《数学分析》课程内容与教学方法的研究

郝 彦

(浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山 316004)

《数学分析》课程是高等院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业最重要的基础课程之一，其内容经典、体系完整、理论严密、应用广泛。这门课程在大学1-2年级开设，教学时数最多、学分值最高，对后续的微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、概率统计、微分几何等的教学有直接影响，是数学专业研究生必考科目。《数学分析》学得好坏也常作为衡量学生基础是否扎实的一个重要标志，正因如此，其教学与课程建设在许多学校都受到高度重视，该校这门课程在2003年被确立为校级重点建设课程，2007年被确立为校级精品课程。

《数学分析》的教学方式在许多学校几乎与50年前的教学方式一样，数学学科的发展与数学教学之间并未起到相互促进作用。面对20世纪下半叶，高等教育从“精英教育”到“大众教育”的转变，《数学分析》教学方法的研究也越来越引起人们的重视[1-5]，笔者在《数学分析》的课程内容和教学方法上也做了一些研究，经过几年的教学实践，取得了一定的效果，下面把笔者的做法作一总结，供同行们参考。

1 “分层次”教学方法的应用

提起分层次教学方法，现今各高校普遍使用的是根据成绩而划分的“快慢班”式的教学方式，这种做法在高等数学课程教学上还是比较适用的，但是对于《数学分析》使用这种教学方法的高校还是很少的。柴俊[2]对试行过“快慢班”式分层次教学的华东师大99级数学专业的学生进行过问卷调查，调查结果显示对这种做法持赞成态度的学生比例不足20%，也就是说这种分快慢班式的教学方法学生是不赞成的，学生们不赞成分快慢班的一个重要原因是这种考核标准的特点是对学生的短处进行处罚，要求学生在任何一个方面均不能落后，而对学生的长处则鼓励不够。这或多或少在学生的心中留下了阴影，使许多学生因此对分“快慢班”的做法持反对态度。

笔者的“分层次”教学方法不是根据学生的成绩对学生分层次，而是就数学分析的教学内容进行分层次，这种分层次方法的原因和具体做法如下：

笔者学校从2006级学生开始，为了培养学生多方面的知识能力，增加了选修课的学时，专业基础课和专业课的教学时数都进行了一定量的压缩。数学分析的教学时数由原来的288学时降为256学时，为了保证数学分析的教学质量，采取了如下分层教学法：

在《数学分析》前3个学期的教学任务完成后，第4学期开设了选修课《数学分析续论(1)》，以补充加深前3个学期没有讲完的内容，《数学分析续论(1)》的教学时数是48学时。把《数学分析》课程内容中理论性很难、相对独立的内容，同时对第四学期的后续课程学习没有影响的内容，如实数的完备性、可积理论补充、傅立叶级数收敛定理的证明等安排在《数学分析续论(1)》中讲解。当然《数学分析续论(1)》还包括在前3个学期没有补充深入讲解的内容，如求极限的各种方法，包括前3个学期没有讲过的Stolz定理，黎曼引理，上、下极限等方法。

在第5学期开设了选修课《数学分析续论(2)》，教学时数48学时，是为部分考研学生开设的考研专项辅导训练课。

这种“分层次”的教学思想，经过2年多的教学实践，较好地满足了各种层次的学生要求，学生反映效果很好。

2 加强对《数学分析》的课程内容和教学重点的研究

由于《数学分析续论(1)》和《数学分析续论(2)》都是选修课，势必有一些学生不选这两门课程。为此，学校非常重视《数学分析》前3个学期的教学内容的。在《数学分析》前3个学期的教学过程中，对《数学分析》的课程内容和教学重点进行了认真细致的研究。

1)高度重视《数学分析》课程内容的设计

数学分析是历史悠久的经典课程，所涉及的内容具有很强的抽象性，根据学校数学与应用数学专业的专业方向的发展规划及课程教学特点，“分层次”教学方法使用以来笔者对课程内容的设计就给予了高度重视。

数学分析的课程内容共包括3大块：一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论。

一元函数微积分部分是课程教学的最主要部分，是课程教学的重点部分。使学生首先建立极限的思想和运算，依此为工具来研究函数的变化率问题—导数问题，通过对导数与微分的运算的掌握，研究导数的逆运算问题—不定积分问题，通过牛顿—莱布尼茨公式来解决定积分的计算问题等。这是整个教学的关键，其教学成败直接影响到整个数学分析课程教学的成败。

多元函数微积分部分是课程教学的难点部分，要求学生在空间中建立微积分思想。它要以学生前面掌握的极限思想为工具，研究多元函数的极限与连续问题，多元函数的变化率问题—导数问题，多元函数的改变量问题—微分问题，多元函数的积分问题，其中多元函数积分问题的教学是这一部分难点的难点。

