数学的裂变——基于后现代的视阈

张俊青，王保红

(1.长治学院数学系，山西 长治 046011;2.山西大学科学技术哲学研究中心，山西 太原 030006)

数学的裂变
——基于后现代的视阈

张俊青1，王保红2

(1.长治学院数学系，山西 长治 046011;2.山西大学科学技术哲学研究中心，山西 太原 030006)

非欧几何的诞生瓦解了人们关于数学是客观真理的神圣信念，使数学从物质世界的束缚中解放出来;数学直觉主义和哥德尔不完全定理从正、反两个侧面说明数学形式理论内在的局限性，数学命题的逻辑真也是可望而不可即。数学的这两次自我解构与后来出现的后现代主义思潮的反叛精神不谋而合。由此，具有统一性、普遍性特征的经典数学发生裂变，呈现出内容多元化、方法多样化和研究对象边缘化的后现代主义特征。

数学哲学;后现代主义;非欧几何;数学基础运动

如果说“自然界按数学方式设计”的信念是古代先贤们的哲学幻想，那么，文艺复兴以来，数学与自然科学的紧密结合以及它在解释自然方面的巨大成功则使这一幻想得到了有力的证据支持。作为近代科学的标志，伽利略将数学方法应用于物理学，从而使科学获得了巨大的能量。从此，以数学方式构成的理念世界开始偷偷摸摸取代了实在的经验世界，其结果是人们对数学的理解和崇拜达到了前所未有的高度，逐步形成了现代性的数学观。在这种认识范式之下，数学更多地被看做绝对的、超越历史的“逻辑文本”，其要旨是本体论上的“柏拉图主义”和形而上学;认识论上的基础主义和表象主义;而在方法论上则是简单论、决定论和还原论［1］。这种认识不仅对数学，而且对科学及哲学的发展产生了深远的影响。然而，从对现代性的批判中崛起的后现代思潮却表达了较为激进的观点。在后现代语境中，人类以往创造的所有知识的合法性和真理性都受到了批判和诘问，由此，后现代主义者走上了对真理性和基础性、普遍性的消解甚至否定之路。当绝对真理、“巨型叙事”、“逻各斯”中心主义、形而上学和本质主义遭到质疑之时，作为现代性和科学真理的典范——数学，理所当然成为众矢之的，被推到了风口浪尖。

其实，数学作为西方历史和文化的制造场所(M.克莱茵语)，一直是西方哲学的隐秘根源，这其中也包括后现代哲学。数学是人类思想中更为能动、自觉的部分，它更为敏感、更具有“先见之明”，并不像后现代主义者所批评的那样固守绝对、基础、普遍的现代主义藩篱，相反，数学在其知识的进化过程中，不论是其本身的研究对象，还是在数学家的自觉意识中，经典理性主义和先验性的真理模式、知识法则都已逐渐式微。换句话说，数学内部的裂变早已孕育着后现代的故事，而这不仅影响了后来的后现代思潮，而且也开创了数学研究的新时代。

一、非欧几何——后现代的先声

两千多年来，欧氏几何一直被人们奉为精确的典范和真理的化身。解析几何将代数方法引入几何学，从而在很长一段时间使传统的综合方法淡出了人们的视野，但欧氏几何本身的内容并未因此而改变，它在数学乃至科学界的神圣地位也未动摇。许多数学家都相信欧氏几何是绝对真理，例如，牛顿的老师巴罗认为，它概念清晰、地位明确，公理直观可靠，而且普遍成立，公设清楚可信，易于想象，证明顺序自然，因而他极力主张将数学包括微积分都建立在几何学的基础之上。受这种思想的影响，牛顿的微积分著作中充斥着浓厚的几何氛围。就连笛卡尔发明解析几何后仍坚持对每一个几何作图都给出综合证明。近代哲学家霍布斯、洛克、斯宾诺莎都从不同的出发点认为欧氏几何是普遍和必然的真理。康德以欧氏几何为基础建立自己的时空观和真理论，他认为欧氏几何和牛顿力学适用于一切的经验对象，具有普遍的必然性和有效性，几何公理及其逻辑推论是先天综合判断［2］。康德以先天时空观和人类心智的直觉为基础构建的哲学理论使数学，进而使一切形而上学走上了必然之路。牛顿力学的成功表明，简单的数学模型可以描述出整个星空的奥妙。拉普拉斯甚至宣称，只要知道一个微粒(原子)在某一时刻的位置和速度，就能计算出世界的过去和未来。这种“拉普拉斯妖”的大胆设计所表现出的追求精确度和明晰性的科学理想，令那个时代的人们激情澎湃。这种理想不仅在后来的电磁学、流体力学、空气动力学等研究中一次次变为现实，而且，它还远远超出自然科学的界限成为启蒙时代的普遍文化追求［3］。例如，莱布尼兹就曾试图发明一种“万能数学”，以便用计算代替思考。他认为哲学家之间也正如两个会计之间一样无须争论，只须计算一下就可以解决问题。至此，基于数学客观性、真理性基础上的数学霸权主义在哲学家的反思和科学家的实践中最终“铸造”成型，用后现代的语言比喻，正是利奥塔所称的“元叙事”、“真理的白色恐怖”，罗蒂所称的“大写的真理”或褔轲所谓“大监狱”。

