整值多项式的若干问题研究及其应用

2010-03-21王鹭萍

漳州职业技术学院学报 2010年4期

关键词：等价学报定理

王鹭萍

整值多项式的若干问题研究及其应用

王鹭萍

(福建体育职业技术学院，福建福州 350003)

探讨整值多项式及其恒因子，并给出费马小定理的一种证明方法．

整值多项式；费马小定理；恒因子

1 引言与预备知识

费马小定理是数论、近世代数等学科的奠基性定理之一．在文[6]中，王志兰给出了费马小定理的五种证明方法，文[7]给出了该定理的几何意义，文[8]讨论了函数周期点数的计算，并得出了费马-欧拉定理．就费马小定理的提出至今，引起了诸多数学工作者的关注，并致力于对该定理的证明．为此，本文通过对整值多项式的研究，给出其新的证明．

在文[1]中，P．Cahen和J．Chaber就Noetherian定义域的Elasticity作了探究，证明了整值多项式环的Elasticity是无限的．V．Laohakosol将整值多项式的研究推广至Galois域．文[3]、[4]、[6]就整值多项式得性质及其判定条件做了若干研究．

受文章[1]-[6]的启发，本文主要研究整值多项式的若干性质，首先给出了费马小定理的一种新证明．进一步地，就多项式的恒因子进行考察，给出了恒因子的两种等价定义，最后举例说明恒因子的寻求方法．

为了讨论方便起见，我们先给出整值多项式的一条等价定义．

2 费马小定理的新证明与恒因子

费马小定理给出的是任意整数的素数方幂与该整数的同余关系．试问：能否运用整值多项式，给出费马小定理的一种新的证明方法？

下面，我们给出费马小定理的新证明．

解决了费马小定理的证明后，我们再来思考这样的一个问题．

3 整值多项式的几点应用

根据前一节讨论的结果，我们举例说明如何寻求整值多项式的恒因子及最大恒因子．

综述：本文主要介绍整值多项式，对整值多项式的等价定义，描述及表示进行探究．并应用整值多项式给出了费马小定理的一种证明方法．对整值多项式的恒因子的探究给出了恒因子的两种等价定义，并举例说明如何寻找恒因子．文章中在寻找恒因子的探究中，计算量比较大，特别是第二种方法．所以希望可以寻求更简单的求法．有兴趣的读者可以做进一步的探索．

[1] Paul-Jean Cahen,Jean-Luc Chabert．Elasticity for integral-valued polynomials[J]．J．Pure Appl．Algebra，1995，103(3)：303－311.

[2] V．Laohakosol．[J]．ACTA ARITHMETICA，1998，LXXXVII．(1)：13－26.

[3] 杨继明．关于整值多项式的若干特征及其判别法[J]．玉溪师范学院学报，1986(3)：97－101.

[4] 李瑞林．整值多项式判定定理及其应用[J]．数学教学,1983(01)：31－32.

[5] 陈永林．整值多项式的判定定理[J]．中学数学教学,1982(02)：13－15.

[6] 王志兰．费马小定理的几种证法及应用[J]．廊坊师范学院学报(自然科学版),2009，9(6)：11－13.

[7] 吴延东．费马小定理的几何意义[J]．淮阴工学院学报，2007，16(3)：1－2.

[8] 史天勤,杨丽贤．周期点计数及费马小定理的推广[J]．吉林工业大学学报，1996,26(2)：74－76.

Some Researches of the Integral Valued Polynomial and Its Applications

WANG Lu-ping

(Fujian sports vocational education and technical college，Fujian Fuzhou，350003，China)

This paper investigates the integral valued polynomial and its identity factors, also gives a new proof for Fermat's little theorem．