平面三自由度并联机构动力学优化设计

鲁开讲 师俊平 张锋涛

1.西安理工大学，西安，710048 2.宝鸡文理学院，宝鸡，721007

0 引言

最大限度地提高机构的运动速度，是机器人机构的发展趋势，机器人在最大加速或最高速度作业时，构件的惯性力、离心力和哥氏力也随之增大，成为阻碍机器人向高速发展的主要因素。为了评定机器人机构的动力学性能，众多学者［1－4］提出了多种动力学性能指标来量化机构的动力学品质。基于不同性能指标，实现了机构的运动学［5］和动力学［6－8］优化，改善了机构的动态品质。机器人的工作空间也是衡量机器人性能的重要指标，机构的动力学性能和工作空间往往是矛盾的，为了获得较好的动力性能，就须以牺牲工作空间为代价。优化设计是协调各种指标之间的矛盾并使它们达到均衡的可行方法。本文以机构在预定设计空间内全局动力学性能最优为目标，对机构的尺度参数进行了优化设计，兼顾了机构对工作空间和动力学性能两个方面的要求。

1 并联机构速度及加速度分析

平面三自由度并联机构的运动平台通过相同的3条支链与基座相连，每条支链包括1个连架杆、1个连杆和3个转动副，基座和动平台上的转动副中心分别位于两个等边三角形的顶点上，这两个三角形的边长分别为a和b，如图1所示。选取参考坐标系Oxy，原点位于三角形A1A2A3的中心，x轴平行于A1A2。取与动平台固连的坐标系Px′y′，坐标原点P位于三角形C1C2C3的中心，x′轴平行于C1C2。

图1 平面三自由度并联机构运动简图

当已知动平台的速度矢量，可求得该分支关节相对速度：

2 并联机构的凯恩方程

在给出动平台的运动后，所有关节的相对速度和加速度都可以由式（1）和式（2）求得，因此选取动平台的位姿为广义坐标。

2.1 构件广义主动力和广义惯性力计算

将构件的角速度及构件质心的速度用独立速度表示：

构件对各独立速度的广义主动力和广义惯性力为

其中，RG和MG分别为构件对质心简化的主矢和主矩；分别为构件对质心的惯性力和惯性力矩：

式中，m为构件的质量；aG为质心的加速度；r′为质量微元d m相对简化中心的矢径；a′为微元d m相对简化中心的加速度。

对于长度是L1，质量是m1的输入杆，设其上作用的驱动力矩为τr，则有

对于动平台，其质量是m，面积密度为q，其上作用的操作力偶和操作力为M、Fx、Fy，则有

式中，x′、y′为微元的局部坐标。

2.2 机构动力学方程

将所有构件上的广义主动力和广义惯性力分别求和，得到机构相对于各个独立速度的广义主动力和广义惯性力：

机构的动力学方程可以表示为

从中求得主动关节驱动力矩矢量：

式中，V（x）为操作空间的惯性矩阵，V（x）∈R3×3；B（x）为离心力、哥氏力对关节驱动力矩的影响，B（x）∈ R3×3×3；F（x）为克服外界负载和补偿重力的部分。

3 动力学性能优化

3.1 机构的工作空间与设计空间

动平台参考点可以到达的所有点的集合称为可达工作空间，灵活工作空间是参考点可以从任何方向到达的点的集合。如图2所示的平面3R机构，末端杆能从任何方向到达P点的条件是机构的结构尺寸满足曲柄存在的条件：L3＋L1≤L2＋L4，L3＋L2≤L1＋L4，L3＋L4≤L1＋L2且以最短杆L3为连架杆。机构的灵活空间是以A为中心环形区域：

图2 平面3R机构运动简图

平面三自由度并联机构的灵活空间即是3条支链（平面3R机构）灵活空间的交集，以其内切圆作为并联机构的设计空间，如图3所示，则机构的结构尺寸应满足的条件：

图3 机构的灵活工作空间与设计空间

给定机构的尺度后，设计空间的半径可以由式（4）确定。机构在制造或装配时，两转动副的中心距的限制条件为

3.2 机构动力学性能指标

机器人动力学的复杂性不仅在于结构的复杂性，也由于作业情况的多样性和影响因素的可变性，在进行轨迹规划或实际控制时，必须考虑在整个设计空间以及机构运行速度和加速度的范围内，关节驱动力矩的最大值，它反映了机器人在工作空间的总体性能，为此定义加速性能指标Ta、高速性能指标Ts和综合性能指标Tz3个全局性能指标：