然而，这个近乎科学“圣经”的欧氏几何并非无懈可击。事实上，从古希腊时代开始，善于批判和反思的数学家就一直没有放弃对它的公理和定理体系的审视，欧几里得本人甚至在他的几何体系公开之前就一直犹豫不决，这从他对平行公理和直线概念的使用上可以看出来。18世纪的数学家萨凯里、克吕格尔、兰伯特等人以第五公设为基础的研究卓有成效，他们的工作已非常接近非欧几何的大门，但2000多年的习惯思维使他们没有足够的能力对其重要性作出判断。19世纪初，高斯以其超人的智力触摸到了非欧几何的真谛，然而，他没有勇气走出康德哲学的阴影，因而，也不敢公开发表他的成果。罗巴切夫斯基和鲍耶的勇敢精神也在长时间内为当时数学界所忽视［4］。可见，欧氏几何的观念在人们心目中的地位是如此根深蒂固，以与此相悖的任何思想都被拒之门外，这种“霸权主义”在一定程度上严重束服了人们的思维和数学的发展。

非欧几何以平行公设的否命题和欧氏几何其他公理为公理集合，逻辑地推导出它的全部定理，并在19世纪末逐步得到了理解和认可，在数学界引起了一场不小的震动。它在肯定了欧氏几何第五公设独立性的同时也动摇了长久以来人们把欧氏几何作为唯一的、先验的、必然性的几何学观点，进而推翻了人们对数学真理客观性、终极性、永恒性的盲目崇拜。具体地说，首先，作为理论学科，欧氏空间并不是对物理空间的精确描述，而是建立于其上的思想体系。我们可以把这种体系看成是一种符合逻辑的主观构造，其中数学公理的选择不必考虑它与现实的一致性或视觉的吻合性，而是合乎推理程序的理性与历史的共同抉择。由此，2000年来经过数学家、科学家和哲学家的不断“祛魅”而形成的抽象性或神性的产物——数学终于向“人性”回归。其次，建立在物理空间命题基础之上的思想体系与物理空间虽然不同，但却能借助数学空间对物理空间进行思考，当它适合经验事实和满足科学需要时，还可以进一步应用在科学研究中。随着科学研究范围的扩充，这种数学空间必然被另一种更接近事实的空间所取代。1915年，爱因斯坦将黎曼几何应用于广义相对论，1947年，人们在心理学的研究中发现，视觉空间可以用罗巴切夫斯基几何很好地予以描述。可见，作为描述宇宙物质空间的几何，欧氏几何并不是唯一的形式，各种非欧几何也可以描述宇宙空间，它们各自反映着现实世界的不同范围和方面。最后，如果说非欧几何的创立使数学失去了真理性基础，那么，另一方面它也使数学去除了置于其上的沉重枷锁，从此，数学走上了轻装快速的发展道路，正如M.克莱茵所说:“数学的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样。” 非欧几何使数学家逐渐明白，他们可以探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这样的研究具有一定的意义，这种意义主要在于理论方面。受抽象思想和逻辑思维支配，数学家可以充分发挥他们的创造力和想象力，创造出众多的“数学作品”。19世纪以来，数学活动的大量扩张，以及在数学发现中的唯美倾向就是这种影响的反映。

