把握概念本质设计教学提问

桂 华

中位数与众数是统计与概率中新增的教学内容，在日常听课中发现许多教师往往把教学重点放在它们的定义和求法上，而对其在统计学上的意义和作用很少提及。因此，常常出现学生学习后会说什么是中位数与众数；会求中位数与众数，却不能很好根据生活实际选择和运用。在教学中如何把握住中位数与众数是一种反映一组数据集中趋势的统计量的本质进行教学?如何将算法的理解与统计学水平的理解整合起来?关键是要抓住这些概念作为统计量的本质含义设计教学和提问。现将“秀峰课堂”活动中对北师大版五年级下册的《中位数和众数》进行的前后两次教学实践片段进行比较与分析。我们会对这点可能有更为直观的认识。

片段一：为什么学习中位数与众数

[原教学]

小王看到一则招聘广告：

“大地超市工作人员月平均工资1000元，现招工作人员，有意者请面谈!”(见表1)

仔细观察表1，你发现了什么?

教师概括得出结论：因受两个极端数据的影响，平均数1000不能真实地反映超市工作人员的月工资水平。

[调整后的教学]

学校随机抽了五(1)和五(2)班各11名同学进行跳绳比赛。要知道哪一组的跳绳水平高，怎么办?

1.根据统计跳绳的个数，算出平均数(四舍五入)。

五(1)班平均数101个；五(2)班平均数100个。

结论：五(1)班水平高。

2.下面是两组的跳绳成绩情况(见表2、表3)：

你現在的想法还和刚才一样吗?为什么?

平均数表示的是什么水平?(平均水平)分别有多少个人达到了这个水平呢?为什么会这样呢?(引出中位数和众数。)

[思考]中位数和众数是在现实需要的基础上产生和学习的统计量。因此必须把中位数和众数放在有意义的现实情景中进行教学。教师设计的看广告找工作的问题情景。虽有其可取之处。但“平均数代表的是怎样的水平?”“应该寻找怎样的数据来代表这组数据水平呢?”其意义的“联结点”对学生而言是很难直接建立的。我们把备课的焦点落到平均数、中位数与众数是一种反映一组数据集中趋势的统计量的本质上。在调整后的教学设计中，让学生比较两组跳绳水平高低的情景，该设计不仅贴近学生的生活实际和认知水平，更为重要的是凸显了平均数作为统计量的意义。为学生理解中位数和众数也是一种统计量的学习埋下了伏笔。精心设计的两组跳绳数据让学生一眼便可以看出实际上是五(2)班的跳绳水平高，与原有认知产生了矛盾。教师并没有急于让学生去寻找用哪个数来表示他们的跳绳水平，而是设计了几个提问：平均数101或100表示的是什么水平?有多少个人达到了这个水平呢?为什么会这样呢?引发学生对平均数不能代表跳绳水平问题的深入思考，体验到平均数、中位数和众数概念的本质：它们都是用来表示一组数据的集中趋势，哪种特征数能代表这组数据的绝大多数。就选用它来说明、评价、分析实际问题。帮助学生建立起了寻找新的数据来代表这组数据水平的“联结点”，解决了教学的难点。

片段二：什么是中位数与众数

[原教学]

1.你想用哪个数来表示工作人员月工资水平呢?

(请大家观察这些数据的特点，小组讨论交流，说说你们的意见。)

2.讲解中位数和众数。

学生有多种方法，当学生汇报出取中间那个数650，老师马上给予肯定，并请同学们取一个名字叫中位数，解释将一组数据从小到大或从大到小排列。中间的数称为这组数据的中位数。众数教法同上。

这三个数都表示这组数据的特征。但是作为应聘者，你们应该关注哪个数据更合适呢?

3.引导学生在练习中发现问题，进一步探究中位数和众数。

[调整后的教学]

1.你想用哪个数来表示五(1)班同学的跳绳水平?你是怎样想的?

(学生说，教师记录学生的数据。)

除了平均数外，数学上还有两种统计量可以表示一组数据的特征，那就是中位数和众数。

2.初步认识中位数和众数。

①引导学生抓住“中位”和“众”字与刚才的情景相结合，让学生自己得出什么是中位数和众数。

②找出两个班跳绳成绩的中位数和众数。

3.思考：①这三个数都可以表示一组数据的特征，要比较这两组同学的跳绳水平，你会选用哪种数?

②如果要用平均数表示这两组数据特征，你会对这两组数据分别做怎样的改动?数据变动后，中位数和众数有什么变化吗?

4.质疑。大家初步了解了这两个数据，你对这两种数还有什么疑问吗?

和全班同学一起来研究解决：①遇到一组数据个数是偶数的数列怎么找中位数?②出现多个重复的数据而且重复次数一样的，怎么确定众数?

[思考]两次教学教师没有直接给出中位数和众数的概念，而是让学生在观察、分析、讨论的基础上逐步得出。但第一次教学教师关注的是引出中位数和众数，对学生提出的常用方式：例如去掉极端数求平均数的方法没有给予肯定，老师精心设计的几组数据，看似以学生为主体的教学设计，但犹如一道道陷阱牵制着学生的思维。调整后的教学，教师对学生提出想用哪个数来表示跳绳水平给予记录，并对好的方法及时肯定。接着用规范的语言告诉学生：数学上还有两种统计量可以表示一组数据的特征，那就是中位数和众数。明确点出了其统计学的意义。再让全班学生在具体情景中去寻找和理解。特别是其中的提问：“众数说明的是一种什么现象?中位数能反映什么情况?”引导学生从“数据的代表”本质意义上去理解中位数和众数。在进一步探索中位数和众数时仅用了一个简单的问题：你对这两种数还有什么疑问吗?激起了学生思维的涟漪。我们在设计中也有顾虑，学生能提出问题吗?然而在实际教学中，学生虽不会用规范的语言描述：“遇到一组数据个数是偶数的数列怎么找中位数?”但仍是那样的精彩。“万一是1、2、3、4、5、6、7、8怎么找中间哪个数呢?”……简单的提问给了学生更大的思维空间，促使学生自主地围绕“中位数和众数”的概念去思考。为了能让学生进一步体验平均数、中位数和众数各自的特点，我们还设计了让学生改变数据使平均数能很好地代表跳绳水平的教学环节，让学生体验到平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关。

从上述的教学片段比较分析中，我们可以看到调整后的教学始终从平均数、中位数和众数的概念本质进行教学的设计和提问，取得了很好的教学效果，绝大部分学生不仅能很好根据问题选择和运用平均数、中位数和众数，并能用自己的语言从统计量的意义来阐述理由。

(责编林剑)