两种基于过程能力指数的抽样方案研究

周小喜

(安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖 241003）

为了更好地减少成本和提高工作效率，企业越来越注重在生产过程中检验产品以做到在线监控产品质量.抽样检验的首要任务是依据接收概率曲线(OC曲线)[1]确定抽样检验方案.即从被检产品中确定随机抽取的样本大小和对样本进行检验时判断产品是否合格的合格判定数.进行抽样的另一个目的就是要了解过程(工序)的生产能力即生产合格品的能力.过程能力指数(Process Capability Index，简称PCI)1989年Ford公司引入过程能力指数(Process Capability Index，简则称PCI)进行组织内部和供应商的过程评价，目前在全球制造业广泛应用.随着QS9000的推广，过程能力指数的应用已经涵盖了生产、服务、管理等多个过程.美国学者Zachary G Stoumbos提出了由接收概率曲线(OC曲线)来分析过程能力指数，使得过程(工序)能力指数与抽样检验方案建立联系.Taguchi博士建立质量损失函数[2]，并且基于损失函数给出更加明确的抽样方案，本文对这两种抽样方案进行分析.

1 两种抽样方案介绍

1.1 接收概率曲线(OC曲线)思想下的抽样方案

在质量特性x服从正态分布情况下，通常把过程(工序)控制在μ±3δ之内(δ为标准差).这种思想在1924年由美国的休哈特(Shewhart)博士提出.在这里讨论单侧公差情形，当产品公差要求为单侧下规格界限时，过程能力指数Cp[3]定义如下：

式中：LSL为产品公差的下规则界限；μ为理论均值；δ为理论标准差.

在实际生产中过程(工序)输出的产品质量通常存在偏离，通过下式来估计Cp

进而有

Leroy A Franklin 提出了由过程(工序)能力指数确定抽样样本容量n的方法[5].当下置信限水平为(1-α)，过程(工序)能力指数的估计值和理论值之间的关系为

由式(5)和式(6)可得

因此，样本容量n取决于式(7).由过程(工序)能力指数估计值可知合格判定数c，合格判定数c由检验批量N和批量检验不合格品率p确定.

1.2 产品质量特性反馈控制过程(工序)能力指数思想下的抽样方案

这种思想是建立在休哈特博士于1924年提出的统计过程(过程)控制技术中的常规控制图得出的.休哈特博士提出常规控制图(可以推算出过程能力指数)要求每隔一定时间或每隔一定产品抽样一次，但对于间隔多长时间或多少产品没有明确说明.但借助Taguchi质量损失函数[6]可以解决这个问题.在这里讨论双侧公差情形.在企业生产过程中，设产品的质量特性为y，目标值为m，规格界限为m± Δ.每隔一定的间隔n，对加工后的产品测量一次质量特性值y，若y位于管理界限m±D之内，则继续生产；相反则调整生产过程(工序)能力，这种用产品质量特性反馈来控制系统，针对这种情况Taguchi博士建立了质量损失函数基础下的抽样方案.Taguchi博士建立的质量损失函数[6]为

式中：A为产品不合格时的损失；B为测量费用；n为最佳控制系统的测量间隔；C为调整费用(指工序异常时，即产品的特性y超出管理界限m±D时，使其恢复正常状态下进行工序(过程)调整的总费用)；Δ为规格公差；D为管理界限的公差；l为时滞；δm2为测量误差引起的方差；μ为最佳控制系统平均过程(工序)调整间隔预测值.

由式(8)知L是参数n、D、μ的函数.即L=L(n，D，μ).此外，初期平均过程(工序)调整间隔统计值μ0和初期管理界限D0，之间的关系为

则式(8)转化为n、D的函数，即：

由式(9)可知n、D分别是最佳抽样间隔和最佳控制界限.据L(n，D)=min 的原则.采用最小平方法，分别对两个未知参数求偏导数，得到方程组

解方程组(10)可得如下解

这两个核心参数即为控制图最佳控制界限D和最佳抽样间隔n.

2 两种抽样方案的评价

2.1 接收概率曲线(OC曲线)思想下的抽样方案评价

由文献[5]和式(7)得到一个基于过程能力指数的抽样方案(N，n，c).这种抽样方案工序(过程)能力指数小于1.33时，不能保证工序(过程)不发生不合格品，抽样不能完全控制不合格品，且也不能做到反控制控制图(可推算出过程能力指数)的效果.当工序(过程)能力指数为1.67到2.0之间时是一个非常理想状态，这种状态下抽样方案也将失去抽样检验的作用.例如：在一个生产周期(设周期为12 h)内检验批量N=532.针对工序(过程)能力指数判断的界限值为0.67，1.0，1.33，1.67，2.0，可以利用式(1)-式(7)推算出最大不合格率0.022 8，0.001 3，3×10-5，3×10-7，3×10-9，由此推算出对应的合格判定数c为：12.13，0.7，0.02，0，0.由此构成四种抽样方案，这四种抽样方案不能保证不合格产品被抽到.

2.2 产品质量特性反馈控制过程(工序)能力指数思想下的抽样方案评价

由文献[8]可知这种抽样方案可以反馈控制过程能力指数并且给出在常规控制图下(即过程能力指数在非常理想状态)能预测下一个抽样时间，能明确知道控制系统的控制界限.例如：在某个零件生产过程中每隔50个产品抽检一个产品对其中一尺寸(5.000±0.1) mm进行检验，测量数据见表1.

表1 测量的数据

假设上述控制界限和抽样间隔在常规控制图的管理状态下，即有管理界限D0=60 μm，测量间隔n=50个.

已知其他参数如下： A=1.2元，B =1.4元，C=15元，l=5个，δm=4 μm，调整间隔统计值为 μ0=2 000个.

由式(11)，计算得

由式(12)，计算得

在实际生产和应用中，取D=30 μm，则平均调整间隔预测值为

则最佳抽样间隔为n=125个，平均调整间隔预测值为μ=500个.从这个抽样方案可以看到该设计优于由接收概率曲线(OC曲线)思想下的抽样方案.这种抽样方案基于过程(过程)能力指数，但能反馈控制质量特性和控制图(有控制图可推出过程能力指数)，并且可以诊断出过程(工序)故障.

3 结 论

基于过程(工序)能力指数下的抽样方案能更好地控制产品质量和减少生产过程中的成本损失，这两种抽样方案能够建立生产和抽样检验之间的联系，能够对生产过程中依据产品质量特性和质量成本对生产过程(工序)能力进行有效的评价和判断.尤其是产品质量特性反馈控制过程(工序)能力指数思想下的抽样方案能够很好地反控制常规控制图和质量特性的预测，使得在生产过程中更好地诊断过程能力异常的原因，并能让管理者作出更好的调整.但是这两种抽样方案都存在同样的问题：如果在过程(工序)能力指数不能满足1.67到2.0之间时，这两种抽样方案都很难实施.因此，现在有很多学者提出在线监控.

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