总之，非欧几何的诞生瓦解了长久以来关于数学是绝对真理的神圣信念，数学公理的选择不再是唯一的，它也不具有绝对意义而只具有相对意义。因此，非欧几何被视为几何学中的“哥白尼革命”，标志着数学现代性的衰落和后现代思想的萌芽。

二、数学基础运动——后现代的强音

非欧几何使数学冲破了反映论、真理符合论的束缚，剥离了其同客观现实的关系，进而使其走下“真理的神坛”，逐渐转向抽象、可能的形式推理和计算的途径，表现出数学中的语言学转向。在这一时期，数学家们除了各种非欧几何外，还创造出了诸如非阿基米德几何、非勒让德几何、非黎曼几何、有限几何等众多新作品，并且将二维、三维几何学推广到n维、无限维几何学。基于同样的思想，数学家还建立了突破人们传统观念的哈密顿四元数、享廷顿数系等奇异数系和非标准分析。这种研究理想、可能结构的趋势首先表现在几何中;其次表现在数学的其他分支中，其本质上是对“证据真理”的逐渐放弃。那么，数学理论的合法性又在哪里呢?当F·克莱茵简洁的模型将非欧几何的相容性问题与欧氏几何的相容性问题紧紧捆绑在一起的时候，现代性数学观的强大惯性又迫使数学家展开为数学寻找内部基础的新一轮的努力。随着非欧几何相对相容性的证明以及分析算术化运动的进一步推进，希尔伯特将欧氏几何的相容性归结为自然数算术系统的相容性，并最终归结为集合论的相容性。然而，集合悖论使这些努力不得不停下脚步，并引发了上个世纪的数学基础主义运动。在这次运动的主角——三大学派中，直觉主义和形式主义从正、反两方面揭示出的数学的超越现代性或是某些后现代的特征值得深思。

形式主义的代表人物希尔伯特提出了在充分形式化和彻底公理化的基础上重新奠定数学的坚实基础，以加固这座业已倾斜的经典理性主义大厦。他确信，所有的数学定理都可以在这个形式系统中得到证明和解释，因而，所有的数学真理也就找到了安身立命的根本。为此，希尔伯特提出他的形式主义纲领，其要旨是首先将数学理论组成纯形式系统，然后再根据有限的方法证明这一系统的无矛盾性，后者是问题的核心。在希尔伯特看来，一旦证明了算术系统和集合论的无矛盾性，整个数学的无矛盾性即可解决，他的雄伟计划也就可以完全实现。

希尔伯特的形式主义思想既是对他所从事的数学工作的反思，同时也深深地印上了现代理性主义的烙印。笛卡尔以“我思故我在”的哲学命题把人们追求知识确定性的视角从自然引向人，这里的人作为认识主体，其本质是理性。在康德哲学中，直觉的先天性使理性具有了普遍必然性，也因此成为一切知识的合法性、统一性的基础，并由此导致了人们对知识的绝对、封闭和完备性的追求。与此同时，当理性在被普遍化的同时也使主体具有了抽象性，当黑格尔将主体等同于造物主时，作为主体的人已被推到至高无上的绝对存在，人性异化为神性，成为一个无所不能，又虚无缥缈的现代性神话。福柯认为，主体性哲学把主体变成了共相，使其普遍地带有一种规范性，所谓主体性就是使个体性服从定义真理和科学的普遍价值，服从普遍的行为规范，因而使个体受到限制，失去了自由［6］。理性万能在本质上就是语言万能，它在主宰一切的同时也成为理性的拥有者——主体的掘墓者，这就是现代理性主义的悖论。科学，尤其是数学中的公理化、形式化倾向集中地体现了这种现代性语境的影响。

