前的初始状态为D（u）＝1或－1，均有等式（10）.当n＝2时，对应于唯物辩证法哲学中否定的否定规律.故否定的否定定理可表示为

2 水资源系统可变模糊集评价原理与模型

2.1 基本原理

（1）设水资源系统待评对象u，根据已知的多个级别h（h＝1，2，…，c；c为级别总数，对应于式（10）中n＝c）多个指标（影响因素）i（i＝1，2，…，m；m为评价指标总数，相当于m对矛盾）的指标标准值矩阵

进行评价.

根据可变模糊集的对立统一定理，水资源系统可变模糊评价基本原理是：在已知级别h指标i相对隶属度等于1的指标标准值矩阵Y的情况下，级别h与（h＋1）的物理概念，构成对立模糊概念或对立的基本模糊属性，有

式中μih（u）、μi（h＋1）（u）分别表示待评对象u指标i对级别h与（h＋1）的相对隶属度.

设待评对象u指标i的特征值xi落入h与（h＋1）级相对隶属度为1的矩阵的标准值区间[yih，yi（h＋1）]内，则xi对h级的相对隶属度为

满足

① 当xi＝yih时，μih（u）＝1，由式（13）得μi（h＋1）（u）＝0

② 当xi＝yi（h＋1）时，μih（u）＝0，由式（13）得μi（h＋1）（u）＝1

可见式（14）满足可变模糊集的对立统一定理.

应用式（14）可以计算待评对象u指标i的特征值xi对级别h的相对隶属度.

（2）设水资源系统待评对象u，根据已知的多个级别h、多个指标i的指标标准区间矩阵进行评价.式中aih、bih分别为级别h指标i标准值区间的上、下限值.式（15）相当于越小越优型指标，aih＜bih，h＝2，3，…，c－1；式（16）相当于越大越优型指标，aih＞bih，h＝2，3，…，c－1.此时可以将式（15）、（16）转化为指标标准值向量式（12），即令

对越小越优型指标i，当xi＜ai2时，μi1（u）＝1；当xi＞bi（c－1）时，μic（u）＝1.

对越大越优型指标i，当xi＞ai2时，μi1（u）＝1；当xi＜bi（c－1）时，μic（u）＝1.

然后再应用式（14）计算xi对级别h的相对隶属度.

（3）设水资源系统待评对象u，根据已知的多个级别h、多个指标i的指标标准区间矩阵

进行评价.此时同样可将式（18）转化为指标标准值向量式（12），即令

应用式（14）计算xi对级别h的相对隶属度.

2.2 待评对象u对级别h的综合相对隶属度模型

根据式（14）计算得到的指标i对级别h的相对隶属度μih（u）是单指标相对隶属度.水资源系统是多指标综合评价问题，设已知指标权重向量为

设pi点是指标i在对立统一定理所示的图1中所处的点位（见图3）.

图3 指标i在对立统一定理图示中的点位p iFig.3 The point position pi of the index i in the sketch map of theorem of unity of opposites

设对级别h点位pi与pl、pr两端的多指标广义权距离为

式中：p为距离参数，p＝1为海明距离，p＝2为欧氏距离.

若待评对象u对级别h的多指标综合相对隶属度以νh（u）表示，设

式中α为优化准则参数，α＝1相当于最小一乘方，α＝2相当于最小二乘方.

满足

（1）当pi与pl重合时，μih（u）＝1，dh（pl，pi）＝0，νh（u）＝1.

（2）当pi与pr重合时，μi（h＋1）（u）＝1，dh（pi，pr）＝0，νh（u）＝0.

（3）当pi与pm重合时，μih（u）＝μi（h＋1）（u）＝0.5，dh（pl，pi）＝dh（pi，pr），νh（u）＝0.5.

（4）当pi位于区段plpm，有dh（pl，pi）＜dh（pi，pr），按式（23）有νh（u）＞0.5或νh（u）＞ν（h＋1）（u）.

（5）当pi位于区段pmpr，有dh（pl，pi）＞dh（pi，pr），按式（23）有νh（u）＜0.5或νh（u）＜ν（h＋1）（u）.

由此可见，式（23）满足对立统一定理，用于计算确定待评对象u对级别h的综合相对隶属度.

若采用优化准则参数α＝1，距离参数p＝1（即海明距离），式（23）变为

式（24）是一个线性公式.如果考虑水资源系统综合评价为非线性系统，可采用α＝1，p＝2（即欧氏距离），式（23）变为

这是一个非线性公式.

3 水资源陆海空协同系统可持续利用可变模糊集评价方法

3.1 确定待评地区u对可持续利用指标i的相对隶属度

首先建立待评地区u关于的评价指标集，然后根据u对可持续利用指标特征值向量（x1x2…xm），应用第2章中相关的模型，确定指标xi对级别h的相对隶属度向量.

3.2 确定待评地区u对可持续利用的综合相对隶属度

若待评地区u对的多指标综合相对隶属度以νh（u）表示.在水资源陆海空协同系统可持续利用评价研究中，为了避免距离比值的缩放效应，宜取α＝1.如果水资源协同系统为线性系统可取距离参数p＝1，如为非线性系统，可取p＝2.

3.3 应用质量互变定理确定待评地区u对的综合相对差异度

当已确定待评地区u对的综合相对隶属度νh（u），则可求得u对的综合相对差异度

如待评地区u可开发利用海水资源，拟定可开发利用的海水淡化量（含海水直接利用量），可得到在水资源陆海协同系统条件下，u对的指标特征值向量（x1x2…xm…xm＋s），s为条件变化后或利用海水后新增指标特征值数，即陆地水资源与海水资源协同系统的指标总数，由原来的m增为m＋s.

