关于误用动能定理的讨论

胡生青 于路军

(江阴市青阳中学 江苏江阴 214401)

动能定理是中学物理课程中的重要规律之一,也是高考的热点内容,它将状态量的变化与过程量联系起来.应用动能定理解题时,只需考虑始末运动状态,无需关注运动过程中的细节变化,显得简捷与方便,因此深受老师和同学的欢迎.应用物理规律解决问题时,若对物理概念的本质认识上存在问题,将造成误用物理规律.笔者在高三复习教学中,发现学生在应用动能定理时易犯两个错误:一是研究对象为质点系时,将研究对象当成质点模型仍使用质点动能定理;二是在某一方向上运用动能定理.本文拟就此二问题作详尽探讨.

1 质点系问题

1.1 非质点模型

平时教学中我们常接触到物体间通过绳或杆相连的质点系;高考试题中也出现过讨论人在运动时有关能量转化问题[1].此类研究对象在问题中为非质点模型,高中所学的动能定理能适用吗?

【例1】(2006年全国高考卷)一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳,经 Δt时间,身体伸直并刚好离开地面,速度为v0.在此过程中

B.地面对他的冲量为mv+mgΔt,地面对他做的功为为零

D.地面对他的冲量为mv-mgΔt,地面对他做的功为零

【析与解】以人为研究对象根据动量定理得

解得

在讨论地面对人做功问题时,不少同学将人当作质点模型,根据质点动能定理,误认为地面对人做了功为.而事实上,人在起跳的过程中地面对人作用力的作用点没发生位移,地面对人做功为零,故答案选B.

人起跳过程就像一个被压缩的弹簧在弹起的过程中释放了弹性势能,弹力做了多少功就有多少弹性势能转化为动能.其实人是自己做了功,通过功能关系知道人做功是能量转化的过程,它是把人体内的化学能转化为人体的动能.在本题中不能把人看成一个质点,应将人构建成质点系模型;由质点系动能定理可知,人获得的动能是人体内力做功的结果.

1.2 质点系动能定理

在由多个质点组成的系统中,对每一质点运用动能定理,求和后得到

其中 A是组成系统的各质点所受所有外力功和内力功的代数和,即上式可写成

就是所有外力功和所有内力功的代数和等于其动能增量.即质点系动能的变化等于系统所受的外力做功与内力做功之和.这就是质点系动能定理.应注意,内力做功并不一定为零,只有当运动时两质点间距离保持不变(轻绳或轻杆类连接体),内力做功才为零,一般情况内力做功不为零.内力做功与所选择的参照系无关,因为内力总是成对出现的,对作用力和反作用力(内力)所做功的代数和取决于相对位移,而相对位移与选择的参照系无关.

【例2】轻绳一端挂一质量为M的物体,另一端系在质量为m的圆环上,圆环套在竖直固定的细杆上,定滑轮与细杆相距0.3m,如图1所示.将环拉至与定滑轮在同一水平高度上,再将环由静止释放,圆环沿杆向下滑动的最大位移为0.4m.若不计一切摩擦阻力(g取10m/s2),求:

(1)物体与圆环的质量之比;

(2)圆环下落0.3m时的速度大小.

图1

(2)环下落0.3 m时,物体上升的位移

物体的速度为

绳的拉力对环和物体做功的代数和为零.由质点组动能定理有

用质点系动能定理求解连接体问题时,选取质点组,找各力作用的位移大小关系,各质点在同一时刻的速度大小的关系,看质点组各外力的功和各内力的功的代数和,确定各个质点的初动能和末动能,然后建立方程求解.

中学物理教材中的动能定理只适用于单个质点,对动能定理应用于多个质点的系统没有介绍.而在教学中常常出现多个质点连接在一起的情况,如果对每个质点列动能定理方程,这样求解问题相当复杂.若在复习动能定理的基础上介绍质点系动能定理,既符合学生的认知规律,也符合学生身心发展特点,学生很容易接受.所以笔者认为有必要在此介绍质点系动能定理.把动能定理的适用范围推广到系统,用质点系动能定理来解决研究对象为非质点模型问题.

2 动能定理有分量表达式吗

【例3】如图2所示,一个带正电小球,电荷为q,质量为m,从O点以速度v竖直向上射入匀强电场中,场强为E,小球到达运动轨迹的最高点为P.求:

(1)OP的水平距离;

(2)小球在P点的动能.

图2

【析与解】小球在运动过程中受竖直向下的重力和水平向右的电场力作用,故可将运动分解为水平方向初速度为零的匀加速直线运动和竖直方向的匀减速度直线运动.

(1)当小球运动到最高点P时,它在竖直方向上速度为零,所以有0=v-gt.在 t时间内小球运动的水平距离x,联立上述方程

动能定理是标量式,不存在某一方向上的动能,也不存在某个方向上的力做功,部分同学错误地列出某一方向上的动能定理方程,是对物理概念本质的认识上存在问题.

笔者认为以上两点对动能定理的误用,有学生学习不到位的因素,也有我们教学的原因.在平时习题中涉及到研究对象基本上是质点模型,很少遇到研究对象为质点系模型.若在教学中教师呈现的物理情景中出现非质点模型,有意识地对学生进行针对性训练,相信误用的概率就要小得多.另外,讲动能定理理论时,若能对公式的矢量性让学生进行讨论,也会降低误用.

上面的求解是将复杂的曲线运动分解为简单的直线运动来处理的.但在求解第(2)小问时,有部分同学在水平方向上运用动能定理来求解,Ek-0=

1 胡生青.对人体内力做功的讨论.物理通报,2008(11)