对数学建模和数学实验课程的几点看法

谭永基

（复旦大学数学科学学院，上海 200443）

对数学建模和数学实验课程的几点看法

谭永基

（复旦大学数学科学学院，上海 200443）

综述了国内外数学建模和数学实验课程的历史和现状并对国内这两门课程存在的问题以及改进的对策提出了自己的看法.

数学建模；数学实验

我们承担了高校大学数学教学研究与发展中心关于进一步深化数学建模和数学实验课程改革的课题，对国内外这两门课程发展的历史和现状和国内这两门课程当前存在的问题作了一些调查研究，形成了一些不成熟的看法.现综述如下.

1 数学建模和数学实验课程的起源和国外概况

第二次世界大战以后进入了经济高速恢复发展的时期，从20世纪40年代起开始了以电子计算机技术、核能、空间技术和生产过程自动化等为标志的第三次产业革命，出现了“高技术”，对数学的应用提出了新的更高的要求.由于在第二次世界大战中涌现和储备了大量的优秀应用数学人才，而电子计算机的出现与发展又为数学更广泛的应用提供了可能.于是数学对工业技术发挥的作用越来越直接，数学的作用从幕后走向了台前.1972年由美国总统顾问戴维起草的关于发展美国数学的报告中指出“我们进入了数学工程的时代”.

用数学解决科学技术问题，建立问题的数学模型是十分关键的，于是对数学模型的研究、对数学建模方法论的研究逐渐兴起.到上个世纪六十年代，数学建模课程开始在美国高校中出现，并逐步在欧美各国高校中普及.

目前，欧美主要大学的数学系都开设数学模型或数学建模课程，很多大学的生物、经济、金融、管理等系科也开设专门的数学模型课程.1986年开始的美国大学生数学建模竞赛推动了数学建模课程的普及.数学建模课程越来越受到重视，现在每两年召开一次数学建模教学国际会议，研究数学建模课程和数学建模教学.西方各国出版了大量数学建模教科书和专著，单单美国某图书经销公司的目录中就列出了数学建模和数学模型书目近2000种.

在美国近年用得最普遍的两种教材分别是；Giordano等编的A First Course in Mathematical Modeling（已翻译出版）和Douglas Mooney等编的acourse in Mathematical Modeling.后者是由美国数学协会（MAA）出版和推荐的.

据我们调查，国外单独开设数学实验课程的学校很少.与我们的数学实验课相关的有实验数学课以及穿插在其他课程中的数学实验.

数学发展史上，有一批数学家认为实验也是数学研究的重要手段之一.例如高斯说过他达到数学真理的途径是“通过系统的实验”.波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨科学，从这方面看数学是一门体统的演绎科学，但从另一方面看，创造过程中的数学看起来却像一门试验性的归纳科学”.上个世纪六十年代著名的四色问题的证明就是通过数学结合计算机实验获得的的重大数学成果.这一成果雄辩地证明了实验对数学的重要性，推动了实验数学学派和实验数学分支的出现和试验数学期刊的出版.实验数学学派的主要观点是：实验是数学发现的重要方法，实验可以启发新的猜测或对现有猜测提供支持和依据，可以指出新的研究领域，实验可帮助证明新定理.在这一观点的影响下用实验来学习和研究数学的实验数学课程开始出现.例如1989年在美国Mount Holyke College开设了这类课程，为此编写的教材“数学实验室”后来产生了较大影响.

美国国家自然科学基金会资助的微积分教学改革，将实验引入微积分教学，通过学生自己动手，用计算机等实验手段学习和验证微积分中的一些重要数学结论.在作为微积分改革的重要产物哈佛的微积分和托马斯的微积分这两本教科书中都有体现.

在微积分改革后美国国家自然科学基金会资助强度最大的教改项目是MATC（Mathematical sciences and its applications through curricular）和Links（Mathematics and its application for engineering and science）［1，2］.它们的目的是设计课程和教学课件，提供模拟用数学解决现实问题全过程的实验，通过学生自己动手实验，让各专业学生提高用数学解决本专业问题和数学专业学生用数学解决各种科学技术问题的能力.

2 国内数学建模和数学实验课程发展和现状

1.发展过程.

国内数学建模课程的发展可分三阶段.第一阶段20世纪80年代：建模课程80年代初开始进入少数几所大学数学系的课堂，到80年代末有几十所学校开设建模课程（主要在数学系），1989年开始少数学校学生参加美国大学生数学建模竞赛，出版了几本教材.第二阶段为20世纪90年代：建模课程由数学系推广到理工、经管等学生，到90年代末有几百所学校开设，1992年全国大学生数学建模竞赛开始举办，到2000年有517所学校3210队参加，出版约50本教材和读物.第三阶段为21世纪的10年：开设建模各种类型课程的学校达千所，2009年有1137所学校15042队参加全国竞赛，出版近200本教材和读物.近年来在李大潜院士的倡导下，许多院校正在研究和实践将数学建模的思想融合到主干数学课程中.