当希尔伯特着手实施自己的形式主义计划时，哥德尔于20世纪30年代证明的不完全定理以及稍后发表的勒文海姆—斯科伦定理却完全否定了这种设想的可能性。前者断言，如果一个形式理论足以容纳数论且无矛盾，则它是不完备的，由此得到的推论进一步说明，对任一形式公理系统，其相容性无法在本系统内得到证明。后者则指出，满足相容性的形式公理系统可以存在多种本质不同的模型或解释。这两个在数学、逻辑乃至整个思想界都具有划时代意义的定理表明，任何一组公理既不能证明它们所覆盖的数学方向的全部内容，也无法确定该公理系统的实质。那种把数学置于僵化的、机械的、教条的终极法则之下，把一切已有的和可能的数学知识归结为固定的、唯一的、不变的、可还原的基础主义幻想终究无法实现。另一方面，哥德尔等人的结论也为形式化的理性思维划定了一个界限，正如加拿大数学哲学家塔西奇所说，“理性中心论数学的不可靠性不仅在于它傲慢地轻视个体的人及其实际上所做的，还在于它用抽象的逻辑步骤代替了在人的心灵中持续进行的创造性过程，而前者已经越过了它合法应用的范围”［7］55。理性思维、形式化方法或数学“文本”、数学语言的逻辑运动并不是数学的全部，数学的每一个活动都具有某种艺术的品质，即它的唯一性、个体性、异质性或不可通约性，在形式化语言(自然语言和数学语言)不能到达的地方，非形式化语言发挥着特有的作用，而这种作用是无法还原或言说的。

如果说哥德尔不完全定理蕴涵的后现代思想是隐秘的，那么，以布劳威尔为代表的数学基础运动的另一学派——直觉主义则具有明显的后现代倾向。直觉主义者把数学建立在直觉的基础之上，这与现代理性主义、基础主义的思想殊途同归。然而，直觉主义者所说的直觉与康德哲学中的直觉有本质的不同，前者是指我们对单纯时间流动的内省，是最原始的直观，与空间没有关系，而后者是对时间和空间的直觉。问题的关键就在这里。康德哲学或传统“理性中心论”往往按照对待空间的方式对待时间，将其划分为“点”或“片刻”，从而使其具有了分析性或还原性，但是，直觉主义的代表人物布劳威尔把直觉描述为人类心灵的基本现象，是处于不断消逝和不断生成间的破碎的“生命瞬间”，这种瞬间永远不能被分离出来［7］55。由此，我们看到了直觉主义思想中的后现代“幽灵”。首先，是对逻辑还原论和传统理性主义的超越。直觉主义肯定了数学活动中人的创造性，这种创造性是人的意志的直觉，是人的内心对时间连续统的直觉，数学文本是对这种直觉的解释活动，它可以受语言的指引，受法则的规范，或者被后验地理性化，但不能被“机械化”还原。同时，直觉主义也认为数学本质上是超越语言或无语言，因为语言在某种意义上是离散的，不能用来表达连续的数学直觉，没有语言，无以言说，数学的理性化、形式化也就成为不可能。其次，是对基础主义的反叛。直觉主义认为直觉构造是一个自发的，自由的、真正的个人的选择，具有个体性和不可通约性，而且是一个持续的、不断生成，具有开放性和不确定性的过程，那么也就不可能存在一个既有的、终极的、不变的、总体的数学基础存在。最后，是对结构主义的解构，在这个意义上直觉主义是与后结构主义有某种深刻联系的。结构主义旨在探索和建构一种普遍适用的、现象背后的深层的结构，并最后落实到二元对立上。后结构主义，或者说解构主义对我们长期以来形成的二元对立的思维方式(比如说非此即彼、非好即坏这样的思维方式)持批评态度。由于直觉主义坚持数学命题是在有限步骤内的直觉构造，因此，拒绝使用涉及到“实无穷”的排中律，而排中律是二元思维和“同一性”逻辑的基本原理［8］。

三、后现代数学

非欧几何使数学摆脱了现实世界的束缚，从此走上自由发展的道路。而哥德尔对数学基础的审视终结了数学的理性主义神话。如果说非欧几何的创立具有偶然性的话，那么哥德尔不完全定理和数学直觉主义则是数学家的自觉意识。数学的这两次自我解构深刻地表明，在认识论上囿于还原论、本质主义、“逻各斯”中心主义、宏大叙事的，追求封闭性、严密性和确定性的数学知识根本不存在，关于数学真理的基础主义和绝对主义也是彻头彻尾的一相情愿，经典的形而上学数学观业已破产。利奥塔认为现代科学的实质是“决定论”，而现代“巨型叙事”的衰落及其合法性危机意味着“决定论”的失败，意味着基础主义、普遍主义、本质主义的失败。利奥塔断言，知识的模式已经发生改变，旧的知识已不再处于霸主地位，后现代科学正在兴起。什么是后现代科学，利奥塔认为，后现代科学主要关心突变、非决定性、语义学悖论、精确控制的局限性和信息不完全对称下的冲突等。与现代的基础主义、普遍主义和本质主义的科学观不同，后现代的科学观是非连续的、突变性的和悖谬的 。那么，数学是否如科学一样，也正在步入后现代的殿堂。事实上，从上世纪中叶以来，数学从概念到理论体系都一直处于变革之中，并呈现出较为明显的后现代特征。具体主要表现在三方面。

