一种轴系全息动平衡配重的多目标优化方法

张西宁 赵 明 温广瑞

西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室，西安，710049

0 引言

回转机械轴系不平衡会引起转子挠曲和内应力，加速轴承和轴封等零件的磨损，降低机器的工作效率，严重时会引起各种事故［1］。对于轴系失衡常采用影响系数法［2］、模态平衡法［3］、全息动平衡法［1］等方法进行现场校正。由于轴系动平衡本身与单个转子动平衡存在差异，同时平衡还受到测量面选择、轴系各支承状况等因素的影响，故直接求解的平衡配重往往不能保证达到最优。本文基于粒子群优化算法研究解决全息轴系现场动平衡的多目标优化问题。

1 全息轴系动平衡

为了消除传统动平衡方法由于各向支承刚度相等假设所带来的计算误差［4］，本文以全息轴系动平衡方法为基础展开平衡优化。全息轴系动平衡计算需要用到转频椭圆、全息初相点和迁移矩阵等概念。转频椭圆是转子各测量面上两个相互垂直振动信号一倍频分量合成的椭圆［5］。当转子上的键相槽对准键相传感器时转子中心在转频椭圆上的位置为全息初相点。转频椭圆中心到全息初相点的向量为全息初相矢。迁移矩阵是在某加重面上添加1000g∠0°试重在各个测量面上引起的振动响应矩阵。获得机组迁移矩阵后，通过调整各加重面上试重的大小和角度，可减小或消除机组各测量面上的原始振动。

设轴系具有M个平衡面、N个测振截面，平衡方案中只有一个平衡转速，那么我们期望寻找一组合适的配重向量（pij），使得配重后转子系统满足以下的振动方程：

式中，Ai0为i测振截面的原始振动；cij为迁移矩阵中j平衡面对i测振截面的影响系数；pj为在平衡面j上施加的配重。

传统的影响系数平衡法根据M与N的不同，通过求解方程得到配重的解，或按照Goodman提出的最小二乘方法［3］求解残余振动平方和最小意义下的配重解。全息轴系动平衡按照轴系失衡响应的对偶性原则来初步确定平衡配重。

一般平衡的加重面数M都小于测振截面数N，因此，现场平衡不可能将各测量面的振动都完全抵消。不同的加重方案会得到不同的残余振动，有必要对确定的平衡配重作进一步的优化。在初步确定的平衡配重的基础上进行优化，进而可得到最优平衡配重。

2 轴系平衡配重优化

2.1 平衡优化目标选择

以往动平衡以残余振动平方和最小来求解平衡配重。平衡结果虽然残余振动平方和最小，但并不能保证每个测点的残余振动都比较小，可能存在振动比较大的测点。为此我们选用最小化的残余振动平方和残余振动最大值minF2（X）＝min（maxxi）及各测点残余振动差异性minF3（X）＝min（maxxi－minxi）来衡量机组残余振动。这样最优配重方案的求解就成为一个多目标优化问题。

对于多目标规划问题可根据各个目标的重要程度设置不同的权重，通过线性加权求和法将多目标问题转化为单目标问题求解。然而由于各目标函数项大小及量纲的差异，故容易造成一些目标函数总是处于支配地位，而其他的目标函数得不到有效的优化［6］。为此，基于模糊数学原理建立了各目标函数的隶属函数。各目标函数的隶属函数构造为下降半梯形模糊分布函数：

其中，Mj为目标函数Fj（X）在可行域内的最大值；mj为可行域内的最小值。由式（1）可知：某个解越接近目标函数的最优解（最小值），其隶属度越高。

采用线性加权和法对各目标的隶属函数进行加权求和，得到总的平衡优化目标函数：

其中，λ1、λ2、λ3分别为各隶属度函数的权重系数，其取值取决于各目标函数的重要程度，在这里考虑到优化目标F1（X）的主导作用，将权重系数定为λ1＝0.7，λ2＝0.2，λ3＝0.1，这能使H（X）取得较大值的配重方案是较优的。

2.2 粒子群配重优化算法

粒子群优化算法［7-8］是基于对鸟群捕食行为模拟的演化算法。粒子群优化求解时，问题解对应于搜索空间中一只鸟的位置，称这些鸟为“粒子”。每个粒子都有自己的位置、速度和一个由被优化函数决定的适应值。各个粒子记忆、追随当前的最优粒子在解空间中搜索。每次迭代过程不是完全随机的，寻优中将会以当前找到的较好解为依据来寻找最优解。每次迭代中粒子按照公式，通过跟踪两个“极值”来更新自己的速度和位置：一个是粒子自身找到的最好解，叫做个体极值点；另一个是整个种群目前找到的最好解，称为全局极值点。跟踪公式如下：