3.3 机构动力学优化设计

与传统的串联机器人相比，并联机构最大的不足就是工作空间相对较小。另外在工作空间中心部位，动力学性能良好，由里向外，机构的动力特性变差［7，9］。对机构进行动力学优化设计，就是要兼顾设计空间与动力学性能这对矛盾的两方面，将动力学优化描述成：给定机构的设计空间，确定一组结构参数和动力学参数，在结构参数满足工作空间要求的几何约束条件下，使机构的某种全局性能指标在整个设计空间最优。有实用意义的优化模型有：

（1）对于仅在低速运行的机构，为了使机构结构最紧凑，占用的空间最小，应使其尺度参数的总和最小，即在满足设计空间的约束条件式（4）和式（5）下，使

（2）对于加减速频繁和高速运行的机构，使机构的某项动力性能最优化的设计，即在满足设计空间的约束条件式（4）和式（5）下，使

式（6）的性能指标的含义是：在给定的结构参数b下，使动平台在整个设计空间任意运动，对于设计空间的某一点，动平台以允许范围的任意速度和加速度，且能从任意方向到达该点，3个主动关节驱动力矩的最大值作为该点的驱动力矩τ，它在整个设计空间的最大值作为给定参数下的性能指标。动力学优化是以结构参数为设计变量，为了避免探索中的盲目性，采用了灵敏度分析。在迭代的每一轮，得到了一组结构参数b（k），并且知道机构在这组结构参数下，动平台位于设计空间的一点x（k）时，式（6）的关节驱动力矩最大。求优的目标就是改变结构参数b（k），使得关节驱动力矩τ（k）在整个设计空间下降，当然先得在该点下降，为此将关节驱动力矩看作结构参数的多元函数，计算关节驱动力矩对各结构参数的灵敏度：

它反映了由于结构参数bj的变化所引起τ（k）变化的方向和变化程度。从而得到影响关节驱动力矩最敏感的结构参数，同时由灵敏度的正负号知道，改变该参数将使关节驱动力矩变化的方向。优化的目标是希望τ的绝对值下降，因而可以按照下面的准则确定的变化方向：当的符号相反；当τ（k）＜的符号一致。

由于机构动力性能指标是结构参数极其复杂的函数，无法得到灵敏度的解析表达（超出了MATLAB符号运算能力），因而将其用差商表示：

在满足工作空间的几何约束的条件下，优先考虑修改灵敏度高的参数，并以满足约束的灵敏度构造探索方向，沿该方向必然使关节驱动力矩在x（k）处下降。探索步长可以用实验校正法确定，其准则是：步长保证结构参数修改后，机构在预定设计空间的x（k）处关节驱动力矩下降，而在x（k）以外的其他位置，关节驱动力矩小于τ（k）。

4 应用实例

根据要求，机构设计空间包含半径为0.5m的圆，且在该圆内任意一点，动平台可以从任何方向到达该点。动平台运行的最大速度和加速度分别为，且要求每个构件上的两转动副的中心距不小于120mm，即 min（a，b，L1，L2）≥0.12m。先确定满足设计空间的一组结构参数：L1＝0.79m，L2＝0.675m，a＝1.36m，b＝0.25m，动力学参数：杆AB和BC为均质杆，直径52mm，动平台为厚50mm的等边三角形均质板。

对于优化模型式（8），求解困难的原因是关节驱动力矩的表达式极其复杂，如果要考虑运行速度、加速度及设计空间的所有情形，则计算式（6）时间将十分冗长，在迭代求优过程中，需要将式（6）计算多次，这将使优化模型式（8）的求解无法实现。为了对问题进行简化，又不失求解的准确性，作如下分析。首先由式（3）可见，在给定结构参数前提下，关节驱动力矩τ取决于动平台的位姿及运行的速度和加速度，在机构的每个位姿上，动平台的速度和加速度与主动关节的速度和加速度之间保持式（1）和式（2）的传递关系，如果提高动平台的速度和加速度，就必须增加关节运动速度和加速度，式（3）中，由加速度和速度引起的关节驱动力矩也必然随之增大。因而将式（6）中限制运行速度和加速度的不等式按等式处理，所得的最优解与原问题等价。在所给的结构参数下，让动平台以最大速度和加速度沿着设计空间作不同半径的圆周运动时，在圆上的每一点处，使动平台从不同方向到达该点，计算每个方向上3个主动关节的驱动力矩，取其最大值，再从所有方向的最大值中取极大值，作为该点的驱动力矩。关节驱动力矩在设计空间的变化规律如图4所示，由图4可见，使动平台产生同样大小的速度和加速度，在设计空间内由里向外，关节驱动力矩递增。因而在计算性能指标Ta、Ts、Tz时，为了提高求解速度只需要考虑动平台以最大速度和加速度沿着设计空间的边界运行时的情形。