如果待评地区u可开发利用云水资源，拟定可开发利用的空中云水资源可利用量.根据国内外进行的人工增雨作业多年试验统计分析资料，增雨量一般可达到年雨量的15%[23].据此修改水资源陆地或陆海协同系统可持续利用的有关年降水量的指标特征值.

根据条件变化后的水资源协同系统的指标特征值，求解在水资源陆海空（或陆海、或陆空）协同系统条件下，u对的综合相对隶属度νh（c（u））

与综合相对差异度D（c（u））：

应用质量互变定理对协同前、后水资源可持续利用状态作出分析.

如D（u）·D（c（u））＞0表明在水资源陆海空（或陆海、或陆空）协同系统条件下，u关于属于量变.如D（u）·D（c（u））＜0，则为质变.

根据对D（u）与D（c（u））数值大小分析对比，可以得到水资源陆海空协同系统对待评地区u水资源可持续利用程度的有利发展态势.

上述内容构成水资源陆海空系统在协同条件下或在变化条件下水资源可持续利用的可变模糊集评价方法.

进入21世纪我国社会经济进一步快速发展，水资源供需矛盾更加突出，开发利用海水资源与云水资源，来增加我国水资源可利用总量，将是水资源系统可持续发展的必由之路.在我国水资源整体优化配置决策中，不可忽视沿海地区，特别是沿海重要城市开发利用海水淡化（包括海水直接利用）资源，来置换其他地区尤其是内陆地区水资源的战略思路.否则，就全国而言，将在整体上失去水资源优化配置的合理性.

4 对立统一与质量互变定理识别可拓学（物元分析）的数学与逻辑错误

作者在文献[7、11]中指出：可拓学存在数学与逻辑错误.本文应用对立统一与质量互变定理从唯物辩证法哲学层面来进一步识别可拓学的数学与逻辑错误.

《可拓工程方法》关于可拓集合的定义表述为“可拓集合则用取自（－∞，∞）的实数来表示事物具有某种性质的程度，正数表示具有该性质的程度，负数表示不具有该性质的程度，零则表示既有该性质又不具有该性质，如一只脚在门内，一只脚在门外的人属于‘门内的人’的集合的程度为零”[21].

可拓学中根据关联函数K（u）＝0定义，得到“一只脚在门内，一只脚在门外的人属于‘门内的人’的集合的程度为零.”的结论，是可拓学数学与逻辑错误的典型.现论述如下：

设某人（u）以体质量w为特征量，u从“门内人”集合，即对门内人的隶属度μin（u）＝1、μout（u）＝0，或D（u）＝1，转化为“门外人”集合过程中，当u跨向门槛，w/2在门内，另w/2在门外（近似地认为，一只脚在门内，一只脚在门外），此时u具有门内人、门外人的隶属度各为（w/2）/w＝0.5，或μin（C（u））＝μout（C（u））＝0.5，即处于动态平衡状态.根据对立统一定理，有D（C（u））＝μin（C（u））－μout（C（u））＝0，显然此种状态不是可拓集合定义所谓的“属于‘门内的人’的集合的程度为零”，根据对立统一与质量互变定理式（8）应是D（u）·D（C（u））＝0.显见，可拓学的可拓集合关联函数等于0或K（u）＝0有误.“门内人”、“门外人”属于对称概念，可拓集合认为u属于“门内人”集合的程度为零，也就是认为u属于“门外人”集合的程度为零.因此，“一只脚在门内，一只脚在门外的人”在可拓集合关联函数K（u）＝0或可拓集合零界概念的定义下，出现了这个“客观存在”的人“消失”了的逻辑矛盾，违背了形式逻辑中的不矛盾律.

可拓集合主观上给定所谓的形式化模型：关联函数K（u）＞0、K（u）＝0、K（u）＜0作为事物具有性质P、既具有又不具有性质P、不具有性质P的判断准则，并由此给出可拓集合的数学定义，显然，可拓学不是从事物u变化的内因即内部矛盾（u）与（u）出发去研究矛盾的相互转化，割裂了事物矛盾运动变化过程中对立统一及其相互转化的内在联系，根据文中对立统一与质量互变定理，可见可拓学的数学基础可拓集合有违唯物辩证法对立统一与质量互变规律.从而出现了“一只脚在门内，一只脚在门外的人属于‘门内的人’的集合的程度为零”的常识性错误.作者在文献[7、11]中曾指出可拓学的另一类数学错误，即关联函数基本公式的错误，最近在文献[24]中又作了进一步证明，本文不再重述.

5 结语

在唯物辩证法哲学论著中对立统一、质量互变与否定的否定规律都是以文字语言的方式表达，本文在哲学规律数学化研究方面开始实现马克思所说的那句“名言”，给出三大规律的严密的数学定理.

数学作为一门研究物质世界数量关系与空间形式的学科，是自然科学、工程科学中众多学科的基础.但长期以形式逻辑为学科体系的支柱，对于社会科学、人文科学中涉及较多辩证逻辑思维的学科，传统数学却常常显得无能为力.因此数学思维辩证化研究显得尤为重要，本文给出的唯物辩证法三大基本规律的数学定理，将辩证逻辑思维直接引入数学研究领域，为进一步建立新的数学——可变集奠定基础.

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