首先，是数学发展的多元化趋势。数学经过近代与物理学紧密结合的经验发展，再到19世纪和20世纪初的形式化、公理化发展，表现为具有统一基础的总体发展模式。但在20世纪中叶以后，数学分裂为经验和理论两个方向并走向同时繁荣的局面。一方面，数学在集合论和公理化方法两大因素的推动下越来越向抽象化发展。二者相互结合孕育了抽象代数、拓扑学、泛函分析等新的抽象分支，同时又引发了一些传统数学分支(如概率论)的革新。数学的核心领域不断拓展，研究对象不断扩张。可以说，现代数学不仅研究现实世界的空间形式与数量关系，而且研究一切可能的空间形式与数量关系。在更广泛的意义上，数学已经被看做是关于“模式”(pattern)的学科，包括数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理的模式，行为的模式……这些模式既可以是现实的，也可以是想象的;既可以是定量的，也可以是定性的，等等［10］。另一方面，数学在实践中的应用正以前所末有的速度扩展和深化。“数学物理”、“数理化学”、“生物数学”、“数学地质学”、“数理气象学”……一连串交叉学科的形成说明了数学向其他自然科学领域渗透的广度。而纯粹数学中的一些新成果与其他科学的许多前沿领域的快速结合，则反映了数学渗透的深度。除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等过去认为不适用数学的社会科学部门，数学方法也开辟了广阔的用武之地。数学正在向社会科学和文化艺术领域广泛渗透，这是数学应用不同于以往时代的崭新趋势。数学与一些社会科学领域相结合也产生了一系列交叉学科，如数理经济学、数理语言学、数学考古学、史衡学等等。数学这种内部结构逐渐松散，外部边界逐渐模糊的特征正是由非欧几何所引起的数学中的“去中心化”或“边缘化”发展趋势的真实写照［11］。

其次，由于计算机的影响而使数学研究方法多样化。计算机提高了运算速度，减轻了数学家的计算和重复性工作仅仅是事情的一个方面，更重要的方面是计算机应用过程中所凝练成的新的研究方法对数学欧几里得范式的严重挑战，这就是数学实验。数学实验以计算机为工具，通过大量的个例归纳、搜寻和检验来获取数学结论。数学形式系统的局限性说明在原则上或理论上，我们并不能获得严格意义的结论，数学中存在不可证明的命题，但这些命题又是有价值的，数学实验方法可以通过归纳、检验和模拟等全新的方法为这些命题的合法性提供当下最大程度的保证。在这个过程中，归纳法堂而皇之进入了数学研究过程，改变了长久以来一直占主导地位的数学是一门演绎科学的观点。实验数学对传统数学真理观的冲击可谓最大，这主要表现在“概率性真理”这一概念，即在数学中把并末彻底严格证明而只是在概率意义上为真的命题作为数学定理引入。数学的发展表明所谓数学知识的严格性和绝对性只是一个现代主义的迷梦，数学中充满了矛盾和问题，在哪里发现就修改到哪里，并修改到当时所能接受的程度为止，其实这就是我们所能做的一切。

第三，数学研究领域的边缘化。20世纪以来数学发展过程中许多重大理论突破和创新都表现出数学研究从永恒的、终极的、整体的宏大目标转向对局部的、相对的、边缘化的、奇异和非常态目标的追求，如模糊数学、突变理论、分形与混沌理论等［12］。当生命系统、生态系统、社会系统和极为复杂的人类思维本身进入科学的研究视野，经典数学模型逐渐显示出其局限性。因为这些对象不同于以往简单化、线性化的机械系统，它们是非线性多变量的复杂系统，用经典数学和二值逻辑无法刻画和描述其演化发展过程。于是模糊数学、混沌理论这样一些新的数学分支应运而生，它们描述了传统数学无法把握的关于对象类属和性态的不确定性、偶然性和随机性。传统几何学一般研究1、2、3维，并且是光滑、连续的图形，而分形几何描绘、计算和思考分数维图形的几何性质，它们是不规则的、凹凸不平的、零散分布的、支离破碎的图形。分形学不仅研究自然分形，而且将这种方法推广到社会、思维和对时间的研究中，产生了社会分形、思维分形、时间分形等研究领域，这是以往数学无法涉足的。