其中，Xi＝ （xi1，xi2，…，xiD）和Vi＝ （vi1，vi2，…，viD）分别是粒子i的位置和速度是粒子i在第k次迭代中第d维的速度；c1、c2是加速系数，分别调节向全局最好粒子和个体最好粒子方向飞行的最大步长，若太小则粒子可能远离目标区域，若太大则会导致突然向目标区域飞去，或飞过目标区域［7］，本文参考相关文献取c1＝c2＝2.05；rand1、rand2是［0，1］之间的随机数是粒子i在第k次迭代中第d维的当前位置；pbestid是粒子i在第d维的个体极值点的位置；gbestd是整个群在第d维的全局极值点的位置。为防止粒子远离搜索空间，粒子的每一维速度vd都会被钳位在［－vdmax，vdmax］之间，vdmax太大，粒子将飞离最好解，太小将会陷入局部最优［7］，本文将vdmax设计为0.1xdmax。采用将惯性因子从1到0.2随迭代过程线性减小的方法，使其在前期具有较高的搜索能力以得到合适的种子，在后期具有较高的收敛能力以加快收敛速度。

当加重面数为K时，粒子群优化算法流程如下：

（2）根据迁移矩阵和原始振动计算配重。再根据计算配重和允许配重范围确定粒子搜索空间。

（3）对粒子群体进行初始化，并确定各个子目标函数的最大值Mj和最小值mj。

（4）由原始振动、迁移矩阵和各粒子所对应的配重计算出残余振动。

（5）根据适应度函数H（X）＝λ1μ（F1（X））＋λ2μ（F2（X））＋λ3μ（F3（X）），计算种群中各粒子的适应度。

（6）按照规则调整各粒子的位置和速度，产生新一代群体。

（7）返回第（4）步进行迭代，最终求出模糊最优解。

3 轴系动平衡粒子群优化方法的验证

2001年10 月某电厂2号汽轮发电机组振动实施动平衡，机组结构和传感器安装示意见图1。平衡目标是降低高中压转子的振动。使用的平衡面为1号轴承端面法兰、2号3号轴承和4号5号轴承间联轴器凸缘，依次记为A、B、C面。对机组进行人工现场动平衡，经过多次加重，使得高中压转子的振动明显减小，远离报警水平。

图1 300MW机组结构示意图

这里根据该机组当时动平衡过程中的加重数据和振动信号，计算出了机组各加重面的迁移矩阵，并采用粒子群方法进行平衡配重计算和优化，表1是经多目标优化得到的平衡配重方案。机组现场平衡前后的振动及经多目标优化后的振动如表2和图2所示。经多目标优化后机组的高中压缸的振动显著降低，同时各个轴瓦的振动也比较均匀一致，符合人们对平衡结果的期望。因此，使用多目标优化，可以得到平衡效果更好、更满足人们期望的配重方案。

表1 多目标优化后的平衡配重方案

表2 机组现场平衡前后及多目标优化后计算的振动

为了进一步验证粒子群优化方法的性能，这里又分别采用遗传算法和粒子群优化算法对该机组的平衡方案进行了优化。遗传算法优化时的杂交率、变异率根据文献［9］建议取为0.4和0.01。两种方法的种群规模均设定为150。为了消除随机性影响，结果是30次实验数据的平均值。图3是两种方法优化过程的收敛曲线。从图3中可以看出，在种群规模相同时粒子群优化算法的收敛速度明显高于遗传算法的收敛速度。

图2 平衡前后机组的振动三维全息谱

图3 粒子群优化算法与遗传算法的收敛过程比较

4 结论

（1）本文提出了评价轴系平衡效果的三个子目标：机组残余振动平方和、残余振动最大值、残余振动差异性，满足和符合现场机组平衡的实际要求。

（2）基于模糊数学方法构造的平衡优化总体目标可实现机组子目标间的优化协调。

（3）实际平衡优化案例验证结果表明本文研究的全息轴系动平衡粒子群优化方法可实现轴系动平衡多目标优化；与遗传算法比较，粒子群优化算法具有计算量小、收敛速度快的特点。

［1］ 吴松涛.大型机组现场动平衡原理与技术［D］.西安：西安交通大学，2003.

［2］ Grobel L P.Balancing Turbines－generator Rotors［J］.General Electric Review，1953，56（4）：22.

［3］ Goodman T P.A Least－squares Method for Computing Balance Corrections［J］.ASME Transactions，Journal of Engineering for Industry，1964，86（3）：273－279.

［4］ 屈梁生，邱海，徐光华.全息动平衡技术：原理与实践［J］.中国机械工程，1998，9（1）：60－63.

［5］ 屈梁生，王琇峰.全息动平衡原理［J］.陕西电力，2007（1）：1－5.

［6］ 贾兆红，陈华平，孙耀晖.多目标粒子群优化算法在柔性车间调度中的应用［J］.小型微型计算机系统，2008，29（5）：885－889.

［7］ Eberhart R C，Shi Y.Particle Swarm Optimization：Developments，Applications and Resources［C］／／Proceedings of the IEEE Congress on Evolutionary Computation.Piscataway，NJ，2001：81－86.

［8］ 杨维，李歧强.粒子群优化算法综述［J］.中国工程科学，2004，16（15）：87－94.

［9］ 黎钧琪，石国桢.遗传算法交叉率与变异率关系的研究［J］.武汉理工大学学报，2003，27（1）：97－99.