并联等效电阻和综合曲率半径的图解分析法及其变化关系

2010-02-25王允地王良文

陕西科技大学学报 2010年5期

关键词：数表线图圆柱体

王允地，王良文

(1.陕西科技大学机电工程学院，陕西西安 710021； 2.郑州轻工业学院机电工程学院，河南郑州 450002)

0 引言

在并联电阻电路中，等效电阻的倒数等于两支路电阻的倒数之和[1].在计算两圆柱体的接触应力时，综合曲率半径的倒数等于两圆柱半径的倒数之和[2-5].由于这些计算不是简单的迭加关系，因此寻找两者之间的直观联系就有一定的意义.

对于已知R1和R2，利用下述公式

(1)

图1 并联电阻或综合曲率半径的图解法

求解R的问题，本文经研究给出了一种图解作法.其思想是：在一条直线上截取两条连接在一起的线段，使其长度分别等于R1和R2，然后在长度等于R2的线段的顶端作长度亦等于R2的垂线，以该垂线(长度R2)为一边，以R1与R2的和为另一边，连接出一个直角三角形.在该三角形上做一个辅助平行线，便能得到长度等于R的线段.

为了反映R与R1和R2之间的变化关系，本文还给出了R/R2随R1/R2的变化数表，并采用研究出的图解法绘出了两者之间的变化曲线.

另外，文中还对圆柱体和圆柱孔内切接触情况下的综合曲率半径求解问题进行了补充讨论.

1 图解做法

如图1所示，建立直角坐标系τpn，取O1P等于R1，取PO2等于R2，并取PO2的垂线O2O2′ 等于R2，连接O1O2′交τ轴于P′，则PP′ 的长度即为满足公式(1)中R、R1和R2关系的R值.

2 证明

直角三角形O1PP′与直角三角形O1O2O3′相似，因此有

(2)

(3)

图2 R/R2随R1/R2的变化线图

(4)

3 变化线图及数表

给定R2，让R1从小到大变化，则R也随之变化，其变化线图如图2所示，变化数表如表1所示.

在图2所示的直角坐标系中，R1/R2为横坐标，R/R2为纵坐标.在坐标系上，取定F(-1，1)点.根据给定的R1/R2值，在横坐标上取对应点，并连F点与该点成直线，该直线与纵坐标轴的交点坐标值即为R/R2值.将一系列的R1/R2与R/R2的对应点相连，便可描出两者之间的变化线图.

表1中给出了R/R2随R1/R2的变化数表.

表1 R/R2 随R1/R2的变化数表

R1/R2322345102050100R/R23523344556101120215051100101

从该曲线及数表可以看出，当两个电阻相差很大时，总电阻接近于小电阻，大电阻对总电阻的影响不大；当两个电阻相等时，总电阻为单个电阻的1/2；在R1/R2接近于零时，变化曲线的斜率接近于1；在R1/R2大于100后，R/R2接近于1，该曲线最终以R/R2=1为渐近线.

以上有关电阻的规律，同样适用于两圆柱体接触时综合曲率半径的变化规律.

此外，对于半径为R1的圆柱体和半径为R2的圆柱孔内切接触的情况，可在图2中沿横轴反向截OG等于R1/R2，连F、G交纵轴于H，则OH的长度即为综合曲率半径R与圆柱孔半径R2的比值R/R2，且能在坐标系中定出以G为横坐标，而以H为纵坐标的点C.让R1/R2从零到1变化，点C将在坐标系中绘出一条曲线，其形状与两圆柱体在外切接触情况下两者的变化线图关于坐标系二、四象限的平分线对称.