利用差错资源 促进思维发展

在数学学习中，学生出现错误是必然的、普遍的。面对学生的错误，教师是害怕、藏着、捂着或轻描淡写一带而过；还是直面错误，认真分析产生错误的原因，辨别错误的价值，选择有价值的错误作为课程资源加以利用，帮助学生加深对数学知识的理解，最终不再犯类似的错误，消除数学学习中的隐患呢?假若教师能够善于发现差错背后隐含的教育价值，引领学生从差错中求知，在差错中探究，那么课堂将因错而精彩，学生也将因错而发展。

一、用好差错，激活思维

错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。学生在数学学习活动中难以理解、容易混淆的内容往往成为教学的难点和易混点，而错误正是学习难点、易混点的折射反映。对于学生在课堂上出现的错误，如果教师能用好错误资源，通过展示学生的错误，辩论错误观点，引导学生从不同角度去修正错误，让他们在辩论中，碰撞思维，交流观点，那么，学生会对这些难点内容、易混内容理解得更深刻，记忆得更牢固，并从中获得了质疑、反思与多向思维的学习素养。

例如，“学校小星星合唱团有48人，其中五年级学生占3/8，六年级学生占25％。合唱团中五、六年级学生各有多少人?”学生在解答这道题时，出现了两种不同的方案，我把两种方案都展示在黑板上。

方案一：48×3/8=18(人)；

48×25％=12(人)。

方案：48÷3/8=128(人)；

48÷25％=196(人)。

师：这两个方案你们同意哪个方案口福建省莆田市城厢区逸夫实验小学张珍玉呢?(大部分学生同意方案一，个别同意方案二。)

师：我也觉得方案二的解法有道理。

生：不对，不对。(同意方案一的学生群起反对。)

师：为什么方案二的解法是错误的，你们有什么充分的理由来说明吗?

小组讨论片刻后。

生1：根据题意，学校合唱团的总人数是48人，而按方案二算出的结果，无论是五年级还是六年级参加合唱团的人数都比全校合唱团的总人数多，这不合常理，因此，肯定是错误的。

生2：我再补充一点，按照方案二的解法，五、六年级参加合唱团的人数总和是324人，比全校合唱团的总人数多出276人，太离谱了。(全班學生大笑)

生3：我想说明为什么要用乘法算。因为全校合唱团共有48人，五年级参加的人数占全校合唱团人数的3/8，求五年级合唱团的人数，就是求48人的3/8是多少人，所以用乘法计算。同样的道理，求六年级的人数也是用乘法计算。(掌声响起)

生4：方案二的解法之所以错误，是因为他们把五年级的人数与六年级的人数分别看作单位“1”，而把48人看作3/8及25％对应的数量。

师：用方案二解答的同学对刚才几位同学的见解有意见吗?现在自己会纠错了吗?(几位错误的学生纷纷点头)刚才我们在讨论中，再次辨别了用分数乘除法解决问题的联系与区别，相信大家对分数乘除问题的理解会更加深刻。

不可否定，这道题大部分学生都能正确解答，教师完全可以采取正面引导的教学策略，对方案二的“差错”忽略不计。但是，建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面示范和反复练习得以纠正，必须经过一个自我否定的过程。所以，我在引导学生运用归谬法分析方案二的差错过程中，学生综合运用了估算、反证、联系生活实际等思想方法，在思维碰撞的过程中提升认识，促进了思维的发展；同时，由于教师起初“支持”差错，维护了出错学生的学习情感，他们在安全的心理环境中，更容易接纳他人观点，进行自我反省。

二、用活差错，创新思维

数学学习活动，本来就是一次不断观察、猜测、实验、尝试、探索的复杂过程，学生在经历这一数学活动过程时产生错误在所难免。错误表征着学生思想的航行，活动的展开。错误可能意味着学生一次观念的冒险、体验的丰富、超越的契机。例如，教学《比例尺》，在学生练习“一块长方形地，按1:200的比例尺画出平面图后，量得长是8厘米，宽是6厘米，求这块地的实际面积”时，我给出了下面两种答案：

(1)8÷-1/200=1600(厘米)=16米；

6÷-1/200=1200(厘米)=12米；

16×12=192(平方米)。

(2)6×8÷1/200=9600(平方厘米)

=96(平方分米)

面对两种不同的答案，我不仅组织学生集体查错、析错，还通过分析、综合、类比等思维活动，纠正错误。凭借多年的教学经验，我认识到算法二的错误是有代表性的、有价值的。于是，我引导学生深入地思考：图上面积和实际面积的比与比例尺有什么关系呢?学生经过认真思考、讨论、计算、推理，发现了“图上面积和实际面积的比是比例尺的平方”这一规律。从而受算法二的启发，获得了一种新的解决问题策略，即6×8÷1/40000。在这一过程中，教师用活差错，激励学生转换思路，利用错误中蕴含的创新火花点燃探究欲望，深化对知识的理解，从而使学生领会和掌握了内隐的数学规律及本质，磨炼了创新思维，体验了探索数学奥妙的乐趣。

三、活用差错，拓展思维

学习是在不断出错、纠错中进行的。错误并不可怕，怕的是失去面对错误的勇气，失去尝试、探索的信心。学生只有主动表达自己思考的航向，敢于在课堂上暴露自己的真实想法和思考，真正明白自己的问题，改正错误，才能把知识和能力内化，在解决错误中拓展思维。

例如，学生解答“某旅馆有24间双人间，46间三人间，这个旅馆一共可住多少人?”时，我在巡视中发现大多数学生很快列出了正确的算式：24×2+46×3，唯有张凡同学这样算：(24+46)×2×3。当时我不置可否，只是把这两个算式都写在黑板上，先请一位同学说说用24×2+46×3计算的理由，再请张凡同学讲讲他的思路。张凡说：“(24+46)×2是表示把所有的房间都看成是双人间，再乘3是……”他不好意思地用手抓了一下后脑勺，说不下去了。显然，他发现了自己的错误。我见状接着说：“张凡同学先把所有房间都看成双人间，用了假设法，很有创意，那应该怎么改算式才是正确的呢?”张凡自己紧接着说：“应该是(24+46)×2+46。”其他同学情不自禁地为他独特的解法鼓掌。一石激起千层浪，在张凡思路的启迪、刺激下，同学们的思维顿时活跃起来，大家争先恐后地发表自己的见解，很快地又找到了(24+46)×3-24等不同的解法。一种原本错误的解法，因为教师的活用，学生在对抗错误中，突破了常规思维，变错为宝，在创造性思维中真真切切地体会到了“做”数学的乐趣。

正确的有可能是一种模仿，错误却大凡是一种经历，是学生朴实思想、经验的真实暴露，从学生成长来说，学习中所犯的错误是他们生命成长中重要的财富。我们要允许学生犯错，包容、接纳学生的错误，更要从错误中获得新的启迪。对学生的错误，要正确地解读，要辩证、合理地利用，让学习差错给课堂带来涌动的生命力。

(责编林剑)