图4 关节驱动力矩在设计空间的变化规律

以机构尺度参数为设计变量，b＝ （L1，L2，a，b），求解优化模型式（7）和式（8），得到机构不同性能指标下的最优尺度参数，如表1所示。与初始方案相比，各项性能得到了较大幅度的改善。以综合性能的优化结果为例，优化后关节驱动力矩在设计空间的变化比优化前平缓，且最大值减小了56.55%，如图5所示。

图5 优化后关节驱动力矩在设计空间的变化曲线

L1（m）L2（m）a（m）b（m）T＊c（m）T＊a（N·m）T＊s（N·m）T＊z（N·m）初值 0.790 000 00 0.675 000 00 1.360 000 00 0.250 000 00 3.075 000 0 1393.990 60 2035.380 00 2070.998 90尺度最优 0.569 282 03 0.569 282 03 0.986 025 40 0.120 000 00 2.244 589 5 1.292 087 2×108 9.246 817 8×1010 9.259 738 7×1010加速性能 1.014 599 60 2.008 009 20 3.236 685 70 0.142 218 52 6.401 513 0 292.994 72 1012.508 70 1029.040 10高速性能 2.174 505 80 1.283 522 80 3.627 559 20 0.120 000 00 7.205 587 8 1597.050 90 451.406 60 1939.727 40综合性能 1.674 176 40 0.953 729 89 2.553 841 90 0.120 000 00 5.301 748 2 410.385 21 629.278 46 899.898 16

为了验证所得结果的正确性，分别赋予机构各种动力性能最优的尺度参数，使动平台以给定的最大加速度和最高速度经过预定设计空间的每一点，得到关节驱动力矩的绝对值在设计空间的分布，如图6～图8所示，结果显示，关节驱动力矩在整个设计空间没有十分巨大的数值，且变化平缓，变化范围小，这预示着，在优化所得的尺度参数下，机构在预定的设计空间始终具有较好的动力学性能。并且关节驱动力矩的最大值始终出现在设计空间的边界圆上，说明沿着设计空间的边界计算所得的性能指标Ta、Ts、Tz能够衡量机构在整个设计空间的性能。

图6 按加速性能优化后关节驱动力矩在设计空间的变化规律

为了量化结构参数变化引起的动力学性能的变化程度，仅以综合性能最优的结果为例，使各参数以b＊为中心，在一定范围内变化：

图7 按高速性能优化后关节驱动力矩在设计空间的变化规律

图8 按综合性能优化后关节驱动力矩在设计空间的变化规律

在满足工作空间约束条件下，依次改变其中的一个机构参数bj，而保持其他的参数不变，其相对变化量在满足设计空间约束的前提下，计算机构相应构型的关节驱动力矩，绘制关节驱动力矩随结构参数的变化曲线，如图9所示。由图9可见，在极值点附近，动力性能指标随结构参数的变化比较平缓，这意味着即使参数有扰动，关节驱动力矩也不会有太大的变化，机构的动力性能还能保持在接近最佳的状态。

图9 优化后关节驱动力矩随尺度参数的变化曲线

为了反映机构运动速度及加速度对动力学性能的影响，给定动平台的运动规律：

计算并绘制关节驱动力矩随机构运动的变化规律，如图10所示，随着动平台向着设计空间的边界运动及速度和加速的的增大，关节驱动力矩迅速增大。在给定运动条件下的关节驱动力矩比优化所得的极小值还要小得多，这是因为，优化设计是以运行速度和加速度及设计空间所有情形下的最坏情况为准则的，对于任意指定的运动，机构的动力学性能距离最坏情况还有较大的裕度。

图10 给定运动下关节驱动力矩的变化规律

在实际应用中，还存在一些需要引起注意的情况，以尺度最优的结果是满足设计空间要求的最紧凑的结构方案，但在设计空间中存在奇异位形。在按加速性能和高速性能设计的参数中，存在较长的杆件（长度超过2m），在应用中，要分析构件的弹性变形引起的振动和位姿误差。

5 结束语

基于凯恩方法，建立了平面三自由度并联机构的刚体动力学方程，提出了量化机构动力学性能的3种指标：加速性能、高速性能和综合性能指标。以这些全局性能指标为基础，实现了机构的动力学优化设计，得到了兼顾设计空间大小和动力学性能的最优尺度参数，对于优化后的机构，关节驱动力矩在预定设计空间的变化趋于平缓，且峰值大幅度减小。

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