受国外实验数学的影响（“数学实验室”由白峰杉等翻译出版，“数学译丛”系统介绍国外实验数学的情形）国内出现了数学实验课.另外在数学建模教学实践中许多教师发现单纯的数学建模课堂教学不能满足培养学生用数学解决现实问题能力和创新能力的需要.应在课内增加让学生自己动手进行实验，体会解决问题全过程的环节.于是出现了数学建模实验或数学建模实践的新课程.1995年制定的工科数学教学体系改革方案中，数学实验被列为主要课程之一.

为调查数学实验课程的情况我们进行了问卷调查.发出的200份问卷调查收回了66份，其中开设该课程的学校占2／3.各校该课程的课时数不同，从18到72学时；内容、要求、考核方式呈“百花齐放”的局面.课程教学对计算机和网络的应用明显，多媒体课件和数学软件使用广泛，以案例形式展开教学是普遍采用方式.

当前各院校开设的数学实验课大致可分四类：第一类，将建模与计算优化统计结合；第二类，通过实验学数学，不太注重数学建模，较适合数学类专业学生；第三类，数学建模实验通过案例实践从建模—数值求解—验证—应用的用数学解决实际问题全过程；第四类，穿插在高等数学等课程中的数学实验.

2.数学建模和数学试验课程特点和优点.

这两门课程有以下特点和优点：以培养学生的解决实际问题的能力、提高他们的综合素质为主；课程以问题驱动，有利激发学生学数学的积极性；充分发挥学生在教学中的主体作用，学生能动学习，有利培养创新精神；师生互动，有利于小课题研究、团队学习、课堂讨论、成果报告等有效教学方法的实施.

3.数学建模和数学试验课程实践和改革产生了明显的效果.

首先，这两门课称的开设及其有关的活动改善了数学在公众中的形象，使公众认识到数学在经济、科技发展和社会进步以及提高人们综合素质中的作用.同时通过这两门课的学习，提高了学生学习数学的积极性.

其次，这两门课的教学和改革实践有力地推动了数学教改，出现生动活泼新局面，诞生许多教改新成果.与这两门课程有关的国家级及省级教学成果奖与国家级及省级精品课程均达到数十项之多；许多教师因在教学和改革中的突出表现被评为国家级或省级教学名师.

最后，这两门课的教学显著地提高了学生解决问题能力和创新精神，对培养优秀人才的作用初步显现.学生在各类用数学解决问题的实践活动取得丰硕成果（如挑战者杯和美国大学生数学建模竞赛等）.学生通过这两门课的学习，提高科研能力，发表许多用数学解决各类问题的研究论文.如大连理工大学数学建模实践班学生自2000年来已署名发表的科技论文三十余篇，其中主要是英文论文且大部分被SCI检索.暨南大学珠海分校数学建模实验室本科生仅2008-2009年，就发表学术论文18篇（第一作者均为学生）.学习数学建模课和参加数学建模竞赛获奖学生在后继学习研究表现突出，多人次获国家级优秀博士论文奖（国防科技大学等）；其中还有许多人已成长为国内外大学或科研机构的教学科研骨干.

3 当前数学建模和数学实验课程存在的问题和改进措施

虽然数学建模和数学实验课程教学总体而言很有成绩，发展健康，但是在某些学校的某些方面还是存在一些问题的.

据我们的调查，数学建模课的主要问题是：有些教师培养能力与创新的意识不强，将数学建模课沦为简单的知识传授课；数学建模课十分适合我们采用师生互动、课堂讨论、小课题研究实践等先进的教学方法，但有些教师将教学方法倒退为简单的课堂灌输.虽然新编写的数学建模教材很多，但部分教材选材陈旧、缺乏特点.有些学校将数学建模课程降格为数学建模竞赛的培训手段.

而数学实验课程存在的问题是：某些学校缺乏课程结合本校实际的正确定位；部分院校无教学大纲，其它教学文件缺乏，上课内容有随意性；有些院校课程内容安排学习软件和解决问题实践课时比例失衡，将数学实验课降格为软件学习课程.很多院校都存在数学实验课程的师资队伍的培养和教学内容更新问题

针对这些问题我们认为应采取以下改进措施：

1.发挥优秀教学成果和精品课程示范作用；

2.多举办各类课程交流研讨会和师资培训班；

3.加强对国外教材和经验调研，介绍国外优秀教材、教学课件；

4.制订适合各类院校、各种不同要求的数学建模和数学试验课程的教学规范；

5.推荐相应优秀教材和现有优秀教学资源和教学课件；

6.组织研制新的教学课件翻译国外优秀教学课件.

我们相信在教学行政管理部门的支持下，通过这两门课的任课教师的努力，这两门新兴的数学课程一定会更加健康地发展并在数学教改中发挥更大的推动作用.

［1］ http：∥www.links.math.rpi.edu

［2］ http：∥www.math.dartmouth.edu／～matc／index.html

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1672-1454（2010）增刊1-0019-03