后现代数学，在本质上说是一种数学观念、思维和处理数学问题的方式，就这个意义上来说，“后现代数学”的提法显得过于仓促，数学的后现代时代也没有到来。因为面对数学研究对象、方法和数学发展中出现的种种后现代倾向，我们仍然局限在现代性数学的思维范式之下，寻找数学理论的统一、总体的基础，热衷于给出数学命题的绝对、严格的证明，用简单、线性的数学方程去刻画复杂、有机的系统，用各种线性近似作为保护带来解决非线性问题等等，仍然构成当前数学工作的主流。未来数学或“后现代数学”将是什么样子，标题中的“?”说明我们的迷茫与困惑，或许“我预言我不能预言”正是“后现代数学”不同于现代数学的一面。但数学还是有自己的发展规律，后现代并不意味着绝对的“断裂”，“后现代数学”也必定要依赖现代数学的成就。因此，立足于当前数学实践，洞悉数学发展的脉搏，并作出及时的、符合实际情景的思维和方法转换，我们就将更容易收获“后现代数学”的胜利果实。

［1］黄秦安.后现代主义的数学观及其认识［J］.自然辩证法研究，2006，(4).

［2］李文林.数学史教程［M］.北京:高等教育出版社，2000:276.

［3］吴炜.科学哲学与文化价值［J］.自然辩证法研究，2003，(1).

［4］冯进.非欧几何发展中若干认识论问题［J］.科学技术与辩证法，2003，(6).

［5］M·克莱因.西方文化中的数学［M］.张祖贵，译.上海:复旦大学出版社，2004:430.

［6］姚大志.现代之后——20世纪晚期西方哲学［M］.北京:东方出版社，2000:344－352.

［7］塔西奇.后现代思想的数学根源［M］.蔡仲，戴建平，译.上海:复旦大学出版社，2005.

［8］黄秦安.布劳威尔数学哲学思想中的后现代萌芽及其对维特根斯坦的影响［J］.自然辩证法研究，2008，(2).

［9］姚大志.科学的合法性:现代与后现代［J］.华东师范大学学报，2004，(1).

［10］徐利治.徐利治谈数学哲学［M］.大连:大连理工大学出版社，2008:155－170.

［11］吕乃基.论后现代科学［J］.自然辩证法研究，2000，(7).

［12］黄秦安.论数学真理观的后现代转向［J］.自然辩证法研究，2003，(5).

［责任编辑 袁晓霞］

Post－modern Perspective of Modern Mathematics

ZHANG Jun-qing1，WANG Bao-hong2

(1.Department of Mathematics，Changzhi College，Shanxi Changzhi 046011，China;2.Research Center of Science and Technology philosophy，Shanxi University，Taiyuan 030006，China)

The birth of non － Euclidean geometry collapsed people＇s holy faith that mathematic truth is objective，so that mathematics was emancipated from the material world.G?del＇s incompleteness theorem and mathematical intuitionism show that there is an inherent limitation in the mathematical formal theory from the opposite two sides and that the mathematical proposition is really elusive as a logic truth.The two self－deconstructions of mathematics happen to coincide with the rebellious spirit of the post－ modernist trend.Thus，the classic mathematics goes to split from the Characteristics of the unity and universality to the Post－modern trend，showing that the content is diverse，the method is different and the object of study is non－centralized.

mathematics philosophy;post－modern trend;non－Euclidean geometry;mathematics sports

N031

A

1009-1971(2010)02－0008－06

2009－11－12

山西省高等学校哲学社会科学研究项目(200922040)

张俊青(1971－)，男，山西保德人，讲师，从事数学哲学、数学史研究;王保红(1973－)，女，山西交城人，博士研究生，讲师，从事数学史，科学史研究。