浅议经济研究中的数学方法

张宏建

越来越多的人认为，经济学作为一门学科，只有在能够成功地运用数学时，才能成为一门成熟的学科。经济学是研究社会资源配置及社会经济关系的一门科学，作为实际经济活动的理论概括和抽象的经济学，从开始形成到不断发展，始终没有离开过数学。

一、经济学研究越来越依赖于数学方法的应用

经济学从诞生开始，就不得不借助于数学工具进行计量和计算，随着人类经济活动形式日益复杂，社会资源配置的复杂性也日益增加，为了提高社会资源配置的效率，借助数学工具和数学方法，合理简化日益复杂的经济关系，变得越来越必要。因此，在当代经济研究中，数学方法和数学工具的应用也越来越普遍，甚至出现了经济研究数学化的趋势。

经济学对数学的应用范围伴随着数学的发展在不断扩大。在19世纪之前，经济学研究主要运用的是初等数学中的数字、图表和计算方法。从19世纪起，经济学的研究开始使用函数等工具。20世纪50年代之后，微积分、概率论、微分方程等高等数学方法以及博弈论、对策论等新兴数学分支开始广泛应用于经济研究，一大批运用数学方法研究经济问题的论著纷纷问世，如瓦尔拉的均衡交易理论、哈罗德的经济增长模型、丁伯根的大型经济增长模型、刘易斯的“二元经济”模型等。这些著作既使用了一般经济概念和传统经济方法，同时又使用了大量的数学方法。

从经济学研究方向的一个重要风向标——诺贝尔经济学奖来看，从1969年诺贝尔奖第一次设置颁发经济学奖到2000年，共32届46人获奖，其中有45人的研究成果中都使用了数学工具，，获奖者绝大多数都运用了高深的数学知识对其经济理论进行表述。甚至有多位获奖者并不是经济学家，而是知名数学家，只是因为他们的研究成果广泛应用于经济学研究而获得诺贝尔经济学奖，如1994年诺贝尔经济学奖获得者福布斯·纳什就称自己“不是一名经济学家，从未研究过经济学”。

经济学的数学化极大地推动了经济学向定量化、精确化和演绎化的方向发展。经济学数学化主要有两个不同的方向:一是从实际数据出发，运用数理统计方法建立经济计量模型。这一学科就是经济计量学。二是从经济现象出发，提炼出一些假设，从这些假设出发，建立一套完备的公理化体系，在这套公理化体系中进行严密的数学推导，给出一些反映经济现象的数理模型。这一学科就是数理经济学。

长期以来，经济学所研究的核心问题并没有太大变化，但是研究问题的方法却发生了巨大的变化，这一变化就是即经济学家越来越多的用数学方法来处理经济问题，越来越多的用数学语言和数学公式表述经济理论。在较早的时间，经济学杂志中极少见到数学公式，即使本身是数学家的研究人员，也很少使用数学公式来撰写自己的经济学论文。但现在，情况发生了巨大的变化，在权威经济学杂志上，60%以上的论文都是以数学方法作为主要的分析工具。

二、经济研究中的主要数学工具

现代经济学研究所涉及的数学方法非常广泛，从最基础的数学知识到最新的数学方法，都有所应用，如微积分、高等代数、微分方程、概率论、线性规划、动态规划、最优控制、回归分析、主成分分析、聚类分析，以及搏弈论、对策论和模糊数学理论。

微积分是数学与经济学联系最紧密的一部分。经济学中的弹性分析、边际分析、规模报酬、柯布-道格拉斯生产函数、拉弗椭圆、货币乘数、马歇尔－勒那条件、李嘉图模型等大量的经济概念和原理都是在充分运用导数、积分、微分等各种微积分知识构建起来的，如经济学中的边际分析，本质上就是计算相关经济函数的微分。

高等代数在经济研究中主要应用于把多种变量相互影响而产生的复杂经济现象构建为一个多元方程，并进行简化求解。比如欲预测房产价格的长期变化形式，可以用统计学的方法进行假定和计量，分析房屋价格与各因素的相关程度，把人均收入、土地价格、建筑原材料价格等多种变量构造多元线性方程组，并进行求解。

概率论中的数学期望、方差、协方差等概念和计算方法在经济学中也有广泛的应用。如金融经济学中的随机游走、布朗运动、随机积分、伊藤公式等概念都建立在概率论的基础之上。

模糊数学是利用数学方法来处理人类社会生产实践活动中存在的模糊现象，对公司信用进行评价的综合分析评价法就是采用了模糊评价方法与传统评价分析法相结合得办法。

数值分析中的二叉树图方法、蒙特卡罗模拟方法和有限差分方法，泛函分析中的希尔伯特空间等对金融学研究与分析具有重要的意义，搏弈论、对策论等新兴数学分支在经济学研究中也具有不可或缺的作用。

三、经济数学模型构建的基本步骤

经济学就其研究的内容来说，都可以归纳为这样一个函数：F（x）=f（x1,x2…,xn），其中x1,x2…,xn是所研究的经济现象中的变量，而F（x）就是这些变量相互影响而产生的结果。因此，当代西方经济学家认为，经济学研究的基本方法是建立数学经济模型，分析各变量之间的关系，从中引申出经济原则和理论，进行分析与预测。

要使用经济数学模型分析经济学问题，首先需要构建一个合理有效的数学模型。一般而言，构建经济数学模型主要有以下步骤：

1.理论和基础数据的准备。构建经济数学模型的成败首先取决于对该经济问题的理论研究状况。理论假设是否成立，关系到模型的成败，合理的理论假设是模型赖以建立的前提。根据研究的目的和任务，深入了解实际问题，对所要研究的现象进行全系统的周密调查，全面完整的收集基础数据，并对收集的数据进行整理。基础数据是否准确和全面，直接影响经济数学模型的质量与功能。

2.使用假设的方法，对所研究的经济现象进行合理的抽象与简化，找出模型中的影响因素以及各因素之间的相互影响关系和影响程度，并用变量和参数表示各影响因素和个因素之间的影响程度，建立数学关系式表示各影响因素的相互关系。简化是用模型来反映现实的特点，这是一种科学的抽象，它不会降低模型的真实性，反而会提高模型的科学性和实用性。

3.对已经建立的数学关系式进行简化与合并，建立初步的数学模型。并使用收集整理的基础数据，利用相应的数学方法或使用电子计算机进行各种模拟试验，比较和选择不同的方案，从而确定模型。

4.分析和应用模型，把使用模型计算所得出的结果与与实际观测结果进行对照分析，评价模型的吻合度（模型与被反映的经济数量关系的符合程度）与实用度，以考察模型是否符合实际问题。若存在较大偏差，需要对模型进行修改，重复以上建模过程，直到所建立的模型符合实际问题。

四、结束语

借助数学工具和数学方法对日益复杂的经济关系进行合理简化，已经成为经济学研究的必要手段。因此，数学在经济学研究中的作用必然会随着经济关系的更加复杂而变得更加重要。但数学只是经济学研究方法中的一种，并非所有的经济活动和经济关系都是可以量化，过度运用数学方法去求解经济问题，可能导致经济学沉湎于方法论的探寻，忽视经济生活的复杂性和非理性。

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