红线宽度变化时缓和曲线边线展宽方法

田海勇，耿新田

(洛阳规划建筑设计有限公司，河南洛阳 471000)

红线宽度变化时缓和曲线边线展宽方法

田海勇∗，耿新田

(洛阳规划建筑设计有限公司，河南洛阳 471000)

两条不等宽的道路相对接时，如果中线是缓和曲线，特别是在内边线加宽的情况下，边线平滑连接涉及复杂的曲线解算。本文就此问题阐述解决的思路和方法。

缓和曲线；边线要素；变宽；边线对接

1 引 言

城市道路经常有不等宽的两条道路相对接的情况[1]，对于中线是直线、圆曲线的情况，其边线要素很容易计算，但对于中线是缓和曲线的两条不等宽道路的对接，特别是考虑到交通流量，有的内边线还要加宽，这对边线要素的正确解算提出了新的要求。通常情况下，为了简化计算，一般采用近似方法按圆曲线处理，由于不能保证相切关系，沿曲线转弯过程中会产生多处折点，道路宽度变化也不均匀。

为了保证相切关系，使边线连接处平滑过渡，体现道路设计的思路，严格控制各项要素指标，边线过渡段可采用缓和曲线进行连接。本文就这一方法进行详细论述。

2 数学模型

如图1所示，ZH处的半路宽为D1，HZ处的半路宽为D2，从ZH到HY、HZ到YH，内边线加宽值为△D，其内边线加宽终点分别是A和B，我们可以将AB曲线看作一条缓和曲线[2]，只要将其曲线要素计算出来，问题就解决了。

图1 不等宽道路相对接情况示意图

由文献[3]知缓和曲线加宽边线的微分方程为:

式中，β为切线角，且为缓和曲线总长，l为缓和曲线长，R为圆曲线半径，D为道路半宽，△D为边线加宽值(内边线△D为负值)。

xB、yB的一阶导数为:

取其二阶导数并整理得:

将式(2)、式(3)代入式(4)，经整理即得出求曲线在某点曲率的公式:

当l＝l0时，

曲线的斜率为:

将式(2)代入式(6)，即得:

当l＝l0时，

由公式(8)、(9)可分别计算出A、B两点的切线角β1、β2，根据城市坐标即可计算出过A点和B点的切线方位角αA、αB。

如图1所示，根据αB、αA可以求出曲线AB的转向角θ。

由文献[2]得曲线AB上任一点的切线角为:

式中，l0为曲线AB的弧长，KA为曲线起点的曲率，KB为曲线终点的曲率，l为曲线上任一点距A点的弧长，KAB＝KB－KA。由式(11)可得曲线上任一点在城市坐标系中的切线方位角α，计算公式为:

因为

将式(13)代入式(14)，积分即得曲线AB上任一点的城市坐标[5，6]:

式中xA、yA为曲线起点A在城市坐标系中的坐标。

3 解算曲线要素

由式(15)可以看出，xA、yA、αA为曲线起点的城市坐标和方位角，为已知数据，KA、KB、l0为未知数。

由图1可以看出，曲线AB的转向角θ即为曲线AB在B点的切线角βB。

由式(12)即得:

式中，θ为弧度。

KA、KB、l0的解算采用逐渐趋近的方法。第一步:首先用公式(5)、(6)解算出A点近似曲率K′A，再代入式(16)求得K′B，l0暂由 AB的直线长代替；代入式(15)求得B点的近似坐标(x′B，y′B)；用B点近似坐标(x′B，y′B)和A点坐标xA、yA计算边长与(xA，yA)、(xB，yB)计算的边长进行比较，修改l0值；将修正值再代入式(15)反复计算，直到两次计算的l0值满足精度要求为止。

第二步:计算B′点距离过B点平行于AJ直线的垂距，利用该垂距修正A点的曲率半径。我们可以将该垂距作为A点两次不同曲率半径计算B点y值的差值。下面推导曲率修改后的计算公式。

将A点作为坐标原点，A－DJ为x轴，则:

用级数将dy展开[4]

取其第一项，将式(18)代入式(20)，得

积分得

当KB曲率不变，△y引起KA曲率的变化量为

将y值的差数△y代入式(24)，即可求出KA的修正值。代入式(17)即得出新的K′B值，再进入第一步计算。

这样进行反复计算，直到A点坐标与B点坐标计算的边长与A点坐标与B′点坐标计算的边长差值，及B′点到AB直线的垂距同时达到精度要求，计算即结束。

4 计算实例

上面式(15)的积分计算利用有积分功能的计算器(如CASIOfx－4800、fx－5800等)很容易计算。

举例说明，道路JD1ZH边线宽65 m，JD5HZ边线宽40 m，中线为缓和曲线，曲线要素为:R＝250 m，LS1＝LS2＝110 m，内边线缓和段加宽值为0.8 m，αZH－JD4＝77°48′14″，αHZ－JD4＝192°54′54″，算得A、B、A′、B′4点的坐标分别为436.754，计算AB曲线、A′B′曲线的要素。

用式(8)计算各点斜率，用式(10)计算切线方位角:

用切线方位角算出转向角:

做好上述相关计算后，利用编制的计算程序即可算得:

[1]李嘉.公路设计百问[M].北京:人民交通出版社，2003，149～150

[2]工厂建设测量手册[M].北京:测绘出版社，1990，388～390

[3]耿新田，秦延波.缓和曲线加宽边线的解算[J].城市勘测，2008(1)

[4]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社，1993，180～217

[5]李全信.缓和曲线平行线的长度计算及坐标法测设[J].工程勘察，1996(3)

[6]李全信.线路中边桩坐标计算的通用Causs－Legendre公式[J].工程勘察，2002(3)

The Method of Transition Curve Stretching for Change Width

Tian HaiYong，Geng XinTian
(Luoyang Planning＆Architectural Design Co.，Ltd.Luoyang 471000，China)

The sideline of the city－road was complex at the cross of Transition Curve.The change of width involve a lot of design procedure.This texts would expound the means and resolvent.

City－road；Transition Curve；Sideline Essential；Change Width；connecting line

1672－8262(2010)04－123－03

P258

B

2009—09—30

田海勇(1966—)，男，高级工程师，主要从事城市测绘技术管理工作。