二阶非自治Ham ilton系统的偶同宿轨道*

肖 莉

(中南大学数学与计算技术学院,湖南 长沙 410083)

二阶非自治Ham ilton系统的偶同宿轨道*

肖 莉†

(中南大学数学与计算技术学院,湖南 长沙 410083)

针对非自治Hamilton系统同宿轨道的存在性问题,以一类具有对称位势的二阶非自治Hamilton系统为例,在位势函数具有新的超二次条件下,利用变分学中的山路引理证明其至少存在一偶同宿轨道.

轨道;系统;Hamilton;超二次位势

随着信息技术的发展以及数字计算机的广泛应用,出现了很多以Ham ilton系统为支撑的数学模型,该系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域中,特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统(或它的扰动系统)同宿轨道存在性的形式而出现,而且一切守恒的真实物理过程都可以表示为Ham ilton体系,无论这些过程是经典的,量子的还是相对论的,无论其自由度是有限的还是无限的,总能表现为适当的Hamilton形式.考虑二阶非自治Hamilton系统.

研究式(1)的同宿解的存在性.本文的结果推广和改进了文献[2]和文献[3]中相关的结果.

本文的思想来自于文献[2-8],利用山路引理证明了式(1)的同宿解可作为一零边值问题解序列的极限,下面是本文的主要结果:

定理1 假定L和W满足

则问题(1)至少存在一偶同宿轨道.

1 同宿轨道的存在性

因而,存在eT∈ XTBρ满足φ(eT)＜-0.由山路引理,cT=infφ∈ΓTmaxθ∈[0,1]φ(φ(θ))＞0 是 φ的临界点,其中:

ΓT={φ(θ)∶[0,1] →XT|φ(0)=0,φ(1)=eT}.记相应的临界点uT=uT(t),且为式(6)非平凡偶函数解.显然,若T1＞T≥T0,则0＜cT1≤cT≤cT0.

余下来的证明同文献[3],在此略去.

2 结 论

利用山路引理研究了一类具有对称位势的二阶非自治Hamilton系统的偶同宿轨道的存在性.文献中已有的二阶非自治Hamilton系统同宿轨道的存在性是在位势函数具有一般的超二次条件下获得,而在这篇文章中,是在位势函数具有新的超二次条件下,证明了其至少存在一偶同宿轨道.

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Existence of Even Homoclinic Orbits for Second-order Nonautonomous Hamiltonian Systems

XIAO Li†

(Schoolof Mathematical Sciences and Computing Technology,Central South Univ,Changsha,Hunan 410083,China)

Someexistence theorems foreven homoclinic orbitshavebeen obtained for a classof second-order nonautonomous Hamiltonian systems with symmetric potentials under a classof new superquadratic conditions by using the Mountain pass lemma.

orbits;systems;Hamiltonian;superquadratic conditions

O175.8

A

1674-2974(2010)12-0087-03 *

2010-05-18

国家自然科学基金资助项目(10771215);湖南省社科基金资助项目(09YBA161)

肖 莉(1973-),女,湖南衡南人,中南大学讲师,博士研究生

†通讯联系人,E-mail:xiaolimaths@sina.com