级数理论部分从形式上看是数学分析课程相对独立的一部分内容，实际上是用极限思想研究数学问题的继续，是高等数学的有机组成部分。它包括数项级数、函数项级数、函数的级数展开问题(函数的幂级数展开、函数的三角级数展开—傅立叶级数)等。这些问题在其他后续课程中有广泛的应用。

2)抓住《数学分析》课程的教学重点

《数学分析》尽管内容繁多，但在教学过程中只要抓住教学重点，繁多的内容还是可以简单明了的。

在教学过程中首先是紧紧抓住“极限”这一线索，可以说极限思想贯穿整个数学分析的始终，极限理论是整个数学分析的基础：导数是一类结构特殊的函数的极限；定积分、重积分、曲线积分、曲面积分都是某类特殊和式的极限；级数可以归结为数列的极限。“逼近”的思想也要让学生深刻地体会到：用割线代替切线；用很短时间间隔的平均速度代替瞬时速度；用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长度代替所求曲线的长度；用多项式代替连续函数等.当然在教学中还要强调学生熟练深刻的掌握极限、导数和积分的各种求法。

其次是正确处理一元和多元的关系，一元函数的理论教学是基础，通过一元函数的理论教学使学生明确《数学分析》的研究对象，扎实掌握所研究问题的思想、理论与方法。研究多元时要充分考虑一元函数的理论、思想与方法在多元函数研究中的迁移和渗透。

3 多媒体课件的合理使用

多媒体课堂计算机辅助教学目前正在各个高等院校蓬勃展开，但在数学课堂上是否适合使用多媒体教学一直以来还是一个备受争议的问题，反对在数学课堂上利用多媒体的人认为：数学课的思维灵活、推理严密，单纯的利用多媒体课件不能把一个问题的多种思考角度都体现出来，相应的一个问题的多种解法也不能体现出来，因为多媒体课件是事先做好的，讨论时不如黑板教学灵活。再者一些定理证明的推导过程、题目的演算过程如果学生只是看多媒体上的屏幕的显示过程，走马观花，效果肯定是不如用板书在黑板上一步一步地推导演算，事实上，教师在一笔一笔的板书的过程中，学生会紧紧地跟着教师的思路往下思考，这样学生才能更好的体会和掌握做题的思路和步骤。笔者在《数学分析》教学中采用的方法是“粉笔+黑板”再加上“鼠标+屏幕”，将传统教学方法与现代化教学手段相结合，以达到最好的教学效果。

《数学分析》课堂上在采用传统教学方法的基础上，结合使用多媒体课件，具有以下两点优势：

1)效率高、信息量大

利用多媒体课件主要是把问题的背景、定义、定理、例题以及图形等直观地展示给学生，而定理证明的推导过程、题目的演算过程以及学习中需要注意的地方由教师在黑板上板书，两种方法相结合就节约了教师许多背对学生板书或画图的时间，这样教师就有更多的时间用于讲授新知识，从而提高了效率、加大了课堂的信息量。

2)效果好、印象深

多媒体教学不同于传统的教学，它比较直观生动、图文并茂，可以把抽象的数学教学变得直观生动。在传统的黑板课堂教学中，学生难以想象出三维空间的一些图形，比如旋转曲面、马鞍面等一系列图形，通过多媒体的演示，学生对这些图形的印象就非常深刻，从而可以帮助学生提高空间想象能力。再如在引进定积分和二重积分的概念时，我们要先求曲边梯形的面积和曲顶柱体的体积，用一系列动感的画面来演示分割、近似替代、作和、求极限的过程，从而学生就能清楚地理解定积分和二重积分的概念。这种生动的视觉效果能增加学生对一些抽象数学概念和方法的理解与掌握。

几年的教学实践证明，在数学分析的课堂教学中，将传统的教学模式与现代的多媒体教学合理有效地结合起来，既提高了课堂教学的效率，又加强了课堂教学的效果，从而在有限的课堂教学时间里，最大限度的发挥传统教学方式与多媒体课件在提高教学质量方面的作用。

[1]黄 贵.高师《数学分析》教学改革尝试[J].赤峰学院学报:自然科学版,2005,21(5)：10-12.

[2]柴 俊.数学专业多模式分层次教学实证研究[J].高等师范教育研究,2003,15(5)：59-64.

[3]刘 浏.浅谈数学分析课程的教学[J].达县师范高等专科学校学报:自然科学版,2005,15(2)：72-74.

[4]刘仁义.数学分析的教学创新研究与实践[J].高等理科教育,2004(3)：61-64.

[5]马新文.《数学分析》课程教学探析[J].琼州学院学报,2009,16(5)：75-77.

[6]王美娟.高等数学习题课CAI的思考[J].上海理工大学学报:社会科学版,2004,26(1